ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN LỚP 8.. số học sinh đội tuyển Toán bằng.[r]
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MễN : TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài : 60 phỳt Bài 1 (2 điểm )
a Phân tích đa thức thành nhân tử:
A = x4 - 6x3 + 27x2 - 54x + 32
b A,p dụng chứng minh với mọi số nguyên n giá trị cả biểu thức A là số chẵn
A = n4 - 6n3 + 27n 2 - 54n + 32 là số chẵn
Bài 2 (3 điểm)
Cho hai biểu thức :
:
A
2 3
2 1
x x B
x
a Rút gọn A , B
b.Với giá trị nào của x thì A + B có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 3 (2 điểm ) Một khối 8 cú 32 số học sinh đội tuyển Toỏn bằng 34 số học sinh đội tuyển Anh và bằng 45 số học sinh đội tuyển Văn Đội tuyển Văn cú số học sinh ớt hơn tổng số học sinh của hai đội tuyển kia là 38 học sinh Tớnh số học sinh của mỗi đội tuyển
Bài 4 (2,5 điểm ) Cho tam giỏc ABC cú M là trung điểm cạnh BC, biết AB=5cm,
AM=6cm và AC=13cm Đường thẳng qua B và vuụng gúc với BC cắt đường thẳng AM ở D Đường thẳng qua C và vuụng gúc với BC cắt đường thẳng AB ở
E Chứng minh CD vuụng gúc ME
Bài 5 (0,5 điểm ) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b thỏa món:
2a 1 2 a 2 2 a 3 2.6b 992
***** Hết *****
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI -MễN THI : TOÁN LỚP 8
Trang 2Bµi Néi dung ®iÓm Bµi 1
2 ®iÓm a, Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö : A = x4 - 6x3 + 27x2- 54x +32
= (x - 1)(x3- 5x2 +22x -32) = ( x - 1)( x – 2 )( x2-3x + 16) 1 ®
b Chøng minh víi mäi sè nguyªn n gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc A lµ sè
ch½n :
Víi ∀ n Z gi¸ trÞ c¶ biÓu thøc:
A = n4 -6n3 +27n 2 -54n +32
A = ( n - 1)( n – 2 )( n2-3n + 16)
∀ n Z => n – 1 , n – 2 Z => ( n - 1); ( n – 2 ) lµ hai sè nguyªn liªn tiÕp
=> ( n - 1)( n – 2 ) ⋮ 2 => ( n - 1)( n – 2 ) = 2 k
víi k Z => A = 2k.( n2-3n + 16) => A lµ sè ch½n
1 ®
Bµi 2
3 ®iÓm a Rót gän A
§KX§ x 1 vµ x 2
:
A
2
:
x A
2
x A
x
2
1 1
x A
Rót gän B
§KX§ x 1
2
=
B
b T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A + B
Víi §KX§ x 1 vµ x 2 ta cã
1 ®
0,5 ®
0,5 ®
Trang 3
2
2
1 1 1
A B
A B
A B
x
Vì
2
x
1
do đó : A + B
3 4
Vậy GTLN của A + B là
1 Khi đó x + = 0 nê n
mãn ĐK)
1 đ
Bài 3
2 điểm Gọi số học sinh đội tuyển Toỏn, Anh,Văn thứ tự là x, y, z
(x, y, z N) Ta cú 32x=3
4 y=
4
5z ⇒ 2 x
3 .
1
12=
3 y
4 .
1
12=
4 z
5 .
1
12
18=
y
16=
z
15=
(x + y )− z
(18+16)−15=
38
19=2 Tớnh đỳng: x = 36; y = 32; z = 30 và kết luận
(1đ) (0,5đ) (0,5đ)
Bài 4
2,5 điểm
K I
M
E
D
C B
A
(0,5đ)
Gọi AM cắt EC tại K trờn đoạn MK lấy điểm I sao cho
MI = MA = 6cm
( ) 5 , 2 12 , 13
MAB MIC c g c AB IC cm AI AM cm AC cm
AI IC AC AIC
vuụng tại I AIC 900
0
BAM CIM c g c BAM CIM
(0,5đ)
(0,5đ)
Trang 4 có BC, KM là các đường cao
M là trực tâm EMBK (I)
( )
MBD MCK c g c MD MK
Mà MB=MC và DMCBMK DMCKMB c g c( )
/ / ( )
MDC MKB DC BK II
Từ (I) và (II) suy ra: EM DC
(0,5đ)
(0,5đ)
Bµi 5
0,5 ®iÓm vì 2a 1, 2a 2, 2a 3
là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết
cho 3 2a 1 2 a 2 2 a 3
chia hết cho 3
- Nếu b 1 thì vế trái chia hết cho 3 còn vế phải không chia hết cho 3
(vô lí) b = 0
Thay b = 0 vào ta tìm được a = 3
Vậy a = 3 và b = 0
(0,5 điểm)