Một số dạng toán ứng dụng của tỉ số đồng dạng

Đây là một phần quan trọng của hình học sơ cấp, là công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán hình học như các bài toán về tỉ lệ đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, chứng minh các đoạn thẳng

LỜI CẢM ƠN

Như vậy sau thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của thầy giáo ThS Tần Bình và sự giúp đỡ của các bạn sinh viên trong tập thể lớp 08ST luận văn cơ bản được hoàn thành Em xin gởi đến thầy và các bạn lời cảm ơn chân thành nhất, lời chúc sức khỏe và thành đạt

Em cũng xin gởi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập, rèn luyện và thực hiện đề tài

Do lần đầu tham gia nghiên cứu khoa học và do trình độ năng lực còn hạn chế nên chắc hẳn luận văn còn nhiều thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn góp ý chân thành để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn

Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Hoa

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài: 5

2 Mục đích nghiên cứu: 5

3 Nhiệm vụ nghiên cứu: 5

4 Phương pháp nghiên cứu: 6

5 Cấu trúc luận văn: 6

MỘT SỐ KÍ HIỆU 7

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 8

1 Tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng 8

1.1 Đoạn thẳng tỉ lệ 8

1.2 Định lí Talet trong mặt phẳng 8

1.2.1 Định lí thuận: 8

1.2.2 Định lí đảo: 8

1.3 Định lí Talet trong tam giác 9

1.3.1 Định lí thuận: 9

1.3.2 Định lí đảo: 9

1.3.3 Mở rộng: Định lí về chùm đường thẳng đồng quy 9

1.3.3.1 Định lí thuận: 10

1.3.3.2 Định lí đảo: 10

1.4 Định lí về tỉ số diện tích tam giác: 10

1.5 Định lí về đường phân giác trong tam giác: 10

1.5.1.Đường phân giác trong 10

1.5.2 Đường phân giác ngoài 11

1.6 Tam giác đồng dạng 11

1.6.1 Định nghĩa 11

1.6.2 Dấu hiệu: 11

1.6.3 Tính chất 12

2 Tỉ số đồng dạng trong không gian 12

2.1 Định lí Ta-lét trong không gian 12

2.1.1 Định lí thuận 13

2.1.2 Định lí đảo 13

2.2 Tỉ số thể tích 13

3 Phép đồng dạng và phép vị tự trong mặt phẳng và không gian 14

3.1 Phép đồng dạng 14

3.1.1 Định nghĩa: 14

3.1.2 Tính chất 14

3.1.3 Hai hình đồng dạng 14

3.1.4 Sự xác định phép đồng dạng: 15

3.1.4.1 Định lí 1 15

3.1.4.2 Định lý 2 15

3.2 Phép vị tự 15

3.2.1 Định nghĩa: 15

3.2.2 Tính chất: 15

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG 17

1.1 Áp dụng định lí Talet trong mặt phẳng và tam giác 17

1.1.1 Tính độ dài đoạn thẳng 17

1.1.2 Chứng minh đẳng thức tích các đoạn thẳng ……18

1.1.2.1 Phương pháp: 18

1.1.2.2 Ví dụ 19

1.1.3 Chứng minh 2 đường thẳng song song 20

1.1.3.1 Phương pháp : Sử dụng định lí Talet đảo 20

1.1.3.2 Ví dụ: 20

1.1.5 Bài toán dựng hình 23

1.2 Áp dụng định lí về tỉ số diện tích tam giác 25

Ví dụ1: 25

1.3 Áp dụng định lí về đường phân giác trong tam giác 27

1.4 Một số bài toán về tam giác đồng dạng 30

1.4.1 Phương pháp: 30

1.4.2 Tính độ dài đoạn thẳng: 30

1.4.3 Tính góc: 32

1.4.4 Tính diện tích, tỉ số diện tích và áp dụng tính chất diện tích tam giác để chứng minh các đẳngthức………33

2.1 Sử dụng định lí talet trong không gian 41

2.1.1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 41

2.1.2 Chứng minh 2 mặt phẳng song song 42

2.1.3 Tập hợp điểm chia đoạn thẳng có hai mút di động trên hai đường chéo nhau 43

2.2 Tỉ số thể tích 46

3.1 Các bài toán thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, và quan hệ vuông góc 51

3.1.1 Phương pháp 51

3.1.2 Các ví dụ : 51

3.2 Các bài toán quỹ tích 55

3.2.1 Phương pháp 55

3.2.2 Các ví dụ 56

3.3 Bài toán dựng hình 58

3.3.1 Phương pháp 58

3.3.2 Các ví dụ 59

KẾT LUẬN 63

TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Hình học là một trong những lĩnh vực toán học mang lại cho người yêu toán nhiều điều hấp dẫn, thú vị Nó đòi hỏi người học phải có những suy nghĩ sáng tạo và tinh tế

Trong lĩnh vực này, “tỉ số đồng dạng” là vấn đề mà các em học sinh đã

được làm quen ở chương trình lớp 8 và kéo dài đến hết chương trình THPT

Đây là một phần quan trọng của hình học sơ cấp, là công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán hình học như các bài toán về tỉ lệ đoạn thẳng, chứng minh hệ thức, chứng minh các đoạn thẳng song song, đồng quy, ba điểm thẳng hàng, tính chu vi, diện tích các hình, các bài toán quỹ tích và dựng hình và đặc biệt là chứng minh các tam giác đồng dạng và sử dụng các tính chất của nó để giải toán Đó là những dạng toán cơ bản, làm nền tảng cho các bài toán phức tạp trong hình học, nhưng cũng mang lại khá nhiều rắc rối, khó khăn cho học sinh khi chưa quen với việc sử dụng chúng Các tỉ số phức tạp dễ dẫn đến nhầm lẫn trong tính toán, biến đổi vòng quanh, lẩn quẩn mà không dẫn đến kết quả

Với những lí do trên, em chọn đề tài : “Một số dạng toán ứng dụng của tỉ

số đồng dạng” cho luận văn của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Hệ thống các kiến thức và phân loại các dạng toán có thể giải được bằng tỉ

số đồng dạng

Đưa ra một vài phương pháp giải cho từng dạng toán, giúp học sinh có

những định hướng đúng đắn trong việc giải toán

4 Phương pháp nghiên cứu:

Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo, nâng cao, các

tài liệu liên quan trên các wesite, từ đó hệ thống, phân loại các dạng toán về

“tỉ số đồng dạng”

Nghiên cứu lí thuyết và bài tập, kết hợp phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc luận văn:

MỞ ĐẦU

NỘI DUNG

1 Tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng

2 Tỉ số đồng dạng trong không gian

3 Phép đồng dạng và phép vị tự trong mặt phẳng và không gian

TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG

1 Một số bài toán về tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng

2 Một số bài toán về tỉ số đồng dạng trong không gian

3 Ứng dụng của phép đồng dạng và vị tự

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỘT SỐ KÍ HIỆU

∆ - tam giác

S - diện tích

V - thể tích ( )α - mặt phẳng α

CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho 2 đường thẳng song song a và b định ra trên hai cát tuyến d và d’ các

đoạn thẳng tương ứng AB và A’B’ Nếu một đường thẳng c cắt d và d’ tại 2

điểm tương ứng C ( không trùng với A) và C’ ở cùng phía đối với đường thẳng b

mà ta có các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB A 'B'

BC = B'C' thì đường thẳng c song song với a và b

1.3 Định lí Talet trong tam giác

1.3.1 Định lí thuận:

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh đối diện thì nó chia ( trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

1.3.2 Định lí đảo:

Nếu một đường thẳng không đi qua đỉnh của tam giác và chia ( trong hoặc ngoài ) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại của tam giác đó

1.3.3 Mở rộng: Định lí về chùm đường thẳng đồng quy

1.3.3.1 Định lí thuận:

Nếu 3 đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì chúng định

ra trên 2 đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ

1.3.3.2 Định lí đảo:

Nếu 3 đường thẳng trong đó có 2 đường thẳng cắt nhau, định ra trên 2 đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì 3 đường thẳng ấy đồng quy

1.4 Định lí về tỉ số diện tích tam giác:

Nếu góc BAC của tam giác ABC và góc B’A’C’ của tam giác A’B’C’ bằng

nhau hoặc bù nhau thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỉ số của tích các

1.5 Định lí về đường phân giác trong tam giác:

Đường phân giác ( trong, ngoài) của một tam giác chia ( trong, ngoài) cạnh

đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy

1.5.1.Đường phân giác trong

Ta có :

DB AC

DC = AB

1.5.2 Đường phân giác ngoài

1.6.3 Tính chất

đồng dạng là 1

k

*
ABC
A’B’C’theo tỉ số đồng dạng là m và
A’B’C’
A’’B’’C’’ theo

tỉ số đồng dạng là n

⇒
ABC
A’’B’’C’ theo tỉ số đồng dạng là m.n

* AH, AM, AD, P, S lần lượt la đường cao, trung tuyến, phân giác, chu vi, diện tích của
ABC và A’H’, A’M’, A’D’, P’, S’ lần lượt là đường cao, trung tuyến,

phân giác, chu vi, diện tích của
A’B’C’ Khi đó:

ABC
A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng k

2 Tỉ số đồng dạng trong không gian

2.1 Định lí Ta-lét trong không gian

Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau d và d’ lần lượt lấy các điểm A, B, C

và A’, B’, C’ sao cho: AB BC AC

A 'B'= B'C'= A 'C 'Khi đó, ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng

3 Phép đồng dạng và phép vị tự trong mặt phẳng và không gian

3.1 Phép đồng dạng

3.1.1 Định nghĩa:

Phép biến hình F trong mặt phẳng (tương ứng trong không gian) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k>0) nếu 2 điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có M’N’= kMN

- Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính kR

- Biến mặt phẳng thành mặt phẳng, tứ diện thành tứ diện

- Biến mặt cầu bán kính R thành mặt cầu bán kính kR

- Tích của 2 phép đồng dạng tỉ số k với phép đồng dạng tỉ số k’ là phép đồng dạng tỉ số k.k’

- Phép đồng dạng tỉ số k biến hình H bất kì trong không gian thành hình H’ thì

3 H

H '

Vk

3.1.4 Sự xác định phép đồng dạng:

3.1.4.1 Định lí 1

Trong mặt phẳng cho 2 bộ ba điểm không thẳng hàng (A, B,C) và (A’, B’, C’)

sao cho A’B’=kAB, B’C’=kBC, C’A’= kCA (k>0) Khi đó, tồn tại duy nhất một

phép đồng dạng biến A, B, C tương ứng thành các điểm A’, B’, C’

3.1.4.2 Định lý 2

Trong không gian, cho hai bộ bốn điểm không đồng phẳng (A, B, C, D) và

(A’, B’, C’,D’) sao cho A’B’ = k.AB, A’C’ = k.AC, A’D’ = k.AD, B’C’ = k.BC, B’D’ = k.BD, C’D’ = k.CD, thì tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A, B,

C, D tương ứng thành các điểm A’, B’, C’, D’

3.2 Phép vị tự

3.2.1 Định nghĩa:

Trong mặt phẳng (tương ứng không gian), cho điểm O cố định và một số

k ≠0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM '



=kOM





- Biến mặt phẳng thành mặt phẳng song song hoặc trùng với nó

- Biến tứ diện thành tứ diện

- Biến mặt cầu bán kính R thành mặt cầu bán kính R’ = |k|R

- Nếu phép vị tự VOk biến điểm M thành M’ thì phép vị tự phép vị tự VO1/k biến

điểm M’ thành M

- Tích của 2 phép vị tự VO

k

và VO k’

V và

2

k ' O

V là một phép vị tự VOk.k ' nếu k’.k ≠1,

với O thuộc đường thẳng O1O2 và là một phép tịnh tiến nếu k.k’ = 1

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

TỈ SỐ ĐỒNG DẠNG

1 Một số bài toán về tỉ số đồng dạng trong mặt phẳng

1.1 Áp dụng định lí Talet trong mặt phẳng và tam giác

1.1.2 Chứng minh đẳng thức tích các đoạn thẳng

1.1.2.1 Phương pháp:

+ Từ đẳng thức sử dụng tính chất tỉ lệ thức đưa về đẳng thức hai tỉ số đoạn thẳng + Chứng minh đẳng thức tỉ số vừa tìm bằng định lí talet, tam giác đồng dạng, tính chất đường phân giác

1.1.2.2 Ví dụ

Cho tam giác ABC Vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại D và AC tại

E Qua C kẻ Cx//AB cắt DE tại G Gọi H là giao điểm của AC và BG Kẻ HI//AB (I ∈ BC) Chứng minh rằng:

1.1.3 Chứng minh 2 đường thẳng song song

1.1.3.1 Phương pháp : Sử dụng định lí Talet đảo

1.1.3.2 Ví dụ:

Cho ∆ABC Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC Lấy N tuỳ ý trên cạnh AM

Đường thẳng DE//BC(D∈AB, E∈ AC)

Gọi P là giao điểm của DM và BN và Q là giao điểm của CN và EM Chứng minh rằng PQ// BC

Gọi H = CN ∩DE

Vì DE//BC nên để chứng minh PQ//BC ta cần chứng minh PQ//DE

Vì vậy cần chứng minh: DP EQ

PM =QMThật vậy :

⇒ PQ //BC (đpcm)

1.1.4 Bài toán quỹ tích

Ví dụ

Cho góc xOy cố định và một số k>0 Tìm quỹ tích các điểm M ở trong góc xOy

mà tỉ số các khoảng cách từ điểm đó đến hai cạnh của Ox, Oy bằng k

Gọi C là giao điểm của Ox và đường thẳng song song với Oy vẽ qua M

Gọi D là giao điểm của Oy và đường thẳng song song với Ox vẽ qua M

Khi đó tứ giác MCOD là hình bình hành nên OM đi qua trung điểm I của đoạn

CD và có diện tích là MA.OC=MB.OD ⇒ OD MA k

OC = MB =

Trên cạnh Ox ta chọn C1 là điểm cốđịnh (chẳng hạn OC1 là đơn vịđộ dài),

gọi D1 là giao điểm của Oy và đường thẳng song song với CD vẽ qua C1

Gọi I1 = OI ∩C1D1, theo định lí về chùm đường thẳng đồng quy ta có

Gọi M’ là điểm bất kì trên tia OI1 mà M’ không trùng với O

Từ M’ hạ các đường thẳng vuông góc xuống Ox, Oy tại A’, B’

- Trên cạnh Om, ta đặt liên tiếp hai đoạn thẳng OA=a+b, AB=b

- Trên cạnh On, ta đặt đoạn OC=2a

- Gọi D là giao điểm của On với đường thẳng đi qua B và song song với AC

1.2 Áp dụng định lí về tỉ số diện tích tam giác

Ví dụ 2:

Cho ∆ABC có trung tuyến AD và một điểm E trên cạnh BC sao cho góc BAE bằng góc CAD Chứng minh rằng các khoảng cách từ điểm M bất kì (không trùng A) trên đường thẳng AE đến hai đường thẳng AB,AC tỉ lệ với các cạnh

AB, AC

Giải

Gọi chân các đường vuông góc hạ từ điểm M xuống các đường thẳng AB, AC tương ứng là M1, M2, chân các đường vuông góc hạ từ điểm E xuống các đường thẳng AB, AC tương ứng là E1, E2

Vì MM1//EE1, MM2//EE2 nên áp dụng định lí Talet vào∆AEE1 và ∆AEE2 ta có:

ABE ADC

EC = AC (5)

Từ (2) và (5) suy ra

2 1

2 2

AB.EE ABAC.EE = AC

Cho tam ABC, phân giác góc A cắt cạnh BC tại D,phân giác góc ADB cắt cạnh

AB tại F, phân giác góc ADC cắt AC tại E Chứng minh AF.DB.CE=BF.CD.AE

Giải

Cho 3 điểm phân biệt thẳng hàng B,C,D Dựng tam giác vuông ABC mà AD

là đường phân giác của góc vuông

Giải

a.Phân tích:

Giả sử dựng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán như hình vẽ sau:

Khi đó A nằm trên đường tròn đường kính BC

- Nếu DB = DC thì A còn phải nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC

- Nếu DB ≠ DC thì A phải nằm trên đường tròn đường kính DE với E là điểm

sao cho 4 điểm B,C,D,E thỏa điều kiện AB DB

- Nếu DB = DC thì dựng tiếp đường trung trực của đoạn thẳng BC Giao điểm

của đường tròn và đường trung trực vừa dựng là đỉnh A của ∆ABC cần dựng

- Nếu DB ≠ DC thì dựng điểm E thỏa mãn DB EB

DC = EC Giao điểm của hai đường tròn có đường kính lần lượt là BC, DE chính là đỉnh A của tam giác ABC cần

dựng

c Chứng minh

- Nếu DB = DC thì tam giác ABC đã dựng là tam giác vuông cân tai A nên AD

là đường phân giác của góc A

- Nếu DB ≠ DC thì vì A nằm trên đường tròn đường kính BC nên BAC=900, vì

D nằm trên đường tròn đường kính DE nên AD là đường phân giác của góc BAC

d Biện luận

- Nếu DB = DC thì tam giác ABC đã dựng là tam giác vuông cân tai A nên AD

là đường phân giác của góc A và bài toán có 2 nghiệm hình là 2 tam giác vuông cân nhận BC làm cạnh chung

- Nếu DB ≠ DC thì 2 đường tròn có đường kính theo thứ tự BC và DE cũng cắt nhau tại 2 điểm Bài toán có 2 nghiệm hình khi D và C nằm giữa B và C

- Bài toán không có nghiệm hình khi D nằm ngoài đoạn thẳng BC

1.4 Một số bài toán về tam giác đồng dạng

a Trên tia đối của tia BA, lấy điểm D sao cho BD=BC

Ta có

2 CMD

2 FCD

S = FD

2 CMD 2 FCD

CD 1

.CD

4 2

1 CD

a/ Tính diện tích tam giác AKN, biết diện tích tam giác ABC là S

b/ Một đường thẳng qua K cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại I và J

Chứng minh rằng AB AC 6

AI + AJ =

Giải