Chứng minh rằng số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau c ủa tập X, mỗi t ập có đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì thì không chứa nhau b ằng.. Tìm số phần tử lớn nhất c ủa tập hợp [r]
Trang 1CHUYÊN Đ H I TH O B I D Ề HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 ỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 ẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 ỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 ƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 NG HSG L P 9 NĂM 2015 ỚP 9 NĂM 2015
M T S BÀI TOÁN C C TR TRONG T H P ỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 Ố BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP ỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP Ị TRONG TỔ HỢP Ổ HỢP ỢP
TR N NG C TH NG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, T NH VĨNH PHÚC ẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC ỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC ẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC ỈNH VĨNH PHÚC
Chuyên ngành toán t h p là m t b ph n quan tr ng, h p d n và lí thú c aổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ẫn và lí thú của ủaToán h c nói chung và toán r i r c nói riêng N i dung c a toán t h p phong phúọng, hấp dẫn và lí thú của ời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
và đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ng d ng nhi u trong th c t đ i s ng Trong toán s c p, t h p cũngều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
xu t hi n trong r t nhi u bài toán v i đ khó r t cao T h p có v trí đ c bi tấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ị trí đặc biệt ặc biệttrong toán h c không ch nh là nh ng đ i tọng, hấp dẫn và lí thú của ỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ư ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củang đ nghiên c u mà còn đóng vaiể nghiên cứu mà còn đóng vaitrò nh m t công c đ c l c c a các mô hình r i r c c a gi i tích, đ i s , hìnhư ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình ực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ủa ời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ủa ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
h c ọng, hấp dẫn và lí thú của
V i vai tròn quan trong toán h c nh v y nên trong h u h t các kì thi h c sinhới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ọng, hấp dẫn và lí thú của ư ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ọng, hấp dẫn và lí thú của
gi i qu c gia, thi Olimpic toán qu c t , thi Olimpic sinh sinh viên gi a các trống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng
đ i h c và cao đ ng, các bài toán liên quan đ n t h p thạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ọng, hấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng là các bài toán r tấp dẫn và lí thú củakhó, là nh ng bài t p phân lo i h c sinh r t t t.ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
Phươ cấp, tổ hợp cũngng pháp gi i các bài toán t h p thải tích, đại số, hình ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng r t phong phú và đa d ng Nhìnấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúchung đ gi i m t bài toán t h p thông thể nghiên cứu mà còn đóng vai ải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng h c sinh ph i sáng t o ra phọng, hấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ươ cấp, tổ hợp cũngngpháp và cách th c ti p c n bài toán Do đó khi gi ng d y ph n t h p thì đi uế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ầu hết các kì thi học sinh ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũngquan tr ng là v i m i bài toán giáo viên nên phân tích, đ nh họng, hấp dẫn và lí thú của ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ị trí đặc biệt ưới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệtng l i gi i m tời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củacách c th đ h c sinh hi u để nghiên cứu mà còn đóng vai ể nghiên cứu mà còn đóng vai ọng, hấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ý tưởng cũng như mục đích của bài toán Đểng cũng nh m c đích c a bài toán Đư ủa ể nghiên cứu mà còn đóng vaicho vi c gi ng d y toán ph n t h p đ t đải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ầu hết các kì thi học sinh ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac k t qu t t, chúng tôi m nh d nế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hình ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
vi t chuyên đ "s d ng s ph c đ gi i m t s d ng toán t h p" đ trao đ iế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ể nghiên cứu mà còn đóng vai ải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
v i các th y, cô giáo v phới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ầu hết các kì thi học sinh ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng pháp gi ng d y các bài toán t h p.ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
Trong chuyên đ này, m t s d ng bài t p đều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ch n l c là các đ ra c a cácọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ủa
kì thi h c sinh gi i qu c gia, qu c t , Olimpic sinh viên gi a các trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng đ i h cạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ọng, hấp dẫn và lí thú củatrên th gi i nh ng năm g n đây.ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ầu hết các kì thi học sinh
Chuyên đ đều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac chia làm hai ph n chính:ầu hết các kì thi học sinh
I Ph n bài t p minh h aầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của
II Ph n bài t p tầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ươ cấp, tổ hợp cũngng tực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
Nh ng bài toán t h p xu t hi n trong các đ thi ch n h c sinh gi i nh ngững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vainăm g n đây thầu hết các kì thi học sinh ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng là các bài t p hay và khó, có đ phân hóa cao gi a các đ iận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ững đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
Trang 2tượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củang h c sinh V i th i gian ng n thì h c sinh thọng, hấp dẫn và lí thú của ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình ọng, hấp dẫn và lí thú của ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng r t khó đ gi i quy t đấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ải tích, đại số, hình ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củaccác bài toán d ng này và đây cũng là v n đ r t nan gi i trong công tác ôn luy nạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình
h c sinh gi i c a đa s giáo viên S lọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củang cũng nh s d ng bài toán t h p làư ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
r t nhi u (có th nói là vô h n) nên giáo viên không th d y h t t t c đấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ể nghiên cứu mà còn đóng vai ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ể nghiên cứu mà còn đóng vai ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac, mà
c n ph i có phầu hết các kì thi học sinh ải tích, đại số, hình ươ cấp, tổ hợp cũngng pháp hi u qu nh t đ trang b cho h c sinh cách ti p c nải tích, đại số, hình ấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ị trí đặc biệt ọng, hấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củacũng nh các ki n th c c s trong vi c gi i quy t các bài toán t h p ư ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ơ cấp, tổ hợp cũng ởng cũng như mục đích của bài toán Để ải tích, đại số, hình ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Chuyên đều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac hoàn thành v i s giúp đ nhi t tình c v n i d ng và hình th c c a cácới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ỡ nhiệt tình cả về nội dụng và hình thức của các ải tích, đại số, hình ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa
th y, cô giáo trong t toán - tin, BGH trầu hết các kì thi học sinh ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng THPT chuyên Vĩnh Phúc Do th i gianời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
và trình đ có h n nên trong bài vi t ch đ c p đ n m t khía c nh r t nh c aột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ấp dẫn và lí thú của ủa
d ng toán t h p, r t mong nh n đạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac góp ý và các phươ cấp, tổ hợp cũngng pháp hi u qu đải tích, đại số, hình ể nghiên cứu mà còn đóng vai
vi c gi ng d y phân môn này có hi u qu h n.ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ải tích, đại số, hình ơ cấp, tổ hợp cũng
I M T S BÀI T P MINH H A ỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015 Ố BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP ẬP MINH HỌA ỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC
Bài 1 Cho t p h p và ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M là t p h p con c a t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của X có tính ch t ấp dẫn và lí thú của T n u: tích c a ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ủa
3 ph n t phân bi t b t kì trong ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ấp dẫn và lí thú của M đ u không là s chính phều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng Tìm s ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
ph n t l n nh t c a ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa M
L i gi i ời giải ải Xét 4 t p h p r i nhau có 3 ph n t và tích c a 3 ph n t đ u là s ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũngchính phươ cấp, tổ hợp cũngng:
1, 4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3, 6,8
N u t p h p ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M có tính ch t ấp dẫn và lí thú của T thì có ít nh t m t ph n t trong m i t p trên ấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củakhông thu c ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M suy ra M 11 Gi s ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi M 11: DoM có tính ch t ấp dẫn và lí thú của T nên m i t p ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củatrong 4 t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 4,9 , 2,7,14 , 5,12,15 , 3,6,8 ph i có đúng hai ph n t thu c ải tích, đại số, hình ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
M và các ph n t ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi 10,11,13 M Khi đó v i t p h p ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 5,12,15 ta xét các trười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng h p ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củasau:
+) 5,12M 2M 7,14 M 8 M 3,6 M Do 3.12 6 2 nên M không đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac
ch a m t ph n t nào c a ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa 1, 4,9 vô lí
+) 5,15M 3M 6,8 M 2 M 7,14 M Do 2
7.14.8 28 vô lí
+) 12,15M 6M 3,8 M Do 3.12 6 2 nên Mkhông đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ch a m t ph n t ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổinào c a ủa 1, 4,9 vô lí V y ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M 10 M t khác n u ta l y ặc biệt ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của M 1, 4,5,6,7,10,11,12,13,14
Trang 3V y s ph n t l n nh t c a t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M là 10.
Bài 2 Cho t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của X 1, 2,3, ,16 và M là t p h p con c a t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của X có tính ch tấp dẫn và lí thú của
T n u: ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng M không ch a ba ph n t nào đôi m t nguyên t cùng nhau Tìm s ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
ph n t l n nh t c a ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa M
L i gi i ời giải ải Xét t p h p s ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng A 1, 2,3,5,7,11,13 , ta th y n u t p h p ấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M th a mãn tính ch t ấp dẫn và lí thú của T thì M ch ch a nhi u nh t 2 ph n t c a ỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa A M 11 M t khác t p ặc biệt ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
h p g m 11 ph n t sau th a mãn tính ch t ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ấp dẫn và lí thú của T: 2,3, 4,6,8,9,10,12,14,15,16 V y s ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
ph n t l n nh t c a ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa M là 11
Bài 3 (VMO 2004) Cho t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A 1, 2,3, ,16 Hãy tìm s nguyên dống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng k
nh nh t sao cho trong m i t p con g m ấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất k ph n t c a ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa A đ u t n t i hai s ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũngphân bi t a b, th a mãn 2 2
a b là m t s nguyên t ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
L i gi i ời giải ải Xét t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của B 2, 4,6,8,10,12,14,16 , ta th y ấp dẫn và lí thú của a b B, a2b2 là m t s ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
ch n l n h n 2 nên ẵn lớn hơn 2 nên ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ơ cấp, tổ hợp cũng k th a mãn yêu c u bài toán thì ầu hết các kì thi học sinh k 9 Ta sẽ ch ng minh9
k sẽ là s nh nh t th a mãn yêu c u bài toán Th t v y, ta chia t p h p ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A
thành 8 c p hai ph n t ặc biệt ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi a b, sao cho 2 2
a b là m t s nguyên t :ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
1, 4 , 2,3 , 5,8 , 6,11 , 7,10 , 9,16 , 12,13 , 14,15
Do đó theo nguyên t c Dirichlet thì trong 9 ph n t phân bi t c a t p h p ắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A
ph i t n t i hai s thu c cùng m t c p V y ải tích, đại số, hình ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ặc biệt ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của k nh nh t b ng 9.ấp dẫn và lí thú của ằng 9
Bài 4 Cho t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M 1, 2, ,n n, 2 Hãy tìm s m nh nh t sao cho trong m i ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một
t p con ch a m ph n t c a M đ u t n t i ít nh t hai s ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a b, mà s này là b i ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
c a s kia.ủa ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
L i gi i ời giải ải Xét t p con ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1
n
m
Trang 4minh
1 1 2
c a M Ta xét hai trủa ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng h p ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của n ch n và ẵn lớn hơn 2 nên n l ẻ
TH1 N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2k, ta vi t ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a i 2b i c i, trong đó c i là s l , ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ẻ i1, 2, ,k1 Do ch có đúng ỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai
k s l nên t n t i ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ẻ ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ij sao cho c i c j m t trong hai s ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a a i, j có m t s chia h tột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũngcho s kia.ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
TH2 N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2k 1, ta vi t ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a i 2b i c i, trong đó c i là s l , ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ẻ i1, 2, ,k2 Do ch có ỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vainhi u nh t k+1 s l nên t n t i ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ẻ ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ij sao cho c i c j m t trong hai s ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a a i, j có
m t s chia h t cho s kia.ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
V y s nh nh t th a mãn yêu c u là ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh
1 1 2
n
m
Sau đây ta đ a ra m t s ng d ng c a bài toán trên.ư ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ủa
Bài 4.1 Cho t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M 1, 2, , 2 ,n n 1 Khi đó m i t p h p g m ọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất n 1 ph n t ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi
c a ủa M đ u ch a hai ph n t là b i c a nhau.ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa
K t qu này khá hay và có nhi u ng d ng trong vi c gi i các bài toán liên ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hình ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hìnhquan Sau đây tôi xin đ a ra m t s bài t p v n d ng h qu đã nêu trên.ư ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ởng cũng như mục đích của bài toán Để
Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của S1, 2, , 6 ,n n 2 Tìm s nguyên dống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng k l nới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt
nh t sao cho kh ng đ nh sau đúng: m i t p con ấp dẫn và lí thú của ị trí đặc biệt ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A c a ủa S, A 4n, có ít nh t ấp dẫn và lí thú của k
c p ặc biệt a b a b, , và a b
L y ấp dẫn và lí thú của A2n1, 2n2, ,6n N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng x y A x y, , , ta có
6 32 21
yn yx xn
Do đó x y A x y, , thì c p ặc biệt x y,
ph i có d ng ải tích, đại số, hình ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú 2n t n , 4 2 ,t t 1, 2, ,n T đó ta đừ đó ta được ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac k n
N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng k n , ta gi s có ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi k c p là ặc biệt x y1 , 1 , x y2 , 2, ,x y k, k c a t p con ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của S Xét t pận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
1 2
B A x x x Vì m i c p ọng, hấp dẫn và lí thú của ặc biệt x y x B y B, , , và x y, không là b i c a nhau Ta cóột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa
Trang 54 3 3 1
B A k n n n B n T đây, k t h p v i bài 4.1 ta suy ra trong t pừ đó ta được ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
B có hai ph n t là b i c a nhau, vô lí V y s nguyên dầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng l n nh t th a mãnới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của
y u c u bài toán là ầu hết các kì thi học sinh k n
Ch ng minh r ng ằng 9 1
2 3
n
a
Gi s ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi 1 1 1
Xét t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 2 ,3 , , ,a a a1 1 2 a n g m ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất n 1 ph n tầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi
c a t p ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , 2n nên theo bài 4.1 ta có t n t i hai s là b i c a nhau Gi sồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi
n
phân s t i gi nống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hình
d ng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
p
q, trong đó p q, ,1 q n
Gi s trong kho ng có đ dài b ng ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ằng 9
1
n có nhi u h n ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ơ cấp, tổ hợp cũng
1 2
n
phân s t i gi nống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hình
d ng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
p
q, trong đó p q, ,1 q n Theo bài 4.1 thì t n t i hai phân s ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ,
j i
p p
Trang 6Ta nh n th y n uận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng kp i p j 0 k p j p q j, j 1
q q n Do đó bài toán đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ch ng minh
Bài 5 Cho X là m t t p con c a t p ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2,3, ,10000 , sao cho n u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng a b, n m trong X ằng 9.thì ab không n m trong X Tìm s ph n t l n nh t c a t p X.ằng 9 ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
L i gi i ời giải ải Xét t p h p con ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M 101,102, ,10000 c a ủa 1, 2,3, ,10000 , do 101 2 10000
nên t p h p M th a mãn yêu c u bài toán, t p h p M có 9900 ph n t Ta sẽ ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi
ch ng minh 9900 là s l n nh t th a mãn yêu c u bài toán Th t v y, xét t p ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củacon A g m có 9901 ph n t , ta ch ng minh t p A không th a mãn yêu c u bài ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinhtoán Xét 100 b s sauột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng : 100 i,100i, 100 i 100i ,0 i 99 D th y n u c 3 ễ thấy nếu cả 3 ấp dẫn và lí thú của ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ải tích, đại số, hình
s c a m i b trên thu c A thì vô lý suy ra ph i có ít nh t m t s trong m i b ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ủa ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
đó không thu c Aột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A 10000 100 9900 , vô lí V y s ph n t l n nh t c a X ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa
b ng 9900.ằng 9
Bài 6 Cho A là m t t p con c a t p h p ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1; 2;3; ;100 , A có ph n t nh nh t làầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ấp dẫn và lí thú của
1 và ph n t l n nh t là 100 Gi s ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi A có tính ch t: V i m i ph n t ấp dẫn và lí thú của ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi x c a ủa A,1
x thì x ho c b ng t ng c a hai ph n t thu c ặc biệt ằng 9 ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A ho c b ng hai l n m tặc biệt ằng 9. ầu hết các kì thi học sinh ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
ph n t thu c ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A Tìm s ph n t nh nh t có th c a t p h p ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A
L i gi i ời giải ải Gi s t p h p ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A g m ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất n ph n t là ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi 1 x1 x2 x n1 x n 100 V i m iới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một
s ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng 2 i n ta có:
Trang 7X X i j X X i j k Tìm giá tr l n nh t có th có c a ị trí đặc biệt ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ể nghiên cứu mà còn đóng vai ủa k.
V i ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt k 2n 1
, ta xét ph n t ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi a X và g i ọng, hấp dẫn và lí thú của 2n1
t p con c a ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa X \ a là A A1 , 2 , ,A2n 1 Khi
đó X1 A1 a X, 2 A2 a , ,X2n 1 A2n 1 a là 2n1 t p con c a ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa X th a mãn yêu
c u bài toán V y giá tr l n nh t c a ầu hết các kì thi học sinh ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ị trí đặc biệt ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa k 2n 1
Bài 8 Cho n k, là các s nguyên dống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng, n 2 Tìm s nguyên dống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ươ cấp, tổ hợp cũngng nh nh t ấp dẫn và lí thú của k
sao cho b t kì m t h g m ấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất k t p h p con c a t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , n đ u tìm đều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ba t pận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
h p phân bi t khác r ng mà m t trong chúng là h p c a hai t p h p còn l i.ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
L i gi i ời giải ải Trưới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệtc h t ta ch ng minh hai b đ sau đây:ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
B đ 1 ổ đề 1 ề 1 Cho n là m t s nguyên ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2 Khi đó luôn t n t i m t h ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của 2n1 t p conận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
c a t p h p ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , n sao cho b t kì ba t p h p phân bi t khác r ng c a h nàyấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ủa ọng, hấp dẫn và lí thú của
đ u không th a mãn tính ch t m t trong chúng là h p c a hai t p h p còn l i.ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ấp dẫn và lí thú của ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
Ta sẽ ch ng minh b đ này b ng quy n p nh sau: ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ằng 9 ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ư
+) Khi n 2 đ th y th a mãn.ễ thấy nếu cả 3 ấp dẫn và lí thú của
Trang 8+) Ta gi s b đ này đúng đ n ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2, t c là t t p h p ừ đó ta được ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , n luôn t n t iồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
Th a mãn không có t p h p nào là h p c a hai t p h p phân bi t khác nó.ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
V y ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của b đ 1 ổ đề 1 ề 1 đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ch ng minh
B đ 2 ổ đề 1 ề 1. Cho n là m t s nguyên ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2 Ch ng minh r ng m i h g m ít nh tằng 9 ọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ấp dẫn và lí thú của
Ta ch ng minh b ng quy n p toán h c.ằng 9 ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ọng, hấp dẫn và lí thú của
+) Khi n 2 đ th y ễ thấy nếu cả 3 ấp dẫn và lí thú của b đ 2 ổ đề 1 ề 1 là đúng.
+) Gi s ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi b đ 2 ổ đề 1 ề 1 đúng đ n ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng n 2, t c là m i h ọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của 2n1 1
t p con c a t p h pận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
1, 2, , n luôn t n t i ba t p h p phân bi t khác r ng mà m t trong chúng làồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
h p c a hai t p h p còn l i.ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
Ta ch ng minh trong b t kì ấp dẫn và lí thú của 2n 1
t p con c a t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , ,n n 1 luôn t n t iồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
ba t p h p phân bi t khác r ng mà m t trong chúng là h p c a hai t p h p cònận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
l i.ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
Th t v y, s t p con ch a ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của n 1 b ng ằng 9 2n
G i ọng, hấp dẫn và lí thú của k là s t p con trong ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 2n 1
t p conận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
c a t p h p ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của 1, 2, , ,n n 1 đã xét trên Khi đó ta xét các trởng cũng như mục đích của bài toán Để ười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng h p:ơ cấp, tổ hợp cũng
TH1 N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng k 2n 1 1
thì theo gi thi t quy n p ta có đpcm.ải tích, đại số, hình ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúTH2 N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng 2n 1
thì có ít nh t ấp dẫn và lí thú của 2n 1 2n 1 2n 1 1
t p con ch a ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của n 1 trong 2n 1
t p đã xét trên Gi s ta xét ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ởng cũng như mục đích của bài toán Để ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi 2n1 1
t p d ng này là ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú A A1 , 2 , ,A2n 1 1
Đ t ặc biệt B i A i\n1
Trang 9i) N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng B i , i thì theo gi thi t quy n p ta có đpcmải tích, đại số, hình ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
ii) N u t n t iế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ồm 11 phần tử sau thỏa mãn tính chất ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú i sao cho B i thì A i n1 Trong 2n 1
t p đã ch n trênận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ọng, hấp dẫn và lí thú của ởng cũng như mục đích của bài toán Để
ph i có m t t p con khác r ng c a ải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ủa 1, 2, , n gi s nó là ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi C
N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng CB j, j i thì theo gi thi t quy n p ta có đpcm.ải tích, đại số, hình ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú
N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng j i C, B j thì ba t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A C n j, , 1 th a mãn yêu c u bài toán.ầu hết các kì thi học sinh
V y ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của b đ 2 ổ đề 1 ề 1 đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac ch ng minh
Tr l i ởng cũng như mục đích của bài toán Để ạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú Bài 8 thì d th y ễ thấy nếu cả 3 ấp dẫn và lí thú của k nh nh t b ng ấp dẫn và lí thú của ằng 9 2n1 1
Bài 9 (Bài toán v kho ng cách Hamming) ề 1 ải. Cho n d , * n , d ∈ G i C là t p h pọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của
ch a các xâu nh phân có đ dài b ng ị trí đặc biệt ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ằng 9 n và kho ng cách Hamming có đ dàiải tích, đại số, hình ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củakhông nh h n ơ cấp, tổ hợp cũng d Kí hi u M n d , M là s ph n t l n nh t c a t p h p C Khiống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củađó
1) N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng 2d n 2 d >n thì
Trang 10+) Xét ma tr n ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của M n M × n, trong đó m i dòng là m t ph n t c a ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ủa C C G i ọng, hấp dẫn và lí thú của m m i i là sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
s 0 c t th ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ởng cũng như mục đích của bài toán Để ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của i và tươ cấp, tổ hợp cũngng ng c t th ởng cũng như mục đích của bài toán Để ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của i đó có M m i M−m i s 1 Do xét quan h haiống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũngxâu x, y có tính đ i x ng nên suy ống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng
Sau đó xét các trười rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phúng h p ch n, l c a ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ẵn lớn hơn 2 nên ẻ ủa M
+) N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng M ch n thì t (1) ta có ẵn lớn hơn 2 nên ừ đó ta được
d M
Xét t p h p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của X a a1 , , , 2 a n và ta cho tươ cấp, tổ hợp cũngng ng m i xâu nh phân ỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một ị trí đặc biệt t t t1 2 n c a ủa C
v i m t t p con ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ột bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A c a ủa X theo nguyên t cắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình : N u ế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng t i 1 thì t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A ch a ph n t ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi a i và0
i
t thì t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A không ch a ph n t ầu hết các kì thi học sinh ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi a i Gi s các t p con ải tích, đại số, hình ử dụng số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A là A A1 , 2 , ,A m Khi đó ta
có A A i j d,1 i j m , và M là giá tr l n nh t c a ị trí đặc biệt ới độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt ấp dẫn và lí thú của ủa msao cho các t p con ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A i th amãn tính ch t ấp dẫn và lí thú của A A i j d,1 i j m Hai t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của A A i, j th a mãn tính ch t ấp dẫn và lí thú của A A i j d
đượp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú củac g i là hai t p ọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của không gi ng nhau ống nhau. Xét t p ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của X' Xa n1 Ta thi t l p các t pế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của ận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của