Tài liệu Ôn tập ứng dụng đạo hàm luyện thi pdf

- Rèn luyện các kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số thông thường : hàm bậc ba, trùng phương , nhất biến, hưu tỷ.. Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình hay hệ phương trình: Giả sử

Chuyên đề 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

ÔN TẬP PHẦN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Mục đích yêu cầu

- Nắm vững quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số

- Rèn luyện các kỹ năng xét tính đơn điệu của hàm số thông thường : hàm bậc ba, trùng phương , nhất biến, hưu tỷ

- Ứng dụng sự đồng biến và nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức lượng giác

II Chuẩn bị

1 GV: một số bài tập là thêm cho học sinh

2 HS: làm trước bài tập ở nhà và tóm tắt lại lý thuyết

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Định nghĩa

Cho hàm số y=f(x) xác định trên K

1 f đồng biến trên K nếu  x1, x2K mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2)

2 f nghịch biến trên K nếu  x1, x2K mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2)

II Định lý:

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a,b)

1 Nếu f’(x)>0 ;x(a,b)  y=f(x) đồng biến trên (a,b)

2 Nếu f’(x)<0 ;x(a,b) y=f(x) nghịch biến trên (a,b)

Trong giả thiết nếu ta thay (a;b) bằng [a;b) [a;b] hay(a;b] thì phải bổ sung thêm hàm số liên tục trên [a;b) [a;b] hay(a;b]

Định lí vẫn còn đúng nếu dấu bằng chỉ xãy ra tại một số hữu

hạn điểm trên khoảng (a,b)

B CÁC BÀI TẬP:

I Xét tính đơn điệu của hàm số

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính y’

B3: Xét dấu y’ và kết luận tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của hàm số

Giải: + Tập xác định D=R

+ ;

+ Bảng biến thiên:

+ Kết luận: hàm số tăng trên giảm trên (0;2)

Ví dụ : Tìm m để hàm số

a) Nghịch biến trên R

b) Đồng biến trên (0;3)

Giải: a)

+ Tập xác định D=R

+

Để hàm số nghịch biến trên R thì

b.Để hàm số đồng biến trên (0;3) thì do a âm khi đó

Vậy thì hàm số đồng biến trên đoạn (0;3)

Chú ý : Tam thức bậc hai

II Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình hay hệ phương trình:

Giả sử cần giải phương trình f(x)=g(x)

+ Tìm tập xác định D của phương trình

+ Nếu f(x) tăng trên D ; g(x) giảm hoặc hàm hằng trên D khi đó phương trình có nhiều nhất là một nghiệm

+ Tìm nghiệm duy nhất của phương trình

Chú ý: Nếu f đồng biến trên D và f(x) > f(y) thì x > y

Nếu f nghịch biến trên D và f(x) > f(y) thì x<y

Nếu f đơn điệu trên D thì f(x)=f(y) x=y.

CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số yx33mx23(2m1)x1

a) Khảo sát hàm số khi m=1

b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định

c) Định m để hàm số giảm trên (1,4)

Bài 2: Cho hàm số 2

2

y xx

a) Tính y’’(1)

b) Xét tính đơn điệu của hàm số

Bài 3: Cho hàm số 1

2

mx y

x m





 a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2

b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1

c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó

Bài 4: Chứng minh rằng

a) x > sinx x  (-π/2,π/2)

b) 1

2 x R

x

e   x  

c) x>1

ln

x

e

Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm : 5 3

x x  x 

Bài 6: a ) Cho hàm số 1 3 2

4 3 3

y x mx  x (m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên R

Giải: y’= x2

+ 2mx + 4 Hàm số đồng biến trên R y'0 , xR

Δ 2

'm  4 0

     2 m 2

b) Cho hàm số: y x m

x m





 (m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1,)

Giải: TXĐ: D =  \{m}

Hàm số nghịch biến trên (1, ) y'0   x (1, )

Ta có: y'0   x (1, ) 0

(1, )

m m





  

0 1

m m





 

  0 m 1 Bài 7 Đi ̣nh m để hàm số y=x3

-3(m-1)x2+3(2m-3)x+2 đồng biến trên tập xác đi ̣nh của nó ĐS:m=2

Bài 8 Với giá tri ̣ nào của a hàm số y=2+ax-x3

nhịch biến trên R?

Đs: a 0

Bài 9:

a ) Cho hàm số 1 3 2

4 3 3

y x mx  x (m tham số) Tìm m để hàm số đồng biến trên 

Giải: y’= x2

+ 2mx + 4 Hàm số đồng biến trên   y'0  x 

 2

'm  4 0

     2 m 2

b) Cho hàm số: y x m

x m





 (m tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1,)

Giải: TXĐ: D =  \{m}

Hàm số nghịch biến trên (1, ) y'0   x (1, )

Ta có: y'0  (1, ) 0

(1, )

m m





  

0 1

m m





 

  0 m 1

§2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU

I Mục tiêu

- Hiểu khái niệm cực đại, cực tiểu biết phân biệt đươc khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Biết vận dụng các điều kiện đủ để hàm số có cực trị Sử dụng thành thạo các điều kiện đủ để tìm cực trị của hàm số

II Chuẩn bị của GV và HS

1 GV:

- kiểm tra xem lại viê ̣c soa ̣n bài và làm bai tâ ̣p của ho ̣c sinh

- Chuẩn bị trước bài tập làm thêm cho HS

2 HS: Soạn trước lý thuyết ở nhà trước bài học ở nhà

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1.Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và điểm x0D

 Điểm x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b)  D và ta có f(x)<f(x0) với mọi

x(a;b)\{x0}

 Điểm x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y= f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao cho (a;b)  D và ta có f(x)>f(x0) với mọi

x(a;b)\{x0}

2 Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lý1: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x0) = 0

Định lí 2:

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) khi đó

a) Nếu f’(x0) > 0 với mọi x(a ; x0); f’(x) < 0 với mọi x(x0; b) thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f’(x0) < 0 với mọi x(a ; x0); f’(x) > 0 với mọi x(x0; b) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

Định lí 3 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại xo

a) Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

b) Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

B CÁC BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số 4 2

y  x mx  m a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số

Bài 2: Cho hàm số

2

2 4 2

y

x



 a) Khảo sát hàm số khi m=-1

b) Xác định m để hàm số có hai cực trị

Bài 3: Cho hàm số y2x33(m1)x26mx2m

a)Khảo sát hàm số khi m=1 gọi đồ thị là (C).Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)

b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó

c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;)

Bài 4: Cho hàm số

y

x k



 với tham số k

1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1

2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo

a số giao điểm của (C) và (d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A

3)Chứng minh với mọi k đồ thị luôn có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0

Bài 5: Định m để hàm số 1 3 2 2

3

y x mx  m  m x đạt cực tiểu tại x=1

Bài 6: Cho hàm số

2

1

y x

 



 Xác định m sao cho hàm số

a) Có cực trị

b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau

Bài 7: Cho hàm số 3 2

( ) 3x 3 x+3m-4

y f x   x  m

a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m

b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 1

Giải: TXĐ: D = 

y x  mx m  m

" 2 2

Hàm số đạt cực đại tại x =1 '(1) 0

"(1) 0

y y





2

3 2 0

2 2 0

m



1, 2 1

m



 

 m = 2 Kết luận: m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1

Bài 9: Cho hàm số: 3 2

yx  x  m x m  Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị

b) Hàm số có 2 giá trị cực trị cùng dấu

Bài 10:Định tham số m để hàm số y = 1 3 2 ( 6) 1

3x mx  m x có cực đại và cực tiểu

Kết quả: m < - 2 hay m > 3 Bài 11: cho hàm số y=3mx3

-3mx2+3x-1 Định m để hàm số có hai cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó

Đs: m<0 hoă ̣c m>1; đường thẳng qua hai điểm cực tri ̣ là y=2(1-m)x

Bài 12: Cho 3 2

6 9

yx  x  x (C) a) Xác định tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (C)

b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng y = x + m2

– m đi qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

I Mục tiêu

- Hiểu được k/n và phương pháp tính GTLN và GTNN của một hàm số có đạo hàm trên một đoạn, trên một khoảng

- Tính được GTLN và GTNN của các hàm số thường gặp

II Chuẩn bị của GV và HS

1 GV:

- Hệ thống la ̣i lý thuyết cho ho ̣c sinh

- BT bổ sung cho học sinh

2 HS:

về nhà học bài và xem trước bài GTLN và GTNN

III Nội dung ôn tâ ̣p

A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D

Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

x D f x M

x D f x M

   (ký hiệu M=maxf(x) )

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:

: ( ) : ( )

x D f x m

x D f x m

   (ký hiệu m=minf(x) )

2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)

+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b) + Dựavào bảng biến thiên suy ra GTNN -GTLN 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]

+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, , xn của f(x) trên [a,b]

+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)

+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên

[ , ] [ , ]

max ( ) ; min ( )

a b

a b

B CÁC BÀI TẬP:

I Tìm GTLN-GTNN của hàm số:

+Xét xem tìm GTLN GTNN trên đoạn[a;b] hay không phải đoạn

+ Thực hiện cách tìm tương ứng

Ta có thể tìm trực tiếp hay quy về một hàm số khác đơn giản hơn

Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất hàm số 3 2

f x x  x  x trên đoạn

2; 2

'( ) 3 6 9

1

x

f x

x

 



   



Ta có: f( 2) 25; f(2)5; (1)f  2

Suy ra:

x [ 2;2]max f (x) f ( 2) 25

x [ 2;2] min f (x) f (1) 2

Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải : ta có

Đặt khi đó hàm số trở thành

Vậy maxy=5 1/16 min y =7/2

II Tìm Max Min để chứng minh bất đẳng thức:

Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức f(x)<g(x)

+ Xét hàm số h(x)=f(x)-g(x) trên tập xác định D của bất đẳng thức

+ Tìm Maxh(x)(hay Min(h(x)) ) trên D

+ Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Ví dụ : Chứng minh rằng

Giải : Xét hàm số

+Tập xác định D=R

+

+Bảng biến thiên:

Vậy min f(x)=0 hay

Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) 3 2

y x  x  trên [-2;-1/2] ; [1,3)

4

y x x

2s inx- sin

3

y x trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)

d)y 2 os2x+4sinxc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)

e) 2

y x  x trên đoạn [-10,10]

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

y= x 1  3x 6x   9 trên đoạn[-1,3]

Bài 3: Chứng minh rằng

2

2

2

x



  với mọi giá trị x

Bài 4.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số

 4 3 2

) 3 2 9 trªn [-2;2];

a y x x x x d y)  (3 x) x21 trªn [0;2];

 2 b)y=3x+ x 10; )  ( )  2x trªn [-1;0]

   2

Giải:



  

 

[0;2]

) max 14 t¹ i 2;min 7 t¹ i 1;

)TX§ : 2;2 ;

max 3 3 t¹ i 1;min 0 t¹ i 2;

)XÐt hµm sè trªn [0;2]

max

x

d

y





[0;2]

2

3 t¹ i 0;min 5 t¹ i 2;

1

2

x

Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y = f(x) = x - ln x tr ên [1;3]

bài 6.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2

2 2







x

x x

trên đoạn [-1 ; 3]

Bài 7.Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y 2cos x2  4sinx , x [0;

2



]

§5 TIỆM CẬN

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1) Tiệm cận đứng:

Đường thẳng x=x0 là tiệm cân đứng của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mản:

2) Tiệm cận ngang:

Đường thẳng y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị hàm số nếu:

3) Tiệm cận xiên: Chương trình Nâng Cao

Đường thẳng là tiệm cân xiên của đồ thị hàm số

nếu:

4) Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b

Nếu a=0 thì ta có tiệm cận ngang

B CÁC BÀI TẬP:

Bài 1:

a) Khảo sát hàm số

2

4 5 2

y

x



 b) Xác định m để đồ thị hàm số

2

y



  có các tiệm cận

trùng với các tiệm cận của đồ thị hàm số khảo sát trên (TN-THPT 02-03/3đ)

Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

a) (hàm số có một tiệm cận ngang và hai tiệm cận đứng)

b) (hàm số có hai tiệm cận ngang và một tiêm cận đứng)

c)

3 2

1 1

y x

 



 d)

2

1 2

y

x

 



2

2

1

3 2 5

y

 



 

TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN :

Trong hệ trục Oxy cho (C): y=f(x) và I(a;b).Tịnh tiến hệ Oxy theo OI được hệ trục IXY theo công thức x X a

y Y b

  



 

 thì trong hệ trục IXY ta có  C Y g X:  ( )  f X a b  

1 Đồ thị (C) có tâm đối xứng I(a;b)

Cách 1 :  M(x0;y0)  (C) y0 = f(x0)

Gọi N(x 1 ;y 1 ) l điểm đối xứng của M qua I

































0 1

1 0

0 1

0 1

2

2 2

2

y b y

x a x b y y

a x x

Ta chứng minh y 1 = f(x 1 )

Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :















b

Y

y

a

X

x

biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số lẻ

( g(–X) = – g(X) )

2; Đồ thị (C) có trục đối xứng   : x = a

Cách 1 : M(x0;y0) (C)  y0  f(x0)

Gọi N(x1;y1) là điểm đối xứng của M qua  





























0 1

1 0

0

1

0

y y

x a x y

y

a x

x

Ta chứng minh y1 = f(x1) Cách 2 : Bằng phương pháp đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY theo công thức :











Y

y

a

X

x

biến đổi y = f(x) thành Y = g(X) và chứng minh Y = g(X) là hàm số chẵn

( Với I(a;0) ) ( g(– X) = g(X) )