Bài 32,0đ: Độ dài các cạnh của một tam giác tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì các tổng này tỷ lệ theo 3:4:5.. Hỏi mỗi máy xa[r]
Trang 1PHềNG GD & ĐT TP HỘI AN KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIấM NĂM HỌC: 2015 - 2016
Mụn: Toỏn - Lớp 7
Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề)
==================
Đề thi này gồm 01 trang
Bài 1(2,0 đ).
a) Cho x, y, z 0 và x-y-z =0
Tớnh giỏ trị biểu thức A = 1 1 1 .
b) Cho x, y, z thoả món x.y.z =1
Chứng minh:
1
y
xy x yz y xyz yz y
Bài 2 (2,0 đ):
Cõu 1: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: a) 3x2 + 5y2 =12
b)
2 2
36 y 8 x 2016
Cõu 2: Cho x, y là những số dương và x+y =6 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu
thức P=
1 1
x y
Bài 3(2,0đ):
Độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc tỉ lệ với nhau như thế nào,biết nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giỏc đú thỡ cỏc tổng này tỷ lệ theo 3:4:5
Bài 4 (2,0đ): Ba mỏy xay xay được 359 tấn thúc Số ngày làm việc của cỏc
mỏy tỉ lệ với 3:4:5, số giờ làm việc của cỏc mỏy tỉ lệ với 6, 7, 8, cụng suất cỏc mỏy tỉ lệ nghịch với 5,4,3 Hỏi mỗi mỏy xay được bao nhiờu tấn thúc
Bài 5 (2,0đ):
Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC Đường thẳng vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại M cắt cạnh AB , AC lần lượt tại E
và F
Chứng minh :
a) EH = HF
b) 2BME ACB B
c)
2
4
FE
d) BE = CF
đề chính thức
Trang 2ĐÁP ÁN- HƯỚNG CHẪM CHẤM TOÁN 7
từng phần
Điểm toàn phần 1a Từ x-y-z =0
Suy ra x=y+z
y= x-z -z=y-x Tính được giá trị biểu thức A =
y z x
x y z
0,25
0,25 0,5
1.0
1b Từ xyz =1
Suy ra
xy x 1 yz y 1 xyz yz y
xyz xz z xyz xyz xz x yz xyz xyz 1
0,5 0,5
1,0
2.1a 3x 2 + 5y 2 =12 3(x 2 +1)=5(3-y 2 )
Do (3,5) =1 nên suy ra x 2 +1 5 hay x 2 +1 =5m (m Z)
và 3-y 2 3 hay 3-y 2 =3n ( n Z)
Ta có 3.5m=5.3n => m=n
2
2
1
1 5
m n
Với m=1 => x=1 hoặc x=-1
n = 1 => y = 0
Vậy ta có ( 2,0) và (-2,0) là 2 cặp ( x,y) thỏa mãn
0,25
0,25
0,5
2.1b
Ta có: 36 y2 8x 20162 y28x 20162 36
8 2016 36 ( 2016)
8
Vì 0 ( x 2016)2 và x Z , x 20162là số chính phương nên
2
( 2016) 4
x hoặc (x 2016)2 1 hoặc
2
(x 2016) 0
0,25
Trang 3+ Với
2014
x
x
4
2
y y
y
+ Với (x 2016)2 1 y2 36 8 28 (loại)
+ Với (x 2016)2 0 x2016 và
36
6
y y
y
Vậy
( , ) (2018;2);(2018; 2); (2014; 2);
(2014; 2); (2016;6);(2016; 6).
x y
0,25
0,5
2.2 Đặt x=3+a thì y=6-3-a=3-a
Thay vào P ta được
P đạt giá trị nhỏ nhất là
2
3 khi a=0 tức x=3 và y=3
0,5 0,5
1,0
3a Gọi độ dài các cạnh tam giác là a, b, c ; các đường
cao tương ứng với các cạnh đó là ha , hb , hc
Ta có: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5
Hay:
1
3(ha +hb) =
1
4( hb + hc ) =
1
5( ha + hc ) = k , ( với k 0)
Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) =
5k
Cộng các biểu thức trên, ta có: ha + hb + hc = 6k
Từ đó ta có: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k
Mặt khác, gọi S là diện tích ABC , ta có:
a.ha = b.hb =c.hc
a.2k = b.k = c.3k
3
a
= 6
b
= 2
c
0,25
0,25 0,25 0,25
1,0
4 Gọi x1, x2 x3 lần lượt là số ngày làm việc của 3 máy
(1) Gọi y1, y2, y3 lần lượt là số giờ làm việc của các máy
(2) Gọi z1, z2, z3 lần lượt là công suất của 3 máy
0,25 0,25
Trang 4 5z1 = 4z2 = 3z3
(3)
Mà x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3)
Từ (1) (2) (3)
15
x y z x y z x y z
x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105;x3y3z3 = 200 Vậy số
thúc mỗi đội lần lượt là 54, 105, 200
0,25
0,25 0,25
0,25 0,5
1,5
3,5
5a C/m đợc AEH AFH(g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 0,5
5b
Từ AEHAFH Suy ra
1
E F Xét CMF có ACB là góc ngoài suy ra CMF ACB F
BME có E1 là góc ngoài suy ra BME E 1 B
vậy
1
CMF BME ACB F E B
hay 2BME ACB B (đpcm)
0,25 0,25
0,25 5c áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :
ta có HF 2 + HA 2 = AF 2 hay
2
4
FE
5d
C/m AHEAHF g c g( ) Suy ra AE = AF và
1
E F
Từ C vẽ CD // AB ( D EF )
C/m đợc BMECMD g c g( ) BE CD (1)
và có
1
E CDF (cặp góc đồng vị)
do do đó CDF F CDF cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF
0,5 0,5
0,25 0,25
Chỳ ý:+ HS vẽ hỡnh sai cõu nào thỡ khụng chấm điểm cõu đú
+ HS làm cỏch khỏc đỳng kết quả vẫn cho điểm tối đa
1
C H
M E
D B
A
F