Chuyên đề Toán - Trường THCS Chấn Hưng

Qua phần trình bày trên đây, ở nhiều bài tập: giải phương trình, hệ phương trình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhiều hàm số, giải bất đẳng thức…chúng ta thấy được việc sử [r]

8 Kế hoạch dạy thực nghiệm “Sử dụng biệt thức Delta vào giải

một số dạng toán”.

23

Chuyên đề

SỬ DỤNG BIỆT THỨC DELTA VÀO GIẢI TOÁN

1 Tóm tắt chuyên đề

“ Cùng với khoa học công nghệ, giáo dục là quốc sách hàng đầu” chủ

trương đó đã thể hiện rõ quan điểm, đường lối của Đảng và Nhà nước ta; khẳngđịnh tầm quan trọng của giáo dục đối với đất nước; bởi lẽ giáo dục đóng vai tròquyết định đến sự thành công của công cuộc xây dựng đất nước, xây dựngCNXH

Đặc biệt trong giai đoạn phát triển của khoa học công nghệ hiện nay, trình

độ tri thức của con người phát triển rõ rệt Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập củamọi người dân, bằng mọi nguồn lực là phù hợp với nguyện vọng, với truyềnthống hiếu học của nhân dân Vì thế trong dạy học người giáo viên cần phát triển

ở học sinh “ những năng lực trí tuệ, phát huy tính tích cực sáng tạo, biết nhìn

nhận vấn đề ở từng góc độ khác nhau Tìm tòi những cái cũ trong cái mới”.

Để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh người giáo viên phải đặt họcsinh vào những tình huống có vấn đề tạo cho các em những thách thức trướcnhững vấn đề mới

Sử dụng biệt thức Delta để giải phương trình bậc hai là nội dung cơ bản,quan trọng của chương trình đại số 9

Tuy nhiên sử dụng triệt để biệt thức Delta để giải một số dạng toán khácnhư thế nào? Điều này cũng được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục đề

cập Song trong quá trình thực hiện còn tùy thuộc vào trình độ học sinh và điềukiện của giáo viên Là một giáo viên trẻ, kinh nghiệm chưa nhiều, việc thửnghiệm các nội dung giảng dạy không chỉ nhằm rút kinh nghiệm cho bản thân

mà còn làm cơ sở thực tiễn để cùng đồng nghiệp bàn luận nhằm xây dựng nhữngphương án giảng dạy thích hợp Việc xây dựng các chuyên đề chuyên môn là cầnthiết nhằm hệ thống hóa bài tập và phương pháp giải giúp học sinh nắm kiếnthức sâu rộng và chắc chắn hơn Trong các vấn đề trên “Sử dụng biệt thức

Delta vào giải toán” là chuyên đề mà bản thân tôi đang cố gắng lựa chọn vàphân loại bài tập để chuyên đề phù hợp với đối tượng học sinh của mình trực tiếpgiảng dạy Trong chuyên đề này tôi xin phép chỉ giới thiệu một số dạng bài tậpquen thuộc thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đề thi họcsinh giỏi cấp trường, cấp huyện…Trong quá trình giảng dạy tiếp theo tôi tiếp tụcthu thập tài liệu và các dạng toán cũng như các bài tập phong phú hơn có thể giảibằng sử dụng Delta để chuyên đề thêm phong phú và sâu rộng hơn

2 Giới thiệu.

2.1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình toán 9, xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến tam

thức bậc hai có dạng:

- Giải phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số

- Giải phương trình, hệ phương trình nghiệm nguyên

- Chứng minh bất đẳng thưc

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị hàm số…

Đây là một nội dung khó đối với chương trình toán 9 Khi giải bài tậpdạng này học sinh gặp nhiều khó khăn, vướng mắc dẫn đến không hứng thú, bởi

vì các em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp Mặt khác công cụ giải cácbài toán trên còn nhiều hạn chế Không vì thế mà giáo viên xem nhẹ các dạngnày mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào để các em khôngngại Chính vì vậy, giáo viên cần đưa các em từ những bài toán đơn giản đếnphức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp

Trong chương trình toán THCS có nhiều dạng bài tập liên quan đến sửdụng biệt thức delta , xong tôi chỉ đưa vào đây một số bài tập điển hình Tôi nghĩtrong quá trình giảng dạy vận dụng biệt thức Delta thì chất lượng học sinh sẽ tốthơn rất nhiều

Tạo nguồn HSG cho các năm tiếp sau

2.3.Vấn đề nghiên cứu.

Từ việc nghiên cứu vấn đề, giúp bản thân phát hiện ra những phương pháphay và có hiệu quả nhất để vận dụng vào quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi,nhằm đạt kết quả cao hơn

2.4 Giải thuyết nghiên cứu

Trong môn toán có nhiều dạng bài tập có thể giải bằng cách sử dụng biệtthức Delta Tuy nhiên trong chuyên đề này tôi chỉ đưa ra một số bài tập thuộccác dạng sau

- Giải các phương trình và hệ phương trình có nhiều ẩn số

- Giải phương trình nghiệm nguyên

- Chứng minh bất đẳng thức

- Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, miền giá trị…

3.Phương pháp

3.2 Thiết kế nghiên cứu

-Thời gian nghiên cứu: Hai năm và một học kì của năm học thứ ba

Bắt đầu từ năm học: 2015-2016

Kết thúc là học kì I của năm học: 2016-2017

- Đúc rút một phần kinh nghiệm qua các đồng nghiệp và bản thân tìm hiểu

và tham khảo nhiều tài liệu liên quan ở trên sách, trên mạng internet, và các đề thi của các cấp

3.3 Quy trình nghiên cứu

3.3.1 Nghiên cứu các dạng toán

Xuất phát từ bài toán gốc:

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)

Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 ( hoặc ∆’ = b’2 - ac ≥ 0 )

*/ Các dạng toán:

Dạng 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN

Để giải bài toán dạng này học sinh thường phân tích vế trái thành nhân tử hoặcđưa vế trái thành tổng các bình phương còn vế phải bằng 0, hay bằng phươngpháp loại trừ…Các phương pháp này học sinh biến đổi thường gặp nhiều khókhăn dẫn đến bài toán bế tắc Nhưng sử dụng biệt thức Delta thì việc giải bàitoán trở nên dễ dàng hơn

Bài toán 1: Giải phương trình

Cách 3: Để giải bài toán (1) ta còn có thể biến đổi (1) về dạng phương trình bậc

hai một ẩn với ẩn là x, rồi sử dụng biệt thức Delta để giải

* Như vậy ta đã sử dụng công cụ biệt thức Delta để giải phương trình trên

nhanh hơn, đồng thời học sinh dễ hiểu và áp dụng tốt hơn

Xuất phát từ bài toán (2) ta đặt ra bài toán mới.

Bài toán 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình

¿

x2 +4 y2 +x − 4 xy − 2 y −2=0(1)

x2 +y2 +2 xy − 2 x −2 y +1=0(2)

x2 +y2 +2 xy − 2 x −2 y +1=0(2)

Tương tự đưa phương trình 2 về dạng phương trình bậc hai với ẩn là x.

Ta viết phương trình f(x,y,z,…) = 0 dưới dạng phương trình bậc hai với một

ẩn nào đó(ẩn x) khi đó các ẩn còn lại coi là tham số (y,z,…là tham số)

Để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên thì ta cần điều kiện:

GV hướng dẫn học sinh: để phương trình có nghiệm nguyên ngoài điều kiện ∆’ ≥

0 ta cần thêm điều kiện ∆’ là số chính phương

 4(y2 – 2) phải là một số chính phương

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Từ các bài toán trên ta thấy được vai trò của biệt thức Delta vô cùng quan trọng.Khi giải các em phải xem xét mọi tình huống xảy ra, cần vận dụng kiến thức mộtcách linh hoạt

Bây giờ ta thay hạng tử tự do ở PT (1) bởi số 2 thì được bài toán mới

Bài toán 6: Giải phương trình

Vì ∆’< 0 nên PT (2’) vô nghiệm

Vậy PT (2) vô nghiệm

Không chỉ dừng lại ở đó, sử dụng biệt thức Delta còn giúp ta giải quyết được một

số bài toán còn khó hơn và thường xuyên xuất hiện trong các câu khó của đề thituyển sinh vào lớp 10, các đề thi khảo sát đội tuyển và các đề thi học sinh giỏicác cấp, thi vào trường chuyên, lớp chọn đó là chứng minh bất đẳng thức

Dạng 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

1)Cho tam thức bậc hai

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

 f(x) trái dấu với a nếu x 1 < x < x 2

hoặc f(x) cùng dấu a nếu x < x 1 hoặc x > x 2

2) Cho tam thức bậc hai

Vận dụng kiến thức đó ta giải các bài toán sau:

Ta xét bài toán mới

Bài toán 7:

Chứng minh bất đẳng thức:

5y 2 – 6xy + 2x 2 + 2x – 2y + 2 > 0 với mọi (x,y)

Vận dụng kết quả bài toán 6 học sinh dễ dàng giải bài toán 7:

Qua bài toán 7 ta thấy biệt thức Delta lại có vai trò quan trọng trong việc chứngminh bất đẳng thức

Bài toán 8:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Chứng minh rằng: 2a2 + b2 + c2 -2a(b + c) ≥ 0

Dấu “=” xảy ra khi nào? Khi đó tam giác ABC có đặc điểm gì?

Bài toán này ở lớp 8 các em học sinh khá giỏi cũng đã được chứng minh, ngoài

ra ta có thể chứng minh bằng công cụ biệt thức Delta

Nếu chọn a làm ẩn ta có bất phương trình bậc 2 dạng

2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0

Đặt f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2

Ta có ∆’ = b2 + 2bc + c2 – 2(b2 + c2 ) = - (b - c)2 ≤ 0

Nếu ∆’ = 0  - (b - c)2 = 0  b = c thì tam thức bậc 2 f(a) có nghiệm

Trong tam thức f(a) có hệ số a = 2 > 0  f(a) = 2a2 – 2(b + c)a + b2 + c2 ≥ 0 vớimọi a, b, c

Dấu đẳng thức xảy ra  a = b = c khi đó tam giác ABC là tam giác đều

Ta được điều phải chứng minh

+ Nếu q2 – c2 – d2 > 0, suy ra q ≠ 0, xét tam thức bậc hai

Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2abc +1 ≥ 2(ab + bc + ca)

Đây là bài toán khá tiêu biểu cho các bất đẳng thức không thuần nhất và không

có điều kiện HS sẽ lúng túng và khó có PP giải

GV hướng dẫn đưa về tam thức bậc hai ẩn a

Vậy BĐT đã được chứng minh

Bài toán 11: Chứng minh bất đẳng thức:

x 2 + 5y 2 + 2z 2 – 4xy - 2yz - 2z +1 ≥ 0 với mọi x, y, z

Với kiến thức đã có sẵn học sinh không bất ngờ trước bài toán 11, và học sinhgiải bài toán này một cách đơn giản

 f(x) ≥ 0 với mọi x, y, z ( điều phải chứng minh)

Ta có thể giải bài toán này bằng nhiều cách khác nhau

Đến đây giáo viên đã kích thích sự hứng thú say mê của học sinh, học sinh có

nhu cầu giải các bài toán với mức độ khó hơn Ta xét bài toán sau:

Bài toán 12: Cho đẳng thức:

Giải: Ta có x2 + y2 = xy – x +2y  y2 – (x + 2)y + x2 + x = 0 (*)

Ta xem (*) là phương trình bậc hai ẩn số y Phương trình (*) có nghiệm khi vàchỉ khi:

∆ = (x + 2) 2 – 4(x2 + x) ≥ 0

 3x2 ≤ 4  x2 ≤ 43  − 2√3

3 ≤ x ≤

2√3 3

Bài 14:

Cho x ≥ 1 ; y ≥ 0 thỏa mãn: y2√x − 1+√x −1= y

Chứng minh rằng

Xem (*) là phương trình bậc hai ẩn b Phương trình (*) có nghiệm  ∆’ ≥ 0

 - 4x2 + 5 ≥ 0  x2 ≤ 5

4⇔|x|≤√5

2Vậy |a − b|≤√5

* Nhận xét : từ bài toán 11ta khai thác và đặt ra bài toán mới

Bài toán 18: Tìm GTNN của biểu thức

Từ bài toán 13 ta đặt ra bài toán mới khá thú vị như sau:

Bài toán 19: Tìm giá trị lớn nhất của

B= x

x2+1

Bài toán này sử dụng kiến thức lớp 8 nhiều em khá giỏi cũng có thể biến đổiphân thức và tìm được GTLN của B Tuy nhiên nếu giải bằng biệt thức Delta thìbài toán trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều, nhiều em HS trung bìnhcũng có thể làm

* Như vậy càng khám phá ta lại thấy được biệt thức Delta còn ứng dụng để giảicác bài toán tìm GTLN, GTNN, tìm miền giá trị của hàm số

Dạng 4: TÌM GTLN, GTNN, TÌM MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

PP chung để giải:

- Giả sử cho trước hàm số: y = f(x) ta xét phương trình f(x) = a Phương trình này

có nghiệm khi a thuộc miền giá trị của hàm số Như vậy ta đã chuyển bài toán vềdạng tam thức bậc hai, và công cụ để giải chính là biệt thức Delta

Bài toán 20: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức:

A= x2− x+1

x2+x +1

Chuyển bài toán về dạng đơn giản và sử dụng biệt thức Delta ta có

đặt a= x

2

− x+1

x2 +x +1 (1)Biểu thức A nhận giá trị a khi phương trình ẩn x có nghiệm

Do x2 + x + 1 ≠ 0 nên (1)  ax2 + ax +a = x2 – x +1

 (a - 1)x2 + (a + 1)x + (a - 1) = 0 (2)Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trương hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì để (2) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là ∆

Phương pháp giải như trên gọi là PP miền giá trị của hàm số

Đoạn [13;3] là miền giá trị của hàm số A

Qua bài toán 20: Giáo viên nhấn mạnh khắc sâu phương pháp giải

Muốn sử dụng biệt thức Delta làm công cụ ta cần chuyển bài toán về dạng liênquan đến tam thức bậc hai

Xét tiếp bài toán sau:

Bài toán 21: Tìm miền giá trị của hàm số

A= x

x2+ 1(Được sự hướng dẫn, giới thiệu của giáo viên, học sinh sẽ không bị bất ngờ trướcbài toán này) giáo viên dẫn dắt học sinh, vận dụng điều kiện có nghiệm của

phương trình f(x) = a, bài toán được phát triển dưới dạng sau:

Với giá trị nào của a thì phương trình:

2≤ A ≤

1 2

* Qua bài toán này GV dẫn dắt học sinh đưa đến bài toán mới

Bài toán 22: Tìm GTLN, GTNN của

Từ bài tập 17 ta có thể phát biểu bài toán dưới dạng

Bài toán 23: Chứng minh rằng :

Các bài tập tương tự:

1) Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

-Tiến hành thực nghiệm dạy học trên lớp với nhóm học sinh giỏi lớp 9A

-Thời gian tiến hành thực nghiệm tuân theo kế hoach dạy học của nhà trường

và theo thời khóa biểu nhà trường phân công

3.4 Đo lường

Kết quả bài kiểm tra qua các lần khảo sát đội tuyển do nhà trường tổ chức

4.Phân tích dữ liệu kết quả

* Khi chưa thực hiện chuyên đề này học sinh gặp nhiều khó khăn ngay cảbài tập số 1 là bài tập tương đối dễ mà hầu hết các em học sinh khá cũng khôngđịnh hướng được cách giải quyết; các bài tập còn lại các em hoàn toàn bế tắc cónhững bài, câu hỏi tưởng chừng như không đúng với phần lý thuyết được họcnhư bài 3, bài 9, bài 10, bài13 học sinh không thể làm được và khi giáo viênchữa bài thì cũng rất khó khăn bởi phải diễn giải rất nhiều mới có được kiến thức

sử dụng biệt thức Delta dẫn tới học sinh khó tiếp thu, sợ những bài tập như vậy

* Sau đó tôi nghiên cứu sắp xếp hệ thống các bài tập như đã trình bày trênđây, áp dụng cho học sinh thì thấy học sinh hiểu bài hơn, say mê học hơn với cácbất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệ phương trình, phương trình và hệphương trình nghiệm nguyên…Và do đó, các em tự mình giải quyết được các bàitập Đồng thời phần trình bày của các em ngắn gọn, dễ hiểu, dễ ghi

* Ngoài các bài tập tôi đã đưa ra ở trên còn nhiều bài tập nữa, thấy các em

áp dụng tốt đặc biệt có em trình bày lời giải ngắn gọn, xúc tích, dễ theo dõi, gópphần rèn KN giải toán, năng lực hoạt động trí tuệ cho học sinh Học sinh khôngcòn hiểu vấn đề theo kiểu máy móc, dập khuân Vì không có điều kiện trình bàyhết tất cả các bài tập, chuyên đề chỉ đưa ra các VD tiêu biểu để minh họa

5 Bàn luận.

Như trên tôi đã đặt vấn đề học sinh trung học còn ở lứa tuổi thiếu niên nên

việc tư duy, khả năng khái quát hóa của các em còn rất hạn chế.

Do đó để giải các bài tập khó là cả một công việc nặng nề đối với các emnhất là các bài tập về bất đẳng thức vì vậy đòi hỏi ở người giáo viên một sự đầu

tư lớn trong việc nghiên cứu chương trình sách giáo khoa, hệ thống bài tập ápdụng và bài tập nâng cao Từ đó xây dựng thành những chuyên đề nhằm giúphọc sinh có năng lực độc lập tư duy, khái quát hóa những kiến thức Từ đó mànăng lực trí tuệ của các em được rèn luyện và nâng cao Trong chương trình họckhông phải nội dung kiến thức nào cũng có lý thuyết bổ sung nằm tiềm ẩn bêntrong như bài biệt thức Delta Điều quan trọng hơn cả là ở tâm huyết của ngườigiáo viên đối với nghề nghiệp

Chỉ qua một ví dụ về sử dụng biệt thức Delta ta thấy đã rút ra nhiều điều

bổ ích cho việc giải bài tập về bất đẳng thức, tìm cực trị, giải phương trình, hệphương trình, giải phương trình hệ phương trình có nghiệm nguyên…

Nếu chúng ta tiến hành như vậy ở các nội dung kiến thức khác nữa thìchắc chắn kết quả giáo dục ngày càng được nâng cao, đào tạo được nhiều nhântài cho đất nước Đó chính là đích cuối cùng của nghề dạy học

6.Kết luận và kiến nghị

* Kết luận

Qua phần trình bày trên đây, ở nhiều bài tập: giải phương trình, hệ phươngtrình nhiều ẩn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhiều hàm số, giải bất đẳngthức…chúng ta thấy được việc sử dụng sáng tạo biệt thức Delta để giải quyếtnhanh gọn các dạng toán trên một cách dễ dàng và đặc biệt là giúp cho học sinh

có thể hiểu sâu hơn về kiến thức cụ thể là dấu của tam thức bậc hai Những bàitập này giúp cho học sinh rèn tư duy và kỹ năng biến đổi, áp dụng các kiến thức

đã biết

* Kiến nghị

Qua một số bài tập và dạng toán trong chuyên đề tôi nhận thấy : nếu mỗigiáo viên tâm huyết với nghề, tận tâm vì học sinh của mình thì sẽ có nhữngchuyên đề sát thực và bổ ích nhằm thúc đẩy khả năng tư duy khả năng tự học vàphát triển tư duy tốt hơn ở mỗi học sinh

Qua chuyên đề tôi nhận thấy mỗi giáo viên có thể xây dựng cho mình một

số chuyên đề thiết thực, cụ thể, phù hợp để giảng dạy được hiệu quả hơn Phònggiáo dục thường xuyên tổ chức các chuyên đề chuyên môn, phù hợp, hiệu quả,thúc đẩy sự cố gắng trong giáo viên về giảng dạy theo chuyên đề Nên có các đợttập huấn về giảng dạy theo chuyên đề kiến thức, theo dạng bài để giáo viên giảngdạy có hiệu quả hơn

Với năng lực chuyên môn có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tôiviết chuyên đề này mong được đóng góp phần nhỏ vào việc đổi mới phươngpháp dạy học, việc nâng cao khả năng tự học và giải toán của học sinh, biếnnhững bài toán khó, phức tạp về các dạng cơ bản và quen thuộc có thể áp dụng