c Khi đờng thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi... Yªu cÇu néi dung.[r]
Trang 1Đề khảo sát chất lợng học sinh mũi nhọn- Đờ7
năm học 2010-2011
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3,0 điểm): Cho biểu thức: A= x
2 +x −2
x2 +5 x+6
a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm):
a) Chứng minh rằng số C = ⏟444 44
n số 4
88 8
⏟
n −1 số 8
9 viết đợc dới dạng bình phơng của một số
tự nhiên.
b) Giải phơng trình: ||x|−3|=x +1
Bài 3 (4,0 điểm):
a) Cho a + b + c=0 và a 2 + b 2 + c 2 =14
Tính giá trị của biểu thức B = a 4 + b 4 + c 4
b) Tìm số nguyên dơng n để n 5 +1 chia hết cho n 3 +1
Bài 4 (2,0 điểm):
Cho a, b, c > 0 và a+b+c 1 Chứng minh rằng: 1
a2+2 bc+
1
b2+2 ac+
1
c2+ 2ab≥ 9
Bài 5 (2,0 điểm):
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM Gọi N là trung điểm của AM,
BN cắt cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F Tính diện tích tứ giác AFNE theo S.
Bài 6 (5,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD Qua A kẻ một đờng thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lợt tại E, K, G Chứng minh:
a) AE 2 =EK EG
b) 1
AE=
1
AK +
1 AG
c) Khi đờng thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
Hớng dẫn chấm toán 8
Trang 2Câu ý Yêu cầu nội dung Điểm
1
a
1,0 đ
a- ĐKXĐ: x2+5 x +6 ≠ 0 ⇔( x +2) ( x+3 )≠ 0 ⇒ x ≠ −2 ; x ≠ −3
0,25 đ
A= x2+x −2
x2+5 x+6=
(x −1) ( x+2 ) ( x+2 )( x +3)=
x − 1
b
2,0 đ
A= x −1 x+3=1−
4
x +3
0,5 đ
Để A nguyên thì 4
x+3 nguyên hay x+3Ư(4)
0,5 đ
Suy ra:
Vì ĐKXĐ: x-2
0,75 đ
Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1
0,25
2
a
2,0 đ
Đặt 111 .11⏟
n số 1
=athì
Ta có: số C = ⏟444 44
n số 4
88 8
⏟
n −1 số 8
9 =
444 44
⏟
n s ố 4
88 8
⏟
n số 8
= 4a(9a+1) +8a+1= 36a 2 +12a+1= (6a+1) 2 0,5 đ
= (666 6⏟(n-1)số 6
7
b
2,0 đ
* Xét khoảng x0 phơng trình đã cho trở thành:
Với x ≥ 3 pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm 0,25
Trang 3Với 0 ≤ x<3 pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang
* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành: |x +3| =x+1
Với −3 ≤ x< 0 pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm
0,25
Với x <−3 pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc
Vậy phơng trình đã cho có tập nghiệm S ={ 1 } 0,5 đ
3
a
2,0 đ
Ta có: 142=(a2+b2+c2)2
⇔196=a4
+b4+c4+2 a2b2+2 a2c2+2 c2b2
⇔ a4 +b +c4=196− 2(a2c2+a2b2+b2c2)
0,5 đ
Lại có: a+b+c=0 ⇒( a+b+c )2
= 0
⇒ a2 +b2 +c2 +2 ab+2 ac+2 bc=0⇒ab+ac+bc=−7
⇒(ab+ac+bc )2
=49
⇒ a2
b2+a2c2+b2c2+2 ab2c+2 bc2a+2 ca2b=49
⇒ a2
b2+a2c2+b2c2+2 abc(a+b+c)=49
1,0 đ
Do đó :⇒ a2
b2+a2c2+b2c2= 49
b
2,0 đ n5 +1 ⋮ n 3
+ 1⇔ n2(n3 +1)−(n2−1)⋮ n3
+ 1
⇔ (n+1)( n− 1)⋮ (n+1)(n2−n+1)
1,0 đ
Trang 4⇔ n− 1⋮ n2
−n+1 (vì n+1 ≠ 0)
Nếu n=1 thì đợc 0 chia hết cho 1 Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n 2 -n+1 nên (n-1) không thể chia hết cho n 2 -n+1
Vậy giá trị duy nhất của n tìm đợc là 1
1,0 đ
Đặt x=a 2 +2bc ; y= b 2 +2ac; z=c 2 +2ab ⇒ x , y, z>0
Chứng minh đợc ( x + y + z )(1x+
1
y+
1
z)≥ 9
⇒1
x+
1
y+
1
z ≥
9
x + y +z
Mà x+y+z=(a+b+c) 2 1
1 1
2
c b a z y
x+
1
y+
1
z ≥ 9
Suy ra điều phải chứng minh.
0,25 đ
1,0 đ 0,25 đ
0,5 đ
K
N
B
A
⇒ BK=KF=FA
SAKM=4 SAFN; SBKM=2 SAFN
0,25 đ 0,5 đ
⇒ SABM=6 SAFN mà SABM=S
2⇒ SAFN= S
Tơng tự có: SANE= S
12⇒ SAFNE=S
Trang 5G K
E
B
C D
A
a
2,0 đ
Do BK//AD, nên EK
AE=
BE
Do AB//DG, nênAE
EG=
BE
Từ (1)(2) ⇒EK
AE=
AE
EG ⇒ AE2
b
2,0 đ
Ta có: AE
EK =
DE
AK=
DE
Tơng tự: AE
AG=
BE
Công từng vế của (3) và (4) ta có:
AE
AK+
AE
AG=
DE
DB +
BE
BD=
BD
BD=1 hay
1
AE=
1
AK +
1 AG
1,0 đ
c
1,0 đ
Đặt AB=a; AD=b thì: BK
KC =
a
CG và
KC
b =
CG
Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta đợc:
BK
b = a
DG ⇒ BK DG=ab có giá trị không đổi 0,5 đ