DE THI HSG TOAN 8 CO DAP AN

Phân tích đa thức thành nhân tử :.[r]

Câu I: (2 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:



b) Xác định các hệ số a, b để đa thức f(x) = x3 ax  b chia hết cho đa thức x2  x 6

Câu II: (2 điểm)

Giải các phơng trình sau:

a)

2

1

b) x x 2 x 1 x 1           24

Câu III: (2 điểm)

a) Cho x, y, z là các số khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn:

0

Tính giá trị của biểu thức:

A

b) Cho biểu thức M =

2 2

x với x > 0 Tìm x để M có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu IV: (3 điểm )

Cho hình thoi ABCD có BAD   1200 Gọi M là một điểm nằm trên cạnh AB, hai đờng thẳng DM và BC cắt nhau tại N, CM cắt AN tại E Chứng minh rằng:

a) AMD ∽ CDN và AC2  AM.CN

b) AME ∽ CMB .

Câu V: (1 điểm)

Cho a , b là các số dơng thỏa mãn: a3 b3  a5 b5 Chứng minh rằng: a2 b2   1 ab

Đáp án và biểu điểm:

a)

1 đ

ĐKXĐ

Rút gọn A:

 

 



  











2

2

x x x 1 x 2x 1

x x 1 x 1 x 1

x 1

1 x

x x 1 x 1

x 1 A

x

0,25 đ ,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

b)

2

 f(- 3) = 0   3a  b  27 (1)

Thay a = - 7 vào (1) tìm đợc b = 6

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

a)

 







2

2

2

x 3x 4 x 4 x 1

1

x 4 (x 1) x 4 x 1

15x 12 x 1 4 x 4 x 3x 4

x 4x 0

x 0

x x 4 0

x = 0 (thỏa mãn đ/k) ; x = - 4(không thỏa mãn đ/k)

Vậy nghiệm của phơng trình là x = 0

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

b)

1 đ x x 2 x 1 x 1        24

Đặt 2

x x = t Phơng trình trở thành:

   

t t 2 24

Giải phơng trình tìm đợc t = - 4 ; t = 6

* Với t = - 4 => x2 x  4

2

trình vô nghiệm)

* Với t = 6 => x2 x 6 x2 x 3    0

Giải phơng trình đợc: x= - 2 ; x = 3

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

a)

1 đ

Từ giả thiết:

x,y,z >0)

Tơng tự ta có: z2  2xy = z x z   y

y2 2xz = y z y x   

Khi đó:                  

A









yz y z xz z x xy x y

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z y z

x z x y y z

yz y z xz x z xy x z xy y z

x z x y y z

x x z y z y y z x z

x z x y y z

x z x y y z

1

x z x y y z

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

b)

1 đ

Ta có: M =



0,25 đ

0,25 đ



2

2011x

Dấu “=” xấy ra  x 20112  0 x2011

(thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

2010

2011 đạt đợc khi x  2011

0,25 đ

0,25 đ

a)

1,5 đ

M

A

B

C

D N

E

0,25 đ

* Xét AMD và CDN có

AMD CDN ( so le trong)

ADM CND ( so le trong)

 AMD ∽ CDN ( g g )

* Vì AMD ∽ CDN

 AM CN = AD CD

Vì   0   0  

 AD = CD = AC

 AM CN = AC2

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

b)

1,25 đ

Vì AM CN = AC2 theo (a)

Chứng minh     0

  MAC ∽  CAN ( c g c)

 ACM   CNA 

Mà     0

Xét AME và CMB có

AME BMC ( đối đỉnh); AEM  MBC  60 0

 AME ∽ CMB ( g g)

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

1 đ

đúng  a, b > 0

0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng nếu: a

b

c

z = 0 ;

x

y

z

; x

2

a2+

y2

b2+

z2

Giải: a

b

c

x

y

z

c =1 ⇒ ( x a +

y

z

c )2

x2

a2+ y2

b2+ z2

a2+

y2

b2+

z2

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

b x2+8 x +15

d x3− x2

+x +3

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

( x2− x )2−2 ( x2− x ) −15

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x - y)a3

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz

4 Tìm x,y thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14

5 Cho a +| b + c + d = 0

Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)

6 Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

7 Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

là số chính phương

8 Biết a - b = 7 Tính giá trị của biểu thức sau: a2( a+1) −b2( b − 1)+ab −3 ab (a − b+1)

9 Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:

¿

x + y +z=1

x2+ y2+ z2=1

x3

+ y3

+ z3=1

¿ {{

¿

Hãy tính giá trị biếu thức

10

a.Tính 12− 22+32− 42+ +992− 1002+1012

b.Cho a + b + c = 9 và a2 + b2 + c2 = 53

Tính ab + bc + ca

11 Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện

x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0

Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)2005 + (y - 1)2006 + (z+1)2007

12 Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện : 1

1

1

1

Tính Q = (a25 + b25)(b3 + c3)(c2008 - a2008)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử :

+ x +3=( x +1) ( x2−2 x +3 )

2 Phân tích đa thức thành nhân tử :

( x2− x )2−2 ( x2− x ) −15= ( x2− x −5 )( x2− x +3 ) .

3 Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y3 - (a - y)x3 + (x-y)a3

¿ ( x − y )( x − a )( y −a )( x + y +a )

2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc

¿ (a+b )( b+c ) (c+ a)

3.x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz

( x+ y )( y + z ) ( z+ x )

4 x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14

+ (2 y −3 )2∨+( z − 2)2

5 Từ a + b + c + d = 0 ⇒(a+ b)3=−(c+ d)3 Biến đổi tiếp ta được :a3 + b3 + c3 + d 3= 3(c + d)( ab + cd)

6 Nếu x + y + z = 0 thì :

x3+ y3+ z3=3 xyz ⇒

( x3+ y3+ z3)( x2+ y2+ z2) =3 xyz ( x2+ y2+ z2)

+ y5

+ y2

+ z2 )

⇔2 ( x5

+ y5

+ y2

+ z2) ;()

+ y2

+ z2)

Nhưng: (x+ y+ z)2=0⇒−2 xyz(xy +yz +zx)=x2+y2+z2 (**)

Thay (**) vào (*) ta được:

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2)

7 Với x,y nguyên thì :

A = y4 + (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)

¿ ( x2+5 xy+5 y2

)2

8 Biến đổi a2(a+1) −b2(b − 1)+ ab −3 ab (a − b+1)=( a− b)2(a −b+ 1)

¿

x + y +z=1

x3+ y3+ z3=1

¿ {

¿

x+ y=0

¿

y +z=0

¿

z+ x=0

¿

¿

¿

¿

⇒ P=− 2

10

a Sử dụng hằng đẳng thức a2 - b2 ; S -=5151

b Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)2; P = 14

11 Từ giả thiết suy ra: x2 + y2 + z2 = 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

1

1

1

Tính được Q = 0