Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh a, b và c, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huy[r]
Trang 1Trong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore theo tiếng Pháp hay định lý
Pythagorastes theo tiếng Anh) là một liên hệ trong hình học phẳng giữa ba cạnh tam giác của một tam giác vuông
Định lý này được đặt tên theo nhà vật lí học và nhà toán học Hy Lạp.Pytago sống vào thế kỷ 6 TCN, mặc dù định lý toán học này đã được biết đến bởi các nhà toán học La Mã (trong
quyển Sulbasutra của Baudhayana và Katyayana),Trung Quốc và Babylon từ nhiều thế kỷ trước Hai cách chứng minh cổ nhất của định lý Pytago được cho là nằm trong quyển Chu bễ toán kinh (周髀算经) khoảng năm 500 đến 200 TCNvà Các nguyên tố của Euclid khoảng 300 năm TCN
Mục lục
[ ẩn ]
1
Định lý
2
Định lý đảo
3
Định lý tổng quát
4
Các cách chứng minh
o 4.1 Chứng minh của Euclid
o 4.2 Dùng hình mở rộng
o 4.3 Cắt và ghép
o 4.4 Chứng minh bằng đại số
5
Tham khảo
6
Xem thêm
7
Liên kết ngoài
[sửa]Định lý
Cách phát biểu của Euclide:
Tổng diện tích của hai hình vuông vẽ trên cạnh kề của một tam giác vuông bằng diện tích hình vuông vẽ trên cạnh huyền của tam giác này.
Trang 2Một tam giác vuông là một tam giác có một góc vuông; các cạnh kề góc vuông đó còn gọi là cạnh góc vuông thuộc tam giác đó; cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông Trong hình
vẽ dưới, a và b là các cạnh kề(cạnh góc vuông), c là cạnh huyền:
Pytago đã phát biểu định lý mang tên ông trong cách nhìn của hình học phẳng thông qua:
Diện tích hình vuông tím(hinh c) bằng tổng diện tích hình vuông đỏ (b) và xanh lam (a).
Tương tự, quyển tsubasa chép:
Một dây thừng nối dọc đường chéo hình chữ nhật tạo ra một diện tích bằng tổng diện tích tạo ra từ cạnh ngang và cạnh dọc của hình chữ nhật đó.
Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số, có thể viết định lý Pytago dưới dạng hiện đại, chú ý rằng diện tích một hình vuông bằng bình phương độ dài của cạnh hình vuông đó:
Nếu một tam giác vuông có cạnh kề dài bằng a và b và cạnh huyền dài c, thì a2 + b2 = c2
[sửa]Định lý đảo
Định lý đảo Pytago phát biểu là:
Cho ba số thực dương a, b, và c thỏa mãn a2 + b2 = c2, tồn tại một tam giác có
các cạnh là a, b và c, và góc giữa a và b là một góc vuông.
Định lý đảo này cũng xuất hiện trong quyển Các nguyên tố và được phát biểu bởi Euclid là:
Nếu bình phương của một cạnh của một tam giác bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác có góc nằm giữa hai cạnh nhỏ là góc vuông.
[sửa]Định lý tổng quát Kết hợp cả định lý thuận và đảo, có thể viết định lý Pytago dưới dạng:
Một tam giác có ba cạnh a, b và c, thì nó là tam giác vuông với góc vuông giữa a và b khi
và chỉ khi a2 + b2 = c2
Trang 3Dùng khái niệm véctơ, có thể phát biểu định lý này là:
góc với nhau
Sử dụng bất đẳng thức tam giác của các véctơ, định lý Pytago trở thành trường hợp đẳng thức của bất đẳng thức tam giác:
tương đương
[sửa]Các cách chứng minh
Xem thêm Danh sách các chứng minh định lý Pytago
Có hàng nghìn cách chứng minh cho định lý Pytago Dưới đây là một vài cách nổi tiếng [sửa]Chứng minh của Euclid
[sửa]Dùng hình mở rộng
[sửa]Cắt và ghép
Có nhiều cách cắt, ghép hình thể hiện định lý Pytago:
Trang 4
[sửa]Chứng minh bằng đại số
Diagram of the two algebraic proofs
Định lý có thể chứng minh bằng phương pháp đại
số khi sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có
các cạnh a, b và c, các tam giác này được sắp
xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh
huyền c.[1] Các tam giác bằng nhau có diện
Trang 5tích , khi đó hình vuông nhỏ bên trong có
cạnh là b − a và diện tích là(b − a)2 Diện tích của hình vuông lớn là
Vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích c2, nên
Một cách chứng minh tương tự là xăp xếp 4 hình tam giác vuông trên xung quanh một hình vuông có cạnh là
'c (hình dưới).[2] Kết quả tạo ra một hình vuông lớn hơn có cạnh là a + b và diện tích (a + b) 2 Tổng diện tích 4 tam giác
và hình vuông có cạnh c bằng với diện tích của hình vuông lớn hơn,
ta có
Biểu đồ chứng minh của Garfield Một phương pháp chứng minh nữa do cựu tổng thống
Mỹ James A Garfield đưa ra.[3] [4] Thay vì sử xếp thành hình vuông, ông sử dụng hình thang, hình thang này có thể xây dựng
từ hình vuông theo cách chứng
Trang 6minh thứ 2 ở trên bằng cách cắt thành 2 hình thang dọc theo đường chéo của hình vuông bên trong Diện tích của hình thang bằng 1/2 diện tích của hình vuông lớn:
Hìng vuông bên trong tương tự cũng giảm đi 1/2,
và chỉ có 2 tam giác khi đó các bước chứng minh có thể tính tương tự như trên
trừ hệ số , hệ số này đã bị loại ra bằng cách nhân 2 để thu được kết quả
[sửa]Tham khảo
1. ^ Alexander
Bogomolny “Cut-the-knot.org:
Pythagorean theorem and its many proofs, Proof
#3” Cut the Knot
Truy cập 4 tháng 11 năm 2010.
2. ^ Alexander
Bogomolny “Cut-the-knot.org:
Pythagorean theorem and its many proofs, Proof
#4” Cut the Knot
Truy cập 4 tháng 11 năm 2010.
Trang 73. ^ Published in a weekly mathematics column: James A
Garfield (1876) The New England Journal of
Education 3: 161 as
noted in William Dunham (1997) The
mathematical universe: An alphabetical journey through the great proofs, problems, and personalities
Wiley
tr 96 ISBN 0471176
613 and in A calendar of
mathematical dates:
Frederick Rickey
animated proofs
[sửa]Xem thêm
Pytago
Định lý cuối cùng của Fermat
Bộ ba Pytago
[sửa]Liên kết ngoài
Trang 8Wikimedia Commons có thêm thể loại hình ảnh và tài liệu về: Định lý Pytago. (bằng tiếng Anh)
Over 50 proofs of the
Pythagorean theorem
Dijkstra's generalization
Theorem is Equivalent
to the Parallel
Postulate