CHUYEN DE TOAN SINH HOAT CUM LAN 2 143

Trong điều kiện có thể được, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp giải từng loại dạng, Cụ thể, sau khi học sinh đã học hết chương các phép tính về phân thức đại số ở lớp 8, giáo[r]

Chuyên đề

“KHAI THÁC MỘT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC THÀNH NHIỀU DẠNG

TOÁN KHÁC NHAU”

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Xuất phát từ mục tiêu của giáo dục là “Nâng cao dân trí, phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho đất nước” Theo đó, Phòng giáo dục Huyện nhà đã tích cực tổ chức chỉ đạo công tác bồi dưỡng học sinh giỏi hằng năm một cách thường xuyên và đều đặn Các trường THCS lấy đó là một trong những yếu tố cấu thành thương hiệu của nhà trường Việc bồi dưỡng học sinh giỏi ở các trường cho học sinh là một việc làm thường xuyên ở các khối lớp 6,7,8,9 Tuy nhiên vì nhiều lí

do khách quan và chủ quan người dạy cuối cùng của khối lớp 9 vẫn vất vả bởi lẽ học sinh bị hỏng khá nhiều các kiến thức cơ bản và chuyên đề

2 Xuất phát từ cơ sở lí luận dạy học: Các em học sinh khá giỏi phổ thông hầu hết đã nắm chắc chương trình phổ thông SGK Qua đó khi dạy nâng cao việc khai thác một vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác nhau nhằm giúp các em hệ thống được kiến thức, biết rõ cội nguồn các dạng toán, giúp các em hệ thống được và nhớ lâu, hiểu sâu hơn toán học phổ thông, có nền tảng xử lí các

đề thi học sinh giỏi

Hơn nữa chúng tôi thiết nghĩ việc cung cấp kiến thức theo chương trình SGK là hình thức bổ ngang kiến thức Chúng ta dạy Toán cho học sinh theo chuyên đề cũng là hình thức bổ dọc có như vậy những mãnh kiến thức được cắt nhỏ dễ tiêu hóa hơn

3 Xuất phát từ phương pháp dạy học cổ truyền và hiện đại, chúng ta nhận thấy rằng dẫu giáo viên có sử dụng phương pháp nào đi nữa thì cái đích vẫn là tạo ra được một đối tượng người học có đủ khả năng phân tích, tổng hợp các kiến thức toán học với tư duy logic cao, có khả năng vận dụng kiến thức và các phương pháp tích lũy được trong quá trình bồi dưỡng để giải quyết các bài toán

từ dễ đến khó một cách nhanh chóng

Chuyên đề sử dụng sơ đồ tư duy giúp học sinh biết phân tích một vấn đề toán học thành nhiều dạng toán khác nhau với các mức độ khác nhau Đây là quá trình phân tích một vấn đề còn quá trình ngược lại là học sinh phải biết tổng hợp các vấn đề đã học, xâu thành một chuổi để tạo nên các dạng bài tập mang tính tổng hợp từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp

4 Xuất phát từ đặc trưng của phân môn đại số: Hình thành cho học sinh nhiều dạng bài tập từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, biết bài tập đang giải xuất phát từ kiến thức nào đã học Qua đó giúp học sinh thấy mối quan hệ logic của toán học, giúp các em dễ nhớ và nhớ lâu Biết vận dụng các bài toán phụ, các bài toán gốc, các bài toán áp dụng tính chất, định lí từ quan hệ xa đến quan hệ gần

II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

A Bổ sung, hoàn chỉnh mạch kiến thức ở từng loại :

Các em đã tiếp thu chương trình phổ thông Tuy nhiên ở từng đối tượng học sinh có chênh lệch, có em chưa một lần vận dụng Khi dạy đến từng loại dạng toán chúng ta cần hệ thống kiến thức cơ bản Qua đó giúp các em có đủ cơ

sở để giải toán, dễ tiếp thu hơn, cùng làm cho các em tăng vốn tích lũy kiến thức toán học

Ví dụ khi dạy về phương trình tích, kiến thức được nhắc sơ qua là phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Kế theo bổ sung hằng đẳng thức, hằng đẳng thức mở rộng (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Sau đó bổ sung các tính chất cơ bản về tính lũy thừa

a2 = b2 ⇔ a = b

a3 = b3 ⇔ a = b

Mở rộng cho lũy thừa bậc chẵn và bậc lẻ

Các nguyên tắc toán học khác cũng phải hình thành cho các em như: Nguyên tắc tổng các bình phương

a2 + b2 = 0

b 0











Nguyên tắc đối lập

f( ) m

f( ) = g( ) = m g( ) m

x

x





 

Các bài toán phụ được hình thành

Ví dụ: a + b + c = 0 → a3 + b3 + c3 = 3abc

Hằng đẳng thức mở rộng:

(a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab(a + b)

Hoặc khi dạng giải hệ phương trình, giáo viên vẫn cung cấp hệ thức Viet nếu có x1; x2 mà x1+ x2 = S; x1 x2 = P thì 2 số x1; x2 là nghiệm của phương trình

t2 - St + P = 0

Các tính chất của phương trình vô tỉ:

2k

2k

g( ) 0 f( ) g( )

f ( ) g( )

x









*

f ( ) 0

f ( ) g( )

x





* 2k +1f( ) g( )x  x  f ( )x g( )x 2k+1 với k N*

Trên cơ sở các tính chất áp dụng cho hệ phương trình

B Các dạng bài tập cần khai thác:

1 Khai thác một bài tập thành nhiều bài tập mới hơn khó hơn:

Trên cơ sở cùng một dạng bài tập nếu ta biết cách khai thác bài toán trở nên phức tạp

Ví dụ 1: Từ phương trình:

x  x  Học sinh giải quyết nhanh chóng, đây là dạng bài tập cơ bản Cho học

x  x  x  x  x  x 

Hướng giải quyết

Gợi ý học sinh biết phân tích từng mẫu thành nhân từ

Sau đó sai phân:

x  x  x  x  x  x  Thu gọn:

x  x 

Vídụ2: Tính tổng: S= 1

x2+x+

1

x2+3 x+2+

1

x2+5 x +6+ +

1

x2+99 x+9900

Hướng giải quyết

Gợi ý học sinh biết phân tích từng mẫu thành nhân từ

Sau đó sai phân: S=1

x −

1

x+1+

1

x+1 −

1

x +2 −

1

x +2+ .

1

x +99 −

1

x +100

Thu gọn: S=1

x −

1

x+100=

100

x ( x+100 )

Ví dụ 3: Giải phương trình: 1

x2−7 x+10+

1

x2−13 x +40+

1

x2−19 x +88=

3 10

Hướng giải quyết

Gợi ý học sinh biết phân tích từng mẫu thành nhân từ

Sau đó sai phân: 1

(x −2) ( x −5 )+

1

( x − 5)( x −8 )+

1

( x −8 )( x −11)=

3 10

⇔ −1

3(x −21 −

1

x −11)= 3

10 (Học sinh tự giải)

2 Sử dụng bài toán phụ hoặc bài toán gốc để giải quyết bài toán mới:

Đây là phương pháp rèn tính sáng tạo cho học sinh, giúp học sinh thấy được mối quan hệ kiến thức đã học và sự vận dụng của nó trong toán học Hơn nữa kiểm tra được độ nhạy, tính sáng tạo của học sinh

Ví dụ 1: Từ bài toán phụ cho a + b + c = 0; chứng minh: a3 + b3 + c3 = 3abc

Cho học sinh giải phương trình: (x2 - 5x + 1)3 + (3x - x2)3 + (2x - 1)3 = 0

Hướng giải quyết: Đặt

2

2









→ a3 + b3 + c3 = 3abc (HS tự chứng minh)

Mà a3 + b3 + c3 = 0 → 3abc = 0 →

0 0 0

a b c





 



 



→

2

2

5 1 0 (1)

3 0 (2)

2 1 0 (3)

x x x





 Giải lần lượt các phương trình (1); (2); (3) ta có kết quả bài toán

Ví dụ 2: Giải phương trình:

(x2 - 3x + 2)3 = x6 - (3x - 2)3 (*)

Hướng giải quyết sử dụng hằng đẳng thức:

(a + b)3 - (a3 + b3) = 3ab (a + b) (*) ⇔ [x2 + (-3x + 2)]3 - [(x2)3 - (-3x + 2)3]= 0

⇔ 3x2 (-3x + 2) (x2 - 3x + 2) = 0

⇔ 3x2 (-3x + 2) (x - 1) (x - 2) = 0

⇔

0 2 3 1 2

x x x x







 



 







Ví dụ 3: Cho HS giải bài toán gốc: Giải phương trình x3 - x2 - x =

1 3 Đây là bài toán rất hay Thoạt đầu các em thường nhầm lẫn bài toán đơn giản là phân tích nhân từ để đưa về phương trình tích nhưng không phải phương trình này không có nghiệm hữu tỉ Như vậy các giải sẽ riêng biệt hơn

Lời giải:

x3 - x2 - x =

1

3 ⇔ 3x3 – 3x2 – 3x – 1 = 0

⇔ 4x3 – x3 – 3x2 – 3x – 1 = 0

⇔ 4x3 – (x + 1)3 = 0 ⇔ 4x3 = (x + 1)3 ⇔ x3 43

= (x + 1)3 ⇔ 3 4x x 1 ⇔ 3 4x x 1 ⇔ x 3 4 1  1

⇔ 3

1

4 1

x 



Từ bài toán trên cho HS giải tiếp phương trình:

2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + 1 = 0

Hướng giải quyết:

2010x3 – x3 + 3x2 – 3x + 1 = 0

⇔ 2010x3 – (x – 1)3 = 0

⇔ 2010x3 = (x – 1)3

⇔ x3 20103 x 13

⇔ x3 2010  x 1

⇔ x 3 2010 1  1

1 2010

x 

 Các bài toán sử dụng tương tự bài toán gốc trên

Giải phương trình: x4 = 4x + 1 hoặc x4 = 8x + 7 Thêm bớt để xuất hiện dạng: a2 = b2 ⇔ a = b

Ví dụ 4: Từ bài toán gốc:

x y a

xy b









Hệ này giải nhanh bằng cách sử dụng hệ thức Viet đảo

Ta đưa thêm bài toán giải hệ phương trình: 5 5

1 31

x y







Hướng giải quyết:

Đặt x + y = u; xy = t

→ u = 1 và t2 – t – 6 = 0 ó

1

2







Từ đó có 2 hệ:

;

→ Hệ

1 2

x y xy







 cho ra nghiệm (-1; 2); (2; -1)

→ Hệ

1 3

x y xy







Một bài toán mới cũng xuất phát từ gốc bài toán trên

Giải hệ:







Đặt X = x –1; Y = y – 1

Hệ trở thành: {XY=8X +Y =6 từ đó tìm được (x; y)

Ví dụ 5: Xuất phát từ bài toán gốc nếu có a2 + b2 = 0 →

0 0

a b











2 (1)

4 (2)

x y z

xy z











Sơ lược cách giải: Từ (1)

⇒

2

4

x y z

⇔

2

2

⇔ 12 12 12 2 2 2 2 12

x  y  z  xy  yz  xz xy  z

⇔ 12 2 12 12 2 12

0

⇔

2 2

0

⇔









 

 ó x – y = - z

Thế vào ta có nghiệm:

1 2 1 2 1 2

x y z

























3 Khai thác bài tập từ sự tổng hợp các đơn vị kiến thức:

Sau khi hoàn thành kiến thức của một chương hoặc nhiều chương, giáo viên phải xây dựng các dạng bài tập tổng hợp gom được các đơn vị kiến thức đã học nhằm phục vụ cho việc giải bài tập Từ đó giúp học sinh biết hệ thống kiến thức và tổng hợp kiến thức để giải quyết bài tập một cách nhanh chóng Có thể

sử dụng dạng toán này ở các lớp cao hơn Trong điều kiện có thể được, giáo viên hình thành cho học sinh phương pháp giải từng loại dạng,

Cụ thể, sau khi học sinh đã học hết chương các phép tính về phân thức đại số ở lớp 8, giáo viên có thể xây dựng thêm dạng bài tập với nội dung: Tìm các giá trị nguyên của biến để một biểu thức cũng có giá trị nguyên

Phương pháp giải:

 Biến đổi biểu thức đã cho về dạng: P (x )=A (x )+ m

R ( x) với

m∈ Z❑

 Lí luận: P(x)∈ Z ⇔ R(x) =U(m)Ư

 Giải các phương trình R ( x)=m1; R ( x )=m2 … Với

m1, m2 ∈U (m)

Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên: A= 2 x+1

x −1

 Biến đổi biểu thức đã cho về dạng: A=2+ 3

x − 1



x − 1=± 1

x − 1=± 3 ⇔ x=0 ; x=2 ; x=4 ;x =−2

A ∈ Z ⇔¿

Từ ví dụ trên giáo viên xây dựng các bài toán cùng yêu cầu trên với mức độ khó hơn

Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên: B= x

3− 4 x2

+3 x +6

x +1

Hướng dẫn giải:

 Biến đổi biểu thức đã cho về dạng: B=( x +1)2+ 5

x +1



x+1=± 1 x+1=± 5 ⇔ x=0 ; x=2 ; x=4 ;x=−6

B ∈ Z ⇔¿

Ví dụ 2: Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên: C= x

3−4 x2 +5 x +1

x2− 2 x +1

Hướng dẫn giải:

 Biến đổi biểu thức đã cho về dạng: C=x − 2+ 3

( x − 1)2



(x − 1)2=1

(x − 1)2=3⇔ x=0 ; x=2

C ∈ Z ⇔¿

Giáo viên cũng có thể phát triển bài toán trên cho học sinh giỏi lớp 9 như sau:

1 Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của các biểu thức sau là số nguyên:

a P=√x +1

√x −3

b R= x

2− 2 x +(6 −2 x )√x

(√x − 1)2

2.Tìm giá trị nguyên của x > 8 để giá trị của biểu thức sau là số nguyên:

E=√x+4√x − 4 +√x − 4√x − 4

√1+8

x+

16

x2

4 Khai thác các dạng bài tập từ chủ đề của chương trình bồi dưỡng HSG:

Ngoài việc khai thác các dạng bài tập trên, ta còn phải khai thác bài tập theo chủ đề của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Có rất nhiều chủ đề ở đây chỉ minh họa một chủ đề về toán định tham số m trong phương trình bậc hai một

ẩn Trước khi hình thành các dạng bài tập giáo viên cần củng cố cho học sinh hệ thống kiến thức có liên quan trong việc giải các dạng bài tập Phải biết sắp xếp

và phân loại bài tập từ dễ đến khó, có bài tập tương tự để học sinh tự giải

CÁC DẠNG TOÁN ĐỊNH m TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

Hệ thống kiến thức cần nắm

- Cho học sinh nhắc lại dạng tổng quát của phương trình bậc 2:

ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 = b2 - 4ac Hoặc ' = b’2 - ac a) Phương trình bậc 2 có nghiệm ⇔  0

b) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

c) Phương trình bậc 2 có nghiệm kép ⇔ = 0

d) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

e) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dấu

P 0

 









f) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dương

⇔

0

P 0

S 0

 









 



g) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng âm

⇔

0

P 0

S 0

 









 



h) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm nghịch đảo ⇔

0

P 1

 









i) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm khác một ⇔ a + b + c  0

j) Phương trình bậc 2 có hai nghiệm khác không ⇔ c  0

Các dạng bài tập

 Dạng 1 : Định m với sự khả hữu nghiệm số

Ví dụ 1:

Cho phương trình bậc 2: x 2 - 2x + m - 1 = 0

Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó.

Giáo viên hỏi:

 Học sinh chỉ ra các hệ số a, b, c của phương trình

 Nhận xét hệ số a = 1  0

 Nhận xét b chẵn hay lẻ

 Lập ' = 2 - m

 Lý luận PT có nghiệm kép khi ' = 0 ó 2 - m = 0

ó m = 2

 Tính nghiệm kép x1 = x2 =

'

b a

 = 1

Cùng với đề như ví dụ 1 giáo viên nêu tiếp:

 Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

'

 > 0 ó 2 - m > 0 ó m < 2

 Định m để phương trình vô nghiệm

'

 < 0 ó 2 - m < 0 ó m > 2

Ví dụ 2:

Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x 2 + 2(m + 3 )x + m + 5 = 0 Tìm điều kiện m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Gợi ý giải:

'

 = (m +3)2 - (m - 1)(m + 5) = 2m + 14 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

0







 

m 3 0 2m 14 0

 













 



Vậy: m -3; m > -7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 3:

Cho phương trình: x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = m

Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Gợi ý giải:

x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = m

(x2 + 2x)(x2 + 2x - 8) = m (1)

Đặt y = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2  0

(1) ⇔ (y - 1)(y - 9) = m

⇔ y2 - 10y + 9 - m = 0 (2)

' = 16 + m; P = 9 - m’; S = 10

PT đã cho có 4 nghiệm phân biệt

0

S 0

P 0

9 m 16

 





 



Bài tập tự giải:

1 Cho phương trình bậc hai: x2 - 10x + 3m + 4 = 0 (m: tham số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2

b) Tìm điều kiện của m để x1 và x2 đều dương

2 Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó

3 Cho phương trình: x4 - 4x3 + 8x + m = 0 Xác định m để phương trình

có 4 nghiệm phân biệt

(Hướng dẫn: Đưa về dạng (x2 - 2x)2 - 4(x2 - 2x) + m = 0, đặt y = (x - 1)2

0)

 DẠNG 2 : ĐỊNH m LIÊN QUAN ĐẾN BIỂU THỨC NGHIỆM VÀ

CỰC TRỊ

I Kiến thức bổ sung :

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

Có hai nghiệm x1; x2 Không giải phương trình hãy tính các biểu thức sau

theo hệ số a; b; c

a x1 + x2 e.x13 x32

b x1 x2 f x1 - x2 (Với x1 > x2)

c x12x22 g x13 x32 (Với x1 < x2)

d 1 2

x  x Giáo viên hướng dẫn học sinh tính được các biểu thức nghiệm trên Giáo viên kiểm tra lại:

 x1 + x2

b a



 x1 x2

c a



x x = (x1 + x2)2 - 2x1.x2

2







c





x x = (x1 + x2)(x12x22 - x1.x2 )

2 2

b b 2ac a

 |x1 - x2| =  x12 x22  2x x1 2

Nếu x1 > x2 => x1 - x2 =

2



x  x =(x1 - x2)(x12 x22+x1 x2 ) =

b 4ac b 2ac c





c

a

c

II Bài tập vận dụng :

Bài 1: Cho phương trình bậc hai: x 2 - 2mx + m 2 - m - 5 = 0

a) Tìm m để phương trình đã cho có tích hai nghiệm bằng 37 b) Với giá trị nào của m thì biểu thức E = x 1 + x 2 - x 1 x 2 đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

Hướng dẫn giải:

Câu a: Cho học sinh lập ' = m + 5

Điều kiện  ' 0 ⇔ m + 5  0 ⇔ m  -5

Lập x1x2 = m2 - m - 5 Theo đề ta có: m2 - m - 5 = 37

⇔ m2 - m - 42 = 0





 



Kết hợp với điều kiện ta chọn m = 7

Câu b: Học sinh khác lập E = x1 + x2 - x1x2 = -(m2 - 3m - 5)

Đưa về dạng: E =

2

m

    

Emax =

29

4 ⇔ m =

3

2 (thỏa mãn điều kiện m-5)

Bài 2: Cho phương trình bậc hai: x 2 - 2mx + 2m - 2 = 0

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thỏa mãn 1 2

x  x = 2

Hướng dẫn: Lập ' = m2 - 2m + 2 = (m - 1)2 + 1 > 0 m

Do x1; x2  0 => 2m - 2  0 => m 1



= 2 ⇔

2m 2m 2 = 2 ⇔ m = 2 (nhận)

Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x 2 + (m + 1)x + m = 0

a Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

b Tìm m để F = x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó.

Hướng dẫn:

a) Lập = m2 - 2m + 1 = (m - 1)2  0 Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Ta có: x1+ x2 = - m - 1 x1.x2 = m

F = x12 x22 = (x1+ x2)2 - 2x1.x2 = (- m - 1)2 - 2m = m2 + 1  1

Fmin = 1 ⇔ m = 0

 Ghi nhớ :

o Lập hoặc 'đặt điều kiện để phương trình có nghiệm

o Xác lập biểu thức nghiệm theo yêu cầu của đề

o Lập phương trình theo m

o Giải và đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm

(Vận dụng bài toán tìm cực trị của tam thức bậc 2)

Bài tập tự giải:

1 Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0

a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm

b) Tìm m để A = |2x1x2 + x1 + x2 - 4| đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị đó

2 Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn |x13 x32| = 50

 DẠNG 3: ĐỊNH m ĐỂ BIỂU THỨC NGHIỆM THỎA MÃN BẤT

ĐẲNG THỨC

I Kiến thức bổ sung:

1 Tam thức bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1; x2 là nghiệm của tam thức (x1 < x2)

 Nếu a > 0 => ax2 + bx + c > 0 ⇔ x < x1 hoặc x > x2