Viết phương trình mặt phẳng P chứa trục Oz đồng thời cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính bằng 4.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG
- Ngày thi 31/03/2013
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 - LẦN 1
Môn Toán, Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y x3 3 x 3 m m 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m1
2 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời chúng cách đều đường thẳng : 0
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2 3 tan 1 23
x+
x
2 Giải hệ phương trình
x y x y
y x y y x y y
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
8
3
ln x x
1d
x
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có đáy là hình chữ nhật, cạnh ABa AD, a 3 Đỉnh B
cách đều ba đỉnh A B D , , Đường thẳng CDtạo với mặt phẳng ABCDgóc 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA CD theo ', ' a
Câu V ( 1,0 điểm) Cho hai số thực x y, đều lớn hơn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 3 2 2
x y x y P
x y
II PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai phần
A Theo chương trình chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng: ( ) : 2d1 x y 1 0, (d2) : 2x 2y 1 0 và điểm (1; 2)
M Gọi I là giao điểm của ( ) d1 và ( d2) Lập phương trình đường thẳng ( ) d qua M và cắt các đường thẳng ( ), ( d1 d2) lần lượt tại hai điểm phân biệtA B , sao cho IAIB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) :P x2y2z 3 0, ( ) : 2Q xy2z 4 0 và đường thẳng : 2 4
d Lập phương trình mặt cầu ( )S có tâm nằm trên đường thẳng d và tiếp xúc
với hai mặt phẳng ( ), ( )P Q
Câu VIIa (1,0 điểm ) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 khai triển của biểu thức 2 2
2 n
x x biết n và thỏa mãn điều kiện C22nC24n C22n n2 2046
B Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình các tiếp tuyến của elip
2 2
1
, biết rằng tiếp tuyến đi qua (4;3)
2 Trong không gian Oxyzcho tứ diện ABCD với A (1; 2;3) , B (1; 2; 1) , C (1;6;3), D (5; 2;3) , gọi ( ) S là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Viết phương trình mặt phẳng ( ) P chứa trục Oz đồng thời cắt mặt cầu S theo một đường tròn có bán kính bằng 4
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải bất phương trình: log2 3x 1 6 1 log27 10x
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:………; Số báo danh:………
DỰ KIẾN KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ 2 SẼ ĐƯỢC TỔ CHỨC VÀO NGÀY 28/4/2013
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
m
1 (1,0 điểm) Khi m = 1, ta có hàm số 3
3x 2
*Tập xác định D
*Sự biến thiên:y ' 3x2 3; Hàm số đồng biến trên ( ; 1); (1; ) và NB trên ( 1;1)
-
*Cực trị: Hàm số đạt CĐ tại x = -1, yCĐ= 0; Hàm số đạt CT tại x = 1, yCT= -4
-
*Giới hạn: lim
-
*Bảng biến thiên:
-4 0
1 -1
-y y' x
*Đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
I
(2,0
điểm
)
(1,0 điểm)
Điều kiện để hàm số có CĐ, CT là pt y’=0 có 2 nghiệm phân biệt m 0
Tọa độ các điểm CT là A( m; 2 m m3m1), B( m; 2 m m3m1)
( , ) ( , )
3
0,25 0,25 0,5
Câu
II
(2,0
điểm
)
1 (1,0 điểm)
x+
x
, Điều kiện: cos 0
2
-
2 2
2
3 4 cos 0
3 4 cos
x x
c o s 2
2
2
s in
2
x
x
Thử lại điều kiện 6
2
Vậy các nghiệm của phương trình là
6
và
2
x k (k )
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 32 (1,0 điểm)
x y x y
y x y y x y y
Điều kiện 4x y
x y x y
y x y y y x y
(1) (2)
3 3
(2)
x x
-
Đặt
2
Từ (2) và (3) ta có hệ
1 1
17 11
b a
b
a
1
b a
( Vìb 0)
-
3
7
x
x y
y
Vậy nghiệm của phương trình là 3; 5
7 7
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
III
(1,0
điểm
)
Đặt ln x, x
1
d
x
; -
Ta có 8 8
3 1
1
2 1.ln x 2 x x 6 ln 8 4 ln 3 2
x
-
Đặt t x 1
3 2 2 2
2
2 ln 3 ln 2 1
t
t
-
Vậy I 20 ln 26 ln 3 4
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
IV
(1,0
điểm
)
B C
A D
K
B’ C’
H O
A’ D’
Gọi O là tâm hình chữ nhật A B C D ' ' ' '
Đỉnh B cách đều các đỉnh A B D mà tam giác ', ', ' A B D vuông tại ' ' ' A , O là trung điểm ' B D nên ' '
' ' ' '
BO A B C D
'// ' ';( ' ' ' ') 60 ' 60
-
0
A C aA O a BOA O a
2 ' ' ' ' 3 3
A B C D
S a a a (đvdt)
0,25
0,25
Trang 43 ' ' ' ' ' ' ' ' 3
ABCD A B C D A B C D
-
'// ' ( '; ') ( ';( ' ')) ( '; ( ' ')) 2 ( ;( ' '))
CD BA d AA CD d CD ABB A d D ABB A d O ABB A
Gọi H là trung điểm ' ' 3
2
a
A B OH ' '
' ' ( ) ' '
; Hạ OKBHOK(ABB A' ')
-
Ta có 1 2 1 2 12 3 ( ', ') 2 3
0,25
0,25
Câu
V
(1,0
điểm
)
Đặt t x y t, , áp dụng bất đẳng thức 2 2 2
4
4
t
xy xy xy
3 2
3 2 1
t t xy t P
xy t
Do
2
3 2 0,
4
t
t xy nên ta có
2
3 2
2 2
3 2 4
2 1
4
t t
P
t
-
Xét hàm số
2
0 4
( ) ; '( ) ; '( ) 0
4
t
t
Bảng biến thiên
t 2 4
f’(t) - 0 +
f(t)
8
-
Do đó
2;
4
4
x y
xy
0,5
0,25
0,25
1 (1,0 điểm)
Theo bài ra ta có IAIB( )d vuông góc với các phân giác của góc tạo bởi d1 , d2
-
Phương trình các phân giác của d1 , d2 là
1
1
2 2
: 4 2 1 0
x
-
Xét d 1 d có vectơ pháp tuyến 0;1 , qua M(1; 2) d :y 2
-
Xét d 2 d có vectơ pháp tuyến 1; 0 , qua M(1; 2) d :x1
0,25
0,25
0,25 0,25
Câu
VIa
(2,0
điểm
)
2 (1,0 điểm) Gọi I là tâm của (S), ta có I ( 2 t t ; 2 ; 4 3 ) t
-
Do (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên d I P ( , ) d I Q ( , ) hoặc t = - 1 t 13
-
1
( ) : ( S x 11) ( y 26) z 35 38
2
( ) : ( S x 1) ( y 2) z 1 2
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 5Câu
VIIa
(1,0
điểm
)
Xét khai triển 2 2 0 1 2
n
2n 2n 2n n 2 n 2n 2n n 2 n 1 2046 6
-
Khi đó
-
Số hạng chứa x ứng với 8
8
0 12 ; 8;0 , 7;1 , 6; 2 , 5;3 , 4; 4
0
-
Hệ số của số hạng chứa x là 8
12 8( 2) 12 7( 2) 12 6( 2) 12 5( 2) 12 4( 2) 2212848
0,25
0,25
0,25
0,25
1 (1,0 điểm)
Phương trình tiếp tuyến của elip tại điểm
2 2
x y E có dạng 0 0 1
-
Tiếp tuyến đi qua điểm A (4;3) nên ta có
1
16 9
1
0 0 0 0
4 0 0 3
x y x y
-
Vậy các tiếp tuyến là 1: x 4, 2: y 3
0,25
0,5
0,25
Câu
VIb
(2,0
điểm
)
2 (1,0 điểm)
Phương trình mặt cầu ngoại tiếp ABCD có dạng
( ) : S x y z 2 ax 2 by 2 cz d 0, a b c d 0
(1; 2;3)
A , B (1; 2; 1) , C (1;6;3), D (5; 2;3) nên ta có hệ
( ) : S x y z 6 x 4 y 6 z 2 0
có tâm I (3; 2;3), bán kính R 2 5
-
Mặt phẳng ( ) P cắt ( ) S theo thiết diện là một đường tròn tâm I' là hình chiếu vuông góc của I lên ( ) P và có bán kính là R ' R2 d2( ;( )) I P d I P ( ; ( )) 2
-
Xét ( ) : P Ax By 0 chứa Oz
2
2 2
0
12
a
-
Với a 0, chọn b 1 ( ) : P y 0 ( Oyz )
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6Với 5
12
5
a
b
Câu
VIIb
(1,0
điểm
)
2 3 1 6 1 2 7 10
log x log x (1)
Điều kiện:
1
1
3 39
x x
x x
-
( )log log x x
2
369
49 418 369 0 1
49
-
Kết hợp điều kiện ta được 1 369
49
x ;
0,25
0,25
0,25 0,25
-HẾT -