Tài liệu Ôn tập hình học không gian luyện thi pdf

- Hệ thống lại các công thức tính diện tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn phần, thể tích hình chóp , hình nón , hình trụ , hình cầu.. Bán kinh mặt cầu nội tiếp Chú ý:  Trọng

- Hệ thống lại các công thức tính diện tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn

phần, thể tích hình chóp , hình nón , hình trụ , hình cầu

- Vẽ được hình chính xác các nét thấy , khuất , đoạn vuông góc với mp cho trước

- Vận dụng được công thức tính các bài toán đơn giản

II Chuẩn bị :

GV : - Soạn giảng , hệ thống kiến thức cơ bản nhằm giúp học sinh dễ vận dụng khi làm bài

- Trình bày bài tập mẫu, cho học sinh thực hiện các bài tập tương tự

HS : - Xem , học và hệ thống kiến thức cũ ở nhà Thực hiện các bài tập mà GV đã giao

III Nội dung ơn tập:

I QUAN HỆ SONG SONG

Đường thẳng song song

+ Hai đường thẳng song song nếu chúng nằm trong cùng một mặt phẳng và khơng cĩ

+ Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song

+ Đường thẳng a khơng nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (P) nếu trong mặt phẳng cĩ ít nhất một đường song song với đường thẳng đĩ

+ Đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) khi đĩ bất kỳ mặt phẳng nào qua a cắt (P) theo giao tuyến sẽ song song với a

Chuyên đề :6

+ Đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó vuông góc với cạnh thứ

c/ Khoảng cách

+ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là

đoạn MH với H là hình chiếu của M lên đường

III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

+ Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH

+ Định lý cosin: Tam giác ABC có ba cạnh tương ứng là a,b,c

+ Định lý sin:

Trang 53

§2 PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

+ Quy tắc F trong không gian để với mỗi điểm M xác định được duy nhất M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

+ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc mp(P) thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc mp(P) thành M’ sao cho (P) là mp trung trực của MM’

+ Phép Tịnh tiến theo vectơ là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

+ Phép đối xứng qua đường thẳng (Đ/x trục) là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc d

thành chính nó và mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là trung trục của đoạn MM’

+ Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho

+ Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của hình (H) nếu phép đối xứng qua

mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó

+ Hai hình bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

+ Hai tứ diện bằng nhau nếu có các cạnh tương ứng bằng nhau

§3.KHỐI ĐA DIỆN

I Các kiến thức cần nhớ:

+ Hình đa diện gồm một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa hai điều kiện

 Hai đa giác bất kì hoặc không có một điểm chung , hoặc có một đỉnh chung, hoặc

có một cạnh chung

(không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ) ( thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì)

 Mỗi cạnh của đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác

Hình đa diện chia không gian thành hai phần( phần bên trong và phần bên ngoài ) Hình

đa diện cùng với phần bên trong nó được gọi là khối đa diện

+ Mỗi khối đa diện đều có thể phần chia thành những khối tứ diện

+ Hai tứ diện bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau

+ Có năm loại khối đa diện đều: khối tứ diện đều, khối lập phương khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều

II Các bài tập:

1 Khối chóp n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt

2 Khối lăng trụ n giác có bao nhiêu cạnh,bao nhiêu đỉnh và bao nhiêu mặt

3 Hình tứ diện đều, lập phương có bao nhiêu mặt đối xứng đó là những mặt nào?

§4.HÌNH CHÓP

I Các kiến thức cần nhớ:

+ Hình chóp là hình đa diện có một mặt là một đa giác gọi là đáy các mặt còn lại là

những tam giác có chung đỉnh, các cạnh không thuộc đa giác đáy gọi là cạnh bên

+ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

+Trong hình chóp đều:

 Hình chiếu của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của đáy

 Các mặt bên là các tam giác bằng nhau

 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau

 Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau

Bài1: (Tứ diện đều)

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a

a) Chứng minh rằng nếu H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng (BCD) thì H là trực tâm của tam giác BCD

a) Do ABCD là tứ diện đều nên AB=AC=AD

 HB=HC=HD vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD

Do tam giác BCD đều nên H vừa là tâm đường tròn ngoại tiếp và

cũng là trực tâm của tam giác BCD

b)

Tam giác AHB vuông tại H nên

Vì H là trực tâm của tam giác BCD 

Vậy Ị là đoạn vuông góc chung của AB và CD

d) Do IJ là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của tam giác AJB nên

GA=GB với G là trung điểm của IJ

Tương tự GC=GD do IJ là đường trung trực của tam giác ICD

Mặt khác AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên GB=GC=GD

Vậy GA=GB=GC=GD, hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Thể tich khối cầu ngoại tiếp :

Bốn tứ diện GABC; GACD; GABD; GBCD bằng nhau

Bốn đường cao kẻ từ G của bốn tứ diện bằng nhau

G A

B

C

D H

I

J

Vậy G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

Bán kinh mặt cầu nội tiếp

Chú ý:

 Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó

 Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong

tâm của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3

 Tứ diện đều có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao là trọng tâm của tứ diện

Bài 2: (Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc)

Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và

OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC)

a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC

d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện

e) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Giải:

a) Ta chứng minh AHBC thật vậy:

BCOA (do OA(OBC))

BCOH (do H là hình chiếu của O)

BC(AOH) hay BCAH

Tương tự ta chứng minh được BHAC hay H là trực tâm của tam

giác ABC

b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác

OAB;OBC;OAC là các tam giác vuông

Theo trên BC(AOH) nên BCOM

Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên

Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên

Vậy

c)

M A

C

B O

H

Trang 57

d)

)

e) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng

Mx vuông góc với mp(OBC) qua M

Mặt khác I nằm trên mp trung trực của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách

mp(OBC) một khoảng a/2

Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên bằng cách chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi giải bằng HHGT

Bài 3: (Tứ diện trực tâm)

Cho tứ diện ABCD có ABCD; ACBD

a) Chứng minh rằng hình chiếu A’ của A lên mp(BCD) là trực tâm của tam giác ABC.Từ đó suy ra BCAD

b) CMR đường nối trung điểm của hai cặp cạnh đối diện là khoảng cách giữa hai cặp cạnh đó

tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam

giác vuông tại B Từ A kẽ AH  SC; AK  SB (HSC; KSB) Cho SA=AC=2a; AB=a

a) Tính thể tích hình chóp

b) Chứng minh rằng tam giác AKC vuông tại K

c) Chứng minh rằng 5 điểm A,B,C,H,K cùng thuộc một mặt cầu Tính thể tích khối cầu đó

Bài 5: Cho đường tròn đường kính AB=2R nằm trên mp(P) và một điểm M di động trên

đường tròn Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) tại A ta lấy một điểm S với SA=AB mp(Q) qua A vuông góc SB tại K cắt SM tại H

Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và SA=2a Gọi B’,D’lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

N

M A

C

B O

I

a) Chứng tỏ rằng AB’ SC từ đó suy ra SC AC’

b) Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’

c) Tính diện tích tứ giác AB’C’D’

Bài 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng nhau và bằng a

a) Tính thể tích khối chóp

b) Tính diện tích toàn phần và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp

c) Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt bên đối diện của hình chóp

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với

c) Tính chiều cao của hình chóp S.AEMF

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và

AB=a; AD=b; SA=c Lấy các điểm B’;D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’SB, AD’ SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’

a) CMR AB’(SBC)

b) CMR SC (AB’D’)

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Bài 10: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a

d) Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó

e) Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp

 Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau

+ Lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy được gọi là lăng trụ đứng-các mặt bên

của lăng trụ đứng là hình chữ nhật

+ Lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều được gọi là lăng trụ đều- các mặt bên của hình

lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.Hình hộp có tất cả 6 mặt là

Trang 59

II Các bài tập

Bài 1: (Lăng trụ xiên)

Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a và A’A=A’B=A’C=b

a) Xác định đường cao của lăng trụ kẽ từ A’ Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật

b) Tìm b để mặt bên ABB’A’ hợp với đáy một góc 60o

c) Tính thể tích và diện tích toàn phần lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được

Giải:

a) Do A’A=A’B=A’C=b nên A’ nằm trên trục đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC đều nên A’O

là đường cao của lăng trụ với O là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC

+ Ta có BCAO (đường cao tam giác đều)

A’OBC ( A’O là đường cao lăng trụ)

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 6

và Biết độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng 4, hãy tính thể tích của lăng trụ

o A

C B

B'

C' A'

o A

C B

B'

C' A'

Bài 3 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a AC’=2a

Tính thể tích của lăng trụ

Bài4 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’D’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6 H là

trung điểm của B’C’, góc hợp bởi AH và (A’B’C’) bằng 60 Tính thể tích của khối lăng trụ

Bài5 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 Gọi O’ là tâm

của tam giác A’B’C’ Biết rằng O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) và cạnh bên của lăng trụ bằng 15 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài6 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 Biết rằng A B C   vuông tại B, A B  3, B C  4 B H là đường cao của A B C   và H là hình chiếu của điểm B lên A B C   Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’

Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên có độ dài a

hình chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC

a) Tính thể tích hình chóp

b) Chứng tỏ rằng BCB’C’ là hình vuông

c) Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy

d) Tính diện tich xung quanh của lăng trụ

Bài 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 1

a) Tính thể tích lăng trụ

b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ

c) Một mặt cầu (S) ngoại tiếp lăng trụ tính bán kính mặt cầu

Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A khoảng cách từ

AA’ tới mặt bên BCB’C’ là a, mp(ABC’) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy một góc α

a) Dựng AHBC (HBC); CKAC’ (KAC’).chứng minh AH=a; Góc CAC’=α

+ Cho mặt cầu S(O;R) và mp(P) gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mp(P)

 Nếu d > R mp(P) không cắt mặt cầu

 Nếu d = R mp(P) tiếp xúc với mặt cầu

 Nếu d < R mp(P) căt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính

Trang 61

+ Công thức diện tích và thể tích

+ Tồn tại duy nhất một mặt cầu qua bốn đỉnh của tứ diện

+ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện nếu có

1./ Là điểm mà cách đều các đỉnh của khối đa diện

2./ Là trung điểm của đoạn thẳng mà các đỉnh nhìn đoạn thẳng đó dưới một góc

vuông

3./ Là giao điểm của các trục đường tròn ngoại tiếp các mặt của khối đa diện

4./ Là giao điểm của các mặt phẳng trung trực của các cạnh của khối đa diện

+Hình chóp đều luôn nội tiếp trong một mặt cầu có tâm nằm trên đường cao của hình

chóp

+ Lăng trụ đứng nội tiếp được mặt cầu nếu đáy lăng trụ nội tiếp đường tròn

II Các bài toán

Bài 1: (Tìm điểm cách đều các đỉnh)

Cho hình chóp S.ABC biết

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện

b) CMR tam giác ABC vuông tại B,

c) Gọi M là trung điểm AC.Tính SM và MB, chứng tỏ

a) Tam giác SAB có SA=SB=a và nên tam giác

SAB đều  AB=a

Tam giác SBC vuông cân tại S 

Tam giác SAC cân tại S có áp dụng định lí hàm cos ta được

b) Do Áp đụng định lí Pitago đảo ta được tam giác ABC vuông tại B

c) M là trung điểm của AC tam giác SAC cân tại S nên SM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên SM AC (*)

và tam giác SAM là nửa tam giác đều vậy

mặt khác BM là trung tuyến của tam giác vuông ABC vậy

Tam giác ABC vuông có SI là trục đường tròn nên IA=IB=IC

mặt khác tam giác SAI đều nên IA=IS vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

60 o

90 o

a a

a a

Bài 2: ( Tìm giao các trục đường tròn)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp

b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 3: (Tứ diện gần đều)

Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau

a) Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD

b) Chứng minh rằng trung điểm O của đoạn IJ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tính

bán kính R mặt cầu theo a;b;c.(áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến

) c) Chứng tỏ rằng O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện

+Mặt nón là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ∆ cắt

l nhưng không vuông góc với l

+ Hình nón là hình tròn xoay sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác cân đó

II Các Bài toán

Bài1: Một cái thùng đựng nước bằng tôn dạng hình

trụ có nắp là một hình nón không có mặt đáy, biết

đường kính đáy của hình trụ bằng chiều cao hình trụ

và bằng 1m Chiều cao của hình nón bằng bán kính

đáy của hình trụ Hỏi

a) Thùng có thể chứa được bao nhiêu lít nước

( 1lít 1dm3)

b) Để làm cả thùng và nắp người ta tốn ít

nhất bao nhiêu mét vuông tôn

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r=5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm

a) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Trang 63

b) Căt khối trụ bởi mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục 3cm hãy tính thiết diện được tạo nên

Bài 3: Hình chóp đều có đáy là lục giác đều cạnh a cạnh bên hình chóp có độ dài 2a

a) Vẽ hình chóp và tính diện tích xung quanh và thể tích của nó

b) Tính diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp

Bài 4: Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;R)và (O’;R),

Một hình nón đỉnh O’ đáy là hình tròn (O;R)

a) Tính tỉ số diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần tính tỉ số thể tich của hai phần đó

Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S bởi một mặt phẳng qua trục của nó ta được một tam giác

vuông cân có cạnh huyền bằng

a) Tính diện tích xung quanh diện tích toàn phần và thể tích của hình nón

b) Cho một dây cung của đường tròn đáy của hình nón sao cho mp(SBC) tạo với đáy hình nón một góc 60o

Tính diện tich tam giác SBC

c) Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón

§8 MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1) Chứng minh SA vuông góc với BC

2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài tập tự rèn luyện

Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=a, SB=b, SC=c Hai điểm M, N lần lượt thuộc 2 cạnh AB, BC sao cho 1 , 1