Sau khi thực hiện phép tính, chữ số 1 xuất hiện bao nhiêu lần trong B... Chứng minh M là trung điểm của BC Bài 5.. 1,5 điểm Người ta dự định xây dựng một tòa tháp tầng trệt và 9 tầng th
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN ĐẠI NGHĨA
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TPHCM
Năm học: 2018 – 2019 Môn: Toán khối 7 Thời gian làm bài: 90 phút Ngày kiểm tra: 19/01/2019
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Tính = ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
4
b) Tìm x y z, , biết:
xy yz zx
Bài 2 (1,0 điểm)
9) Sau khi thực hiện phép tính, chữ số 1 xuất hiện bao nhiêu lần trong B
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho ∆ABCvuông tại Acó AB < AC và BD là tia phân giác của
∈
ABC D AC Trên cạnh BG lấy điểm E sao cho BE = BA, vẽ
DF là tia phân giác của EDC F( ∈BC) Kẻ FH ⊥ AC tại H
a) Chứng minh AB + HF = BF
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm I sao cho AI = FH Chứng minh rằng: BD ⊥ IF
Trang 2Bài 4 (1,5 điểm)
Cho ∆ABC có < 0
90
A Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm
C ta vẽ AD ⊥ AB và AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta vẽ AE ⊥ AC và AE = AC KẻAH ⊥ ED H( ∈ED)
Tia AH cắt BC tại M Chứng minh M là trung điểm của BC
Bài 5 (1,5 điểm)
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp tầng trệt và 9 tầng tháp tại một ngôi chùa Theo cấu trúc, diện tích của mặt sàn tòa tháp bằng 1 nửa diện tích mặt sàn tầng trệt và diện tích của mặt sàn tòa tháp ở trên bằng nửa diện tích mặt sàn tòa tháp bên dưới Biết diện tích sàn của tầng đỉnh tháp là 2
2,25m và để cho đồng bộ nên lát cùng loại gạch hoa có kích thước 30 30 cm× Hãy tính số tiền mua gạch hoa để lát nền, biết giá mỗi viên gạch hoa là 9000 đồng
Bài 6 (1,5 điểm)
Bạn An vào cửa hàng văn phòng phẩm mua 4 quyển vở với giá
10000 đồng/quyển và 3 bút với giá 5000 đồng/cây Bạn đưa cho nhân viên thu ngân là 200000 đồng Người này gởi lại cho bạn
11 tờ giấy bạc loại 20000 đồng và 5000 đồng Hỏi bạn An đã nhận được bao nhiêu tờ giấy bạc mỗi loại?
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2,5 điểm)
a) Tính = ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
4
Lời giải
= ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
4
P
= ⋅ − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
2
P
= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −
P
= − − − ⋅ ⋅ ⋅ −
P
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
1
101
P
P
Trang 4b) Tìm x y z, , biết:
xy yz zx
Lời giải
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
+ +
Ta có: xy +yz +zx − 31 = 0 ⇔ xy + yz + zx = 31 (*)
Thay giá trị x y z, , vừa tìm được vào (*) Khi đó, ta có:
50 20 10
100
x y z
100
x y z
(x y z) 100
⇒ x + +y z = 10 hoặc x + +y z = −10
Trang 5Với x + +y z = 10
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
+ +
10
1
⇒ x = 2;y = 3;z = 5
Với x + +y z = −10
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
−
+ +
10
1
⇒ x = −2;y = −3;z = −5
Vậy x = 2;y = 3;z = 5 hoặc x = −2;y = −3;z = −5
Trang 6Bài 2 (1,0 điểm)
Cho B = − −9 99 − 999 999 9− − (Số cuối cùng có 2018 chữ số 9) Sau khi thực hiện phép tính, chữ số 1 xuất hiện bao nhiêu lần trong B
Lời giải
Ta có:
10 1 100 1 1000 1 1000 0 1
soá B
10 100 1000 1000 0 2018
soá B
11 1 0 2018 11 1 11110 2018
B
= −
2014 1
11 1 9092
soá B
Vậy số 1 xuất hiện 2014 lần trong B
Trang 7Bài 3 (2,0 điểm)
Cho ∆ABCvuông tại A có AB < AC và BD là tia phân giác của
∈
ABC D AC Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA, vẽ
DF là tia phân giác của EDC F( ∈BC) Kẻ FH ⊥ AC tại H
a) Chứng minh AB + HF = BF
b) Trên tia đối của tia AB lấy điểm I sao cho AI = FH Chứng minh rằng: BD ⊥ IF
Lời giải
a) Chứng minh AB + HF = BF
Xét ∆ABD và ∆EBD có:
AB BE gt
ABD EBD gt
BD là cạnh chung
Do đó: ∆ABD = ∆EBD c g c( )
⇒ BAD = BED (Hai góc tương ứng)
H
F E
B
A
Trang 8Xét ∆EDF và ∆HDF có:
90
DF là cạnh chung
FDE FDH gt
Do đó: ∆EDF = ∆HDF(Hệ quả của trường hợp góc cạnh góc)
⇒ EF = HF (Hai cạnh tương ứng)
Và AB = BE gt( )
⇒ AB +HF = BE + EF = BF
Trang 9b) Chứng minh rằng: BD ⊥ IF
Vì ∆ABD = ∆EBD c g c( ) nên AD = DE (Hai cạnh tương ứng)
Vì ∆EDF = ∆HDF nên DE = DH (Hai cạnh tương ứng)
⇒ AD = DH
Xét ∆ADI và ∆HDF có:
AD DH cmt
90
AI HF gt
Do đó: ∆ADI = ∆HDF c g c( )
⇒ ADI = HDF (Hai góc tương ứng)
180
Mà ADI = HDF cmt( )
180
Mặt khác: ADB = EDB (vì ∆ABD = ∆EBD c g c( ))
Và FDE = ADI(= FDH)
I
H
F E
B
A
Trang 10⇒ + = 0
2.ADB 2.ADI 180
90 2
ADB ADI
90
Suy ra: BD ⊥ IF
Trang 11Bài 4 (1,5 điểm)
Cho ∆ABC có < 0
90
A Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm
C ta vẽ AD ⊥ AB và AD = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B ta vẽ AE ⊥ AC và AE = AC KẻAH ⊥ ED H( ∈ED)
Tia AH cắt BC tại M Chứng minh M là trung điểm của BC
Lời giải
Kẻ AK ⊥BC , AK cắt EF tại G
Xét ∆AEG và ∆ACM có:
( )
Do đó: ∆EAG = ∆ACM g c g( )
G
K E
D
M
H
C B
A
Trang 12AG MC
Xét ∆ADG và ∆ABM có:
( )
Do đó: ∆DAG = ∆ABM g c g( )
AG MB
Từ (1) và (2) suy ra: MB MC=
Và M ∈BC Do đó: M là trung điểm của BC
Trang 13Bài 5 (1,5 điểm)
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp tầng trệt và 9 tầng tháp tại một ngôi chùa Theo cấu trúc, diện tích của mặt sàn tòa tháp 1 bằng nửa diện tích mặt sàn tầng trệt và diện tích của mặt sàn tòa tháp ở trên bằng nửa diện tích mặt sàn tòa tháp bên dưới Biết diện tích sàn của tầng đỉnh tháp là 2
cho đồng bộ nên lát cùng loại gạch hoa có kích thước 30 30 cm× Hãy tính số tiền mua gạch hoa để lát nền, biết giá mỗi viên gạch hoa là 9000 đồng
Lời giải
2,25.2 4, 5(m )
4, 5.2 9(m )
Diện tích mặt sàn tầng 6 là: = 2
9.2 18(m )
18.2 36(m )
36.2 72(m )
72.2 144(m )
144.2 288(m )
288.2 576(m )
576.2 1152(m )
Tổng diện tích mặt sàn của tòa tháp là:
2,25 4, 5 9 18 36 72 144 288 576 1152 2301, 75(m )
30 30 900(cm ) 0, 09(m ) Tổng số viên gạch phải dùng là: 2301,75 : 0, 09 = 25575 (viên)
Trang 14Số tiền dùng để mua gạch hoa lót nền là:
25575 9000 230 175 000(đồng)
Trang 15Bài 6 (1,5 điểm)
Bạn An vào cửa hàng văn phòng phẩm mua 4 quyển vở với giá
10000 đồng/quyển và 3 bút với giá 5000 đồng/cây Bạn đưa cho nhân viên thu ngân là 200 000 đồng Người này gởi lại cho bạn
11 tờ giấy bạc loại 20 000 đồng và 5000 đồng Hỏi bạn An đã nhận được bao nhiêu tờ giấy bạc mỗi loại?
Lời giải
Số tiền bạn An dùng để mua vở là: 4 10 000× = 40 000 (đồng)
Số tiền bạn An dùng để mua bút là: 3 5000× = 15 000 (đồng)
Số tiền bạn An được nhân viên thu ngân gửi lại là:
Gọi số tờ giấy bạc loại 20 000 đồng và 5000 đồng bạn An được nhận lần lượt là: x y,
Theo đề bài, ta có: x + y = 11 và 20 000x + 5000y = 145 000
20 000x 5000y 145 000 4x y 29 (1)
+ = 11 ⇒ = 11−
Thay (2) vào (1) ta được: 4x +11−x = 29
⇒ 4x −x = 29 11−
Thay x = 6 vào (2) ta được: y = 11 6− = 5
Vậy bạn An được nhận lại 6 tờ giấy bạc loại 20 000 đồng và 5 tờ giấy bạc loại 5000 đồng.