Quyển 2. Hình học 12

Quyển 2. Hình học 12

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1 Khối đa diện 1

Bài 2 Thể tích khối chóp 36

Bài 3 Thể tích khối lăng trụ 56

CHƯƠNG 2 NÓN – TRỤ - CẦU Bài 1 Mặt nón 69

Bài 2 Mặt trụ 84

Bài 3 Mặt cầu 101

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Bài 1 Tọa độ trong không gian 135

Bài 2 Phương trình mặt cầu 156

Bài 3 Phương trình mặt phẳng 174

Bài 4 Phương trình đường thẳng 193

Bài 5 Phương pháp tọa độ trong không gian 223

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN

BA�I 1: KHỐI ĐA DIỆN

A– NHẮC LẠI LÝ THUYẾT

1 Chứng minh đường thẳng d song song mp( )α ( d ⊂( )α )

Cách 1 Chứng minh d d ′// và d′ ⊂( )α

Cách 2 Chứng minh d⊂( )β và ( )//( )β α

Cách 3 Chứng minh d và ( )α cùng vuông góc với 1 đường thẳng hoặc cùng vuông góc với 1 mặt phẳng

2 Chứng minh mp( )α song song với mp( )β

Cách 1 Chứng minh mp( )α chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với ( )β (Nghĩa là

2 đường thẳng cắt nhau trong mặt này song song với 2 đường thẳng trong mặt phẳng kia)

Cách 2 Chứng minh ( )α và ( )β cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

3 Chứng minh hai đường thẳng song song:

Cách 1 Hai mặt phẳng ( )α , ( )β có điểm chung S lần lượt chứa hai đường thẳng song song

a và b thì (α)∩(β)=Sx a b// //

Cách 2. (α)/ a/ , a⊂(β)⇒( )α ∩(β) =b a//

Cách 3 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

Cách 4 Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho 2 giao tuyến song song

Cách 5 Một mặt phẳng song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau, ta được 3 giao tuyến song song

Cách 6 Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 hoặc cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau

Cách 7 Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối

tứ giác đặc biệt, …

4 Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( )α

Cách 1 Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( )α

Cách 2 Chứng minh d nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến ⇒ d vuông góc với mp còn lại

Cách 3 Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3

Cách 4 Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a⊥( )α

Cách 5 Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại

Cách 6 Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong ( )α

5 Ch ứng minh hai đường thẳng d và d ′ vuông góc:

3 Tam giác ABC vuông tại A :

KH ỐI ĐA DIỆN KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ

I Khái ni ệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện sau:

• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc có đỉnh chung hoặc có một

cạnh chung

• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

• Mỗi đa giác như trên được gọi là một mặt của hình đa diện

• Các đỉnh, các cạnh của đa giác ấy theo thứ tự gọi là các đỉnh, các cạnh của hình đa diện

II Khái ni ệm về khối đa diện

Khối đa diện = hình đa diện + phần không gian được giới hạn bởi hình đa diện

• Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện Tập hợp các điếm

ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện

• Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện ứng với khối đa diện ấy được gọi

là điểm trong của khối đa diện Tập hợp các điểm trong được gọi là miên trong của khối đa diện

• Mỗi khối đa diện được xác định bởi một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh, cạnh,

mặt,

điểm trong, điểm ngoài, của một khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài, của hình đa diện tương ứng

• Khối đa diện được gọi là khối lăng trụ nếu nó được giới hạn bởi một hình lăng trụ

• Khối đa diện được gọi là khối chóp nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp

• Khối đa diện được gọi là khối chóp cụt nếu nó được giới hạn bởi một hình chóp cụt Tương tự

ta có

các định nghĩa về khối chóp n - giác; khối chóp cụt n - giác, khối chóp đều, khối hộp,

• Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó

Ví d ụ: Hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E ′ ′ ′ ′ ′ ta có khối lăng trụ ngũ giác

ABCDE A B C D E′ ′ ′ ′ ′ ; với hình chóp tứ giác đều S ABCD ta có khối chóp tứ giác đều S ABCD

III Phân chia và l ắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện ( )H là hợp của hai khối đa diện ( )H , 1 ( )H2 sao cho ( )H và 1 ( )H2 không có điểm trong chung thì ta nói có thể phân chia khối đa diện ( )H thành hai khối đa diện ( )H và 1

( )H2 Khi đó, ta cũng nói có thể ghép hai khối đa diện( )H và 1 ( )H2 để được khối đa diện (H) Sau đây là một số ví dụ về phân chia các khối đa diện:

Nếu khối đa diện ( )H là hợp của hai khối ( )H1 và ( )H2 sao cho ( )H1 và ( )H2 không có chung điểm nào thì ta nói có thể chia khối đa diện ( )H thành hai khối đa diện ( )H1 và ( )H2 , hay có thể lắp ghép hai khối đa diện ( )H1 và ( )H2 thanh một khối đa diện ( )H

+ K ết quả 1: Một khối đa diện bất kì có ít nhất 4 mặt

+ K ết quả 2: Mỗi hình đa diện có ít nhất 4 đỉnh

+ K ết quả 3: Cho ( )H là đa diện mà các mặt của nó là những đa giác có p cạnh Nếu số mặt

của ( )H là lẻ thì p phải là số chẵn

Ch ứng minh: Gọi m là số các mặt của khối đa diện ( )H Vì mỗi mặt của ( )H có p cạnh nên

m mặt sẽ có pm cạnh Nhưng do mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai đa giác nên số cạnh của ( )H

bằng

2

pm

c= Vì m lẻ nên p phải là số chẵn

+ K ết quả 4 (Suy ra từ chứng minh kết quả 3): Cho ( )H là đa diện có m mặt, mà các mặt

của nó là những đa giác có p cạnh Khi đó số cạnh của ( )H là

Ch ứng minh: Gọi số cạnh và số mặt của khối đa diện lần lượt là c và m Vì mỗi mặt có ba cạnh

và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3

• Khối tứ diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác

• Xét tam giác BCD và hai điểm A, E ở về hai phía của mặt phẳng (BCD Khi ) đó ta có khối lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác

• Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là các tam giác

• Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm M, N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác Khi đó

khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là các tam giác

+ K ết quả 6: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ

diện

+ K ết quả 7: Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất 3 cạnh

+ Kêt qu ả 8: Nếu khối đa diện có mỗi đỉnh là đỉnh chung của ba cạnh thì số đỉnh phải là số

chẵn

+ Tông quát: Một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì tổng

số đỉnh là một số chẵn

+ K ết quả 9: Mỗi hình đa diện có ít nhất 6 cạnh

+ K ết quả 10: Không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh

+ K ết quà 11: Với mỗi số nguyên k≥ luôn tồn tại hình đa diện có 2k cạnh 3

+ K ết quả 12: Với mỗi số nguyên k≥ luôn tồn tại hình đa diện có 2 14 k+ cạnh

+ K ết quả 13: Không tồn tại một hình đa diện có

* Số mặt lớn hơn hoặc bằng số cạnh

* Số đỉnh lớn hơn hoặc bằng số cạnh

+ K ết quả 14: Tồn tại khối đa diện có 2n mặt là những tam giác đều

Khối tứ diện đều có 4 mặt là tam giác đều Ghép hai khối tứ diện đều bằng nhau (một mặt của từ

diện này ghép vào một mặt của tứ diện kia) ta được khối đa diện ( )H6 có 6 mặt là tam giác đều Ghép thêm vào ( )H6 một khối tứ diện đều nữa ta được khối đa diện ( )H8 có 8 mặt là các tam giác đều Bằng cách như vậy, ta được khốỉ đa diện có 2n mặt là các tam giác đều

H 8

H 6

V PHÉP BI ẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN

Ki ến thức cần nhớ

Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc để với mỗi điểm M xác định được một điểm

M ′ duy nhất gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Qua phép biến hình F, mỗi hình ( )H được biến thành hình ( )H' gồm tất cả các ảnh của các điểm thuộc hình ( )H

Tính chất: Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng…

2 Các phép d ời hình trong không gian thường gặp

a Phép đói xứng qua mặt phẳng

+ Định nghĩa: Phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P là phép biến hình

biến mỗi điểm thuộc ( )P thành chính nó và biến mỗi điểm M

không thuộc ( )P thành điếm M ′ sao cho ( )P là mặt phẳng

trung trực của đoạn MM ′

+ Định lí: Nếu phép đối xứng qua mp( )P biến hai điểm ,M N lần lượt thành hai điểm M ′

Ví d ụ 1: Mọi mặt phẳng ( )P đi qua tâm I của mặt cầu ( )S đều là mặt phẳng

đối xứng của mặt cầu ( )S

Ví dụ 2: Hình tứ diện đều ABCD có 6 mặt phẳng đối xứng Đó là các mặt

phẳng đi qua một cạnh và trung điểm của cạnh đối diện Chẳng hạn: Cho

tứ diện đều ABCD Gọi M là trung điểm của cạnh CD Khi đó ta có

(ABM là m) ặt phẳng đối xứng của tứ diện đều ABCD

C A

M

Kí hiệu là T v

c Phép đối xứng trục

Cho đường thẳng d , phép đối xứng qua đường thẳng d là

phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó

và biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M ′ sao

cho d là đường trung trực đoạn MM ′

d Phép đối xứng tâm

Cho điểm O , phép đối xứng qua điểm O là phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M ′ sao cho

' 0

OM  +OM =

3 Định nghĩa hai hình bằng nhau

Hai hình ( )H và ( )H' gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia

Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Khi đó:

• Các hình chóp A A B C D′ ′ ′ ′ và C ABCD′ bằng nhau (vì qua

phép đối xứng tâm O hình chóp A A B C D′ ′ ′ ′ biến thành

chình chóp C ABCD′ )

• Các hình lăng trụ ABC A B C ′ ′ ′ và AA D BB C′ ′ ′ ′ bằng nhau

(Qua phép đối xứng mặt phẳng (AB C D′ ′ ) thì hình lăng trụ

ABC A B C′ ′ ′ biến thành hình lăng trụ AA D BB C′ ' ′ ′ )

+ Định lý: Hai hình tứ diện ABCD và A B C D ′ ′ ′ ′ bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng bằng nhau, nghĩa là: AB= A B′ ′, BC=B C′ ′, CD=C D′ ′, DA=D A′ ′, AC= A C′ ′,

BD=B D′ ′

O A' A

4 Phép v ị tự trong không gian

a Định nghĩa: Cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định Phép biến hình trong không

gian biến điểm M thành điểm M ′ thỏa mãn: OM ′ =kOM được gọi là phép vị tự Điểm O gọi là tâm vị tự, số k được gọi là tỉ số vị tự

+ K ết quả 1: Phép biến hình biến mỗi điểm M của không gian thành chính nó gọi là phép đồng nhất, thường kí hiệu là e Phép đồng nhất e là một phép dời hình

+ K ết quả 2: Phép dời hình biến một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng bán kính

+ K ết quả 3: Cho hai điểm A B, và phép dời hình f biến A thành A, biến B thành B Khi đó, f biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó

+ Kết quả 4 Cho tam giác ABC và phép dời hình f biến tam giác ABC thành chính nó với

+ Lấy hai điểm A B, lần lượt nằm trên ( )P và ( )Q sao cho AB⊥( )P Khi đó, thực hiện liên

tiếp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song ( )P và ( )Q thì kết quả là phép tịnh tiến theo véctơ v=2AB

+ K ết quả 6: Hợp thành của hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với nhau là một phép đối xứng qua đường thẳng (là phép đối xứng qua đường thẳng giao tuyến

của ( )P và ( )Q )

+ K ết quả 7: Phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng

với nó, biến mỗi mặt phẳng thành một mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng đó

+ Kết quả 8: Cho phép vị tự V tâm O tỉ số k≠ và phép vị tự V ′ tâm O′ tỉ số k′ Khi đó, 1nếu kk′= thì hợp thành của V và V ′ là một phép tịnh tiến 1

+ K ết quả 9: Hai hình hộp chữ nhật bằng nhau nếu các kích thước của chúng bằng nhau

+ K ết quả 10: Hai hình lập phương bằng nhau nếu các đường chéo của chúng có độ dài bằng

KH ỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

1 Kh ối đa diện lồi

Khối đa diện được gọi là khối đa diện lồi nếu với bất kì hai điểm A và B nào của nó thì mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB cũng thuộc khối đó

2 Kh ối đa diện đều

a Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất sau đây:

• Các mặt là những đa giác đều n cạnh

• Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng p cạnh

Khối đa diện đều như vậy gọi là khối đa diện đều loại { }n p,

b Định lý: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều Đó là loại { }3;3 , loại { }4;3 , loại { }3; 4 , loại { }5;3,loại { }3;5 Tùy theo số mặt của chúng, 5 khối đa diện trên lần lượt có tên gọi là: Khối tứ diện đều; khối lập phương; khối bát diện đều; khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều

3 B ảng tóm tắt của 5 loại khối đa diện đều

D

C E

F

Mười hai mặt đều 20 30 12 { }5;3

+ K ết quả 1: Cho một khối tứ diện đều Khi đó:

• Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một tứ diện đều;

• Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối bát điện đều (khối tám mặt đều)

+ K ết quả 2: Tâm của các mặt của một khối lập phương là các đỉnh của một bát diện đều

+ K ết quả 3: Tâm của các mặt của một bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương

+ K ết quả 4: Hai đỉnh của một bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không

cùng thuộc một cạnh của khối đó Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của

khối bát diện đều Khi đó:

• Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;

• Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau;

• Ba đường chéo bằng nhau

D ẠNG 1: NHẬN DIỆN CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Ví d ụ 1: Mỗi khối đa diện được xác định bởi

một hình đa diện ứng với nó Ta cũng gọi đỉnh,

cạnh, mặt, điểm trong, điểm ngoài… của một

khối đa diện theo thứ tự là đỉnh, cạnh, mặt, điểm

trong, điểm ngoài… của hình đa diện tương ứng

Ví d ụ 2: Các hình dưới đây là những khối đa

diện:

Các hình dưới đây không ph ải là những khối đa diện:

Gi ải thích: Hình a không phải là hình đa diện vì tồn tại cạnh không phải là cạnh chung của hai mặt,

Hình b không phải là hình đa diện vì có một điểm đặc biệt trong hình, điểm đó không phải là đỉnh chung của hai đa giác, Hình c không phải là hình đa diện vì tồn tại một cạnh là cạnh chung của bốn

đa giác

Điểm ngoài

Điểm trong Miền ngoài

d

M

N

Bài t ập trắc nghiệm Câu 1 Hình nào trong các hình sau không ph ải là hình đa diện?

A Hình chóp B Hình vuông C Hình l ập phương D Hình lăng trụ

Câu 2 Cho các hình sau:

Câu 11 Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu cạnh?

Câu 13 (ĐH VINH LẦN 4) Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ

phương Bát diện đều Hình 12 mặt đều Hình 20 mặt đều

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4

B Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh

C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng

D Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh

Câu 14 Hình đa diện bên có bao nhiêu cạnh?

Hình đa diện là hình tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

1 Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một đỉnh chung hoặc chỉ

có một cạnh chung

2 Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác

Các hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất số 2

Câu 3 Ch ọn D

L ời giải: Áp dụng các tính chất của hình đa diện:

+ Mỗi cạnh là cạnh chung bất kì của đúng hai mặt;

+ Hai mặt bất kì hoặc có 1 đỉnh chung, hoặc 1 cạnh chung, hoặc không có điểm chung nào

L ời giải Vì hình C vi phạm tính chất ''Mỗi cạnh của miền đa giác nào cũng là cạnh chung

của đúng hai miền đa giác''

DẠNG 2: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA HÌNH ĐA DIỆN

Phương pháp: Quy luật tìm các mặt phẳng đối xứng: Do tính chất đối xứng nhau, nên cứ

đi từ trung điểm các cạnh ra mà tìm Đảm bảo rằng nếu chọn 1 mặt phẳng đối xứng nào thì các điểm còn dư phải chia đều về 2 phía Ví dụ chọn mặt phẳng ABCD làm mp đối xứng thì 2 điểm S và S' là

2 điểm dư còn lại phải đối xứng nhau qua ABCD Nếu chọn SBS'D thì còn 2 điểm dư là A và C đối

xứng nhau qua SBS'D

Các M ặt Phẳng Đối Xứng Hình Bát Diện Đều

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1 S ố mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là:

Câu 5 Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A T ứ diện đều B Bát diện đều C.Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều

Câu 6 Gọi n n n1 , , 2 3 lần lượt là số trục đối xứng của khối tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều và khối lập phương Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 15 Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là

A Các đỉnh của một hình tứ diện đều

B Các đỉnh của một hình bát diện đều

C Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều

D Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều

Câu 16 Ch ọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình lập phương

B Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình tứ diện đều

C Tâm tất cả các mặt của 1 hình tứ diện đều thì tạo thành một hình lập phương

D Tâm tất cả các mặt của 1 hình lập phương thì tạo thành một hình tứ diện đều

L ời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh

và qua trung điểm cạnh đối diện Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Câu 2 Ch ọn D

L ời giải: gọi bát diện đều ABCDEF, có 9 mặt phẳng đối

xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng (ABCD), (BEDF), (AECF) và 6 mặt phẳng

là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn AB và CD)

Câu 3 Ch ọn A

L ời giải: Đa diện đều loại {4;3} là hình lập phương, gọi

ABCD.A’B’C’D’, có 9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng

trung trực của 3 cạnh AB, AD, AA’ và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt

phẳng đi qua hai cạnh đối diện

t

L ời giải: Khối tứ diện đều có 3 trục đối xứng (đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối

diện) Khối chóp tứ giác đều có 1 trục đối xứng (đi qua đỉnh và tâm của mặt tứ giác) Khối lập phương có 9 trục đối xứng (Loại 1: đi qua tâm của các mặt đối diện ; Loại 2: đi qua trung điểm các

cặp cạnh đối diện)

Câu 7 Ch ọn A

L ời giải: Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy

 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy

Câu 8 Ch ọn B

L ời giải: Các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều là các mặt phẳng chứa một cạnh

và qua trung điểm cạnh đối diện

Vậy hình tứ diện đều có 6 mặt phẳng đối xứng

Câu 9 Ch ọn A

L ời giải: Hình lăng trụ tam giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng (hình vẽ bên dưới)

Câu 10 Ch ọn D

L ời giải: Hình hộp chữ nhật (không là hình lập phương) có các mặt phẳng đối xứng là

các mặt các mặt phẳng trung trực của các cặp cạnh đối

Câu 11 Ch ọn D

L ời giải: Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt

phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy

 Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên

Câu 12 Ch ọn B

L ời giải: Có 9 mặt đối xứng (như hình vẽ sau)

Câu 13 Ch ọn B

Lời giải: Gọi bát diện đều ABCDEF Có 9 mặt phẳng đối xứng, bao

gồm: 3 mặt phẳng (ABCD , ) (BEDF , ) (AECF và 6 m) ặt phẳng mà mỗi

mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của hai cạnh song song (chẳng hạn

AB và CD )

F

D

C B

A

E

IM =IN =NM = a (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra IMN đều

Chứng minh tương tự, ta có các tam giác: IPN , IPJ , KPJ , KPN , IMJ , KMJ , KMN là các tam giác đều

Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là , , , , ,M N P I J K mà mỗi đỉnh là đỉnh chung

của đúng 4 tam giác đều Do đó đa diện đó là đa diện đều loại { }3; 4 tức là bát diện đều

Câu 16 Ch ọn B

L ời giải:

Gọi , , ,P I J K là tâm c ủa các mặt ABD , ACD , ABC ,

BCD c ủa tứ diện đều ABCD

IK = JP=IJ =PI =PK =KI = a

Vậy PIJK là tứ diện đều

DẠNG 3 : CÁC TÍNH CHẤT KHÁC CỦA ĐA DIỆN Phương pháp giải: Gọi m, c, d theo thứ tự là số mặt, số cạnh, số đỉnh của đa diện (H)

+ Ta luôn có: m d, ≥ 4,c≥ 6 ,m<c d, <c 1( )

+ Nếu mỗi đa diện (H) có chung p cạnh thì mp= 2c ( )2

+ Nếu mỗi đỉnh của đa diện là đỉnh chung của p mặt thì ta có: dq= 2 c ( )3

+ Công thức Ơ-le: d+ − =m c 2 4 ( )

Công thức này không dạy ở 12 nhưng giúp ta dễ nhớ và giải nhanh các bài tập liên quan đến số mặt,

số đỉnh và số cạnh

Ví d ụ 1: Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó

phải là một số chẵn Hãy chỉ ra những khối đa diện như thế với số mặt bằng 4,6,8,10

mà 3 không chia hết cho 2 nên m phải chia hết cho 2, nghĩa là m là số chẵn

*Khối đa diện ABCD có 4 mặt mà mỗi mặt là một tam giác

*Xét tam giác BCD và hai điểm ,A E ở về hai phía của mặt phẳng (BCD) Khi đó ta có khối lục diện ABCDE có 6 mặt là những tam giác

*Khối bát diện ABCDEF có 8 mặt là những tam giác

*Xét ngũ giác ABCDE và hai điểm ,M N ở về hai phía của mặt phẳng chứa ngũ giác Khi đó ta có khối thập diện MABCDEN có 10 mặt là những tam giác

Ví d ụ 2: Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của một số lẻ mặt thì

tổng số các đỉnh của nó phải là một số chẵn

L ời giải

Gọi k là số đỉnh của đa diện và C là số cạnh của đa diện

Ta có:

-Tại đỉnh thứ 1 có (2n1+ 1) mặt nên có (2n1+1) cạnh qua đỉnh thứ nhất

-Tại đỉnh thứ hai có (2n2+1) mặt nên có (2n2+1) cạnh qua đỉnh thứ hai

………

-Tại đỉnh thứ k có (2n k+1) mặt nên có (2n k+1) cạnh qua đỉnh thứ k

Mặt khác vì mỗi cạnh đi qua hai đỉnh nên ta có

Ví d ụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD Chứng minh rằng:

1 Trọng tâm các mặt của khối đó là các mặt của một tứ diện đều

2 Các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều

L ời giải

Gọi ,Q M lần lượt là trung điểm của CD CB ; ,

1, 2, 3, 4

G G G G lần lượt là trọng tâm các mặt

(ABC) (, ACD) (, ABD) và (BCD)

Gọi alà cạnh của tứ diện, ta có

2 Gọi , , ,N P R S lần lượt là trung điểm các cạnh AD AB AC BD , , ,

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A Mỗi hình đa diện có ít nhất bốn đỉnh

B Mỗi hình đa diện có ít nhất ba cạnh

C Số đỉnh của một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó

D Số mặt cảu một hình đa diện lớn hơn hoặc bằng số cạnh của nó

Lời giải

- A Đúng: Ta chứng minh như sau:

Go ̣i M l1 à môt mă ̣t khối đa diê ̣n, M l1 à đa giác nên có ı́t nhất 3 ca ̣nh c c c 1, , 2 3

N

Q

P M

F E

Vı̀ c1∈M3 ⇒M2 ≠M3 Go ̣i M l4 à mă ̣t có chung ca ̣nh c v3 ới M1(M4 ≠M1)

Vı̀ M không ch4 ứa c c nên 1, ,2 M kh4 ác M v2 à M3 Do đó khối đa diê ̣n có ı́t nhất 4 mă ̣t ⇒ mỗi

hı̀nh đa giác có ı́t nhất 4 đı̉nh

- B Sai

- C Sai: Vı́ dụ như hı̀nh chóp tam giác có 4 đı̉nh nhưng có 6 ca ̣nh

- D Sai: Lấy vı́ dụ là hı̀nh chóp tam giác có 4 mă ̣t nhưng có 6 ca ̣nh

Câu 2 Trong các m ệnh đề sau mệnh đề nào sai:

A Hình lăng trụ đều có cạnh bên vuông góc với đáy

B Hình lăng trụ đều có cạnh bên là các hình chữ nhật

C Hình lăng trụ đều có cạnh bên bằng đường cao của lăng trụ

D Hình lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng nhau

D Sai: Do lăng trụ đều có ca ̣nh đáy và ca ̣nh bên có thể không bằng nhau

Câu 3 Trong các m ệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Tồn tại hình đa diện có số cạnh bằng 7

B Tồn tại một hình đa diện có số cạnh nhỏ hơn 7

C Số cạnh đa diện luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 6

D Tồn tại hình đa diện có số cạnh lớn hơn 7

L ời giải Cách 1: Câu C luôn đúng theo lý thuyết Từ hình tứ diện suy ra B đúng Từ hình hộp suy ra câu D đúng Vậy còn câu A sai

Cách 2: Nếu m =4 thì c =6 Do đó nếu c =7 thì m ≥5 Vì mỗi mặt có ít nhất 3 cạnh và mỗi cạnh chung của đúng hai mặt, nên 5.3 7

3

c≥ > vô lý Ch ọn A Câu 4 Phát biểu nào sau đây là đúng?

A Hình hai mươi mặt đều có 30đỉnh, 12 cạnh, 20mặt

B Hình hai mươi mặt đều có 20đỉnh, 30cạnh, 12 mặt

C Hình hai mươi mặt đều có 12 đỉnh, 30cạnh, 20mặt

D Hình hai mươi mặt đều có 30đỉnh, 20cạnh, 12 mặt

Lời giải

Khối 20 mặt đều có các mặt là tam giác đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 cạnh

Gọi số đỉnh là n => số cạnh là 5n Theo định lí ơ-le: n−5n+20= ⇒ =2 n 12

Câu 5 Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống, mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng: “Số cạnh của một hình đa diện luôn….số mặt của hình đa diện ấy”

Chọn A

DẠNG 4 : PHÂN CHIA LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN Phương pháp giải: chọn mặt phẳng thích hợp để phân chia khối đa diện Trong nhiều

trường hợp, để chứng minh rằng có thể lắp ghép các khối đa diện ( ) ( )H1 , H2 , , ( )H n thành khối

đa diện ( )H ta chứng minh rằng có thể chia được khối đa diện ( )H thành các khối đa diện

( ) ( )H1 , H2 , , ( )H n

Giải tự luận :

Ví d ụ 1: Với khối chóp tứ giác S ABCD , ta hãy xét hai khối chóp tam giác S ABC và S ACD

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S ABC và S ACD không có điểm trong chung (tức là

không tồn tại điểm trong của khối chóp này là điểm trong của khối chóp

kia và ngược lại)

+ Hợp của hai khối chóp S ABC và S ACD chính là khối chóp

+ Cắt khối lăng trụ ABC A B C b ' ' ' ởi mặt phẳng (A BC' ) Khi đó, khối

lăng trụ được phân chia thành hai khối đa diện 'A ABC và A BCC B ' ' '

+ Nếu ta cắt khối chóp 'A BCC B b' ' ởi mặt phẳng (A BC' ) thì ta chia

khối chóp 'A BCC B thành hai kh' ' ối chóp 'A BCB và ' A CC B ' ' '

Như vậy khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' được chia thành ba khối 'A ABC ,

A BCB và A CC B ' ' '

Nh ận xét: Mỗi khối đa diện bất kì luôn có thể được phân chia được thành những khối tứ diện

Ví d ụ 3: Với hình lập phương ABCD A B C ' ' 'D' ta có thể phân chia thành 5 khối tứ diện sau: + DA D C ' ' '

+ A ABD'

+ C BCD '

+ BA B C ' ' '

+ BDCA '

Ví dụ 4: Chia một khối hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' thành 5 khối tứ diện

Chia khối hộp ABCD A B C D ' ' ' ' thành 5 khối tứ diện

B

D C A

 Tương tự với khối BCD B C D   

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau

Ch ọn D

Câu 2 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Mặt phẳng AB C  chia khối lăng trụ ABC A B C    thành

các khối đa diện nào?

A Một khối chóp tam giác và một khối chóp tứ giác

B Hai khối chóp tam giác

C' D'

B

A'

C' D'

B A

C Một khối chóp tam giác và một khối chóp ngũ giác

D Hai khối chóp tứ giác

L ời giải

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng AB C  chia khối lăng trụ ABC A B C    thành khối chóp tam giác

.

A A B C   và khối chóp tứ giác A BCC B   Ch ọn A

Câu 3 Cho tứ diện ABCD Lấy 1điểm M giữa A và B, 1điểm N giữa C và D bằng 2 mặt

phẳng: (MCD và ) (NAB , ta chia kh) ối đa diện thành 4 khối tứ diện

A AMCN AMND AMCD BMCN, , , B AMCN AMND BMCN BMND, , ,

P hương pháp : Chỉ ra một phép dời hình cụ thể đã được xác định biến đa diện này thành diện kia

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D     Khi đó:

 Các hình chóp A A B C D     và C ABCD bằng nhau (vì qua phép đối xứng tâm O hình chóp

.

A A B C D    biến thành hình chóp C ABCD )

 Các hình lăng trụ ABC A B C    và AA D BB C    bằng nhau (vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng

AB C D   thì hình lăng trụ ABC A B C    biến thành hình lăng trụ AA D BB C   )

D' C'

B'

A'

D C

Ví d ụ 2: Cho lăng trụ ABCDEF A B C D E F ’ ’ ’ ’ ’ ’ có đáy là những

lục giác đều Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai tâm của

đáy Gọi ( )α là mặt phẳng đi qua I và cắt tất cả cạnh bên của

lăng trụ Chứng minh rằng ( )α chia lăng trụ thành hai đa diện

bằng nhau

L ời giải

Giả sử mặt phẳng ( )α cắt AA BB’, ’, ’, ’, ’, ’CC DD EE FF

lần lượt tạiJ K L M N P, , , , ,

Dễ thấy I cũng là trung điểm củaJM KN LP, ,

Phép đối xứng tâm I biến các điểm , , , , , , , , , , , A B C D E F J K L M N P

lần lượt thành các điểm ’, ’, ’, ’, ’, ’, , , , , , D E F A B C M N P J K L

Do đó hai đa diện ABCDEF JKLMNP và D E F A B C MNPJKL’ ’ ’ ’ ’ ’ bằng nhau vì có phép dời hình

là phép đối xứng tâm I biến đa diện này thành đa diện kia

Bài tập trắc nghiệm Câu 1 (ĐỀ MINH HỌA) Hình đa diện nào dưới đây không có tâm đối xứng?

A Tứ diện đều B Bát diện đều

C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác đều

Hướng dẫn giải Chọn B

Câu 2 Phép đối xứng qua mặt phẳng ( )P biến đường thẳng ∆ thành đường thẳng ∆′ cắt ∆ khi và

Câu 3 Trong không gian cho hai tam giác ABC và A'B'C' bằng nhau (AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C') Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A Không thể thực hiện một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

B Tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

C Có nhiều nhất hai phép tịnh tiến nào biến tam giác này thành tam giác kia

D Có thể thực hiện vô số phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác kia

L ời giải

Trước hết ta nhận thấy rằng, muốn thực hiện

được một phép tịnh tiến biến ΔABC thành

ΔA'B'C' thì phải có điều kiện, hai tam giác

ABC và A'B'C' phải nằm trên hai mặt phẳng

song song (hoặc trùng nhau) và

AB= A B AC=A C

   

Khi đó phép tịnh tiến theo vecto u =A A'

biến ΔA'B'C' thành ΔABC và phép tịnh tiến

theo vecto v = A A'

biến ΔA'B'C' thành ΔABC.Như vậy chỉ có hai phép tịnh tiến biến

tam giác này thành tam giác kia

Hình chóp tứ giác đều có 4 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường trung bình của đáy

 2 mặt phẳng đi qua đỉnh hình chóp và chứa đường chéo của đáy

Câu 5 (ĐỀ THPT CHÍNH THỨC) Hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình chữ nhật) có 3 mặt phẳng đối xứng bao gồm:

 2 mặt phẳng chứa đường chéo của đáy và vuông góc với đáy

 Một mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của cạnh bên

D ẠNG 6 TÍNH TOÁN MỘT SỐ THÔNG TIN LIÊN QUAN

ĐẾN CÁC KHỐI ĐA DIỆN LỒI, ĐỀU

Phương pháp: Chú ý Gọi Đ là tổng số đỉnh, C là tổng số cạnh và M là tổng các mặt của

khối đa diện đều loại n p;  Ta có p Đ2C nM

Ví d ụ 1: Cho khối bát diện đều ABCDEF cạnh ,a trong đó ,E F là hai đỉnh không cùng nằm trên

một cạnh Gọi , , , , , , ,A B C D A B C D′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ lần lượt là trung điểm các cạnh

, , , , , , ,

EA EB EC ED FA FB FC FD Chứng minh rằng A B C D A B C D′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ là một hình hộp chữ nhật và tính các cạnh của hình chữ nhật đó

Tương tự suy ra các cạnh bên A A B B C C D D′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ cùng , , ,

vuông góc với hai mặt đáy Vậy A B C D A B C D′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ là hình hộp chữ nhật

Các cạnh đáy của hình hộp có độ dài là ,

2

a còn các cạnh bên của hình hộp có độ dài là 2

2 a

Bài t ập trắc nghiệm Câu 1 Trong các kh ối đa diện dưới đây, khối nào có số cạnh có thể là một số lẻ?

A Khối chóp B Khối tứ diện;

C Khối hộp D Khối lăng trụ

F

C' D'

C'' B'' A''

D''

Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có 9 cạnh là một số lẻ

Câu 2 Tổng độ dài của tất các cạnh của một tứ diện đều cạnh a

Hướng dẫn giải

Khối tứ diện có 6 cạnh mỗi cạnh có độ dài là a Ch ọn B

Câu 3 Tính tổng diện tích các mặt của một khối bát diện đều cạnh a

2

316

3 4

Hướng dẫn giải Hình 20 đều là hình có 20 mặt bằng nhau và mỗi mặt là một tam giác đều

Gọi S0 là diện tích tam giác đều cạnh bằng 0 2

1 Các hệ thức lượng trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AMlà đường trung tuyến Ta có:

2 Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

3 Các hệ thức lượng trong tam giác thường:

r bán kính đường tròn nội tiếp

d Công thức tính độ dài đường trung tuyến:

5 Diện tích đa giác:

a Di ê ̣n tı́ch tam giác vuông:

 Diê ̣n tı́ch tam giác vuông bằng ½ tı́ch 2 ca ̣nh

góc vuông

b Di ê ̣n tı́ch tam giác đều:

 Diê ̣n tı́ch tam giác đều:

 Chiều cao tam giác đều:

c Di ê ̣n tı́ch hı̀nh vuông và hı̀nh chữ nhật:

 Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông bằng ca ̣nh bı̀nh phương

 Đường chéo hı̀nh vuông bằng ca ̣nh nhân 2

 Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằng dài nhân rộng

d Di ê ̣n tı́ch hı̀nh thang:

 SH ı̀nh Thang 1

2

 (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e Di ê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông

g óc:

 Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tı́ch hai đường chéo

 Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc nhau

ta ̣i trung điểm của mỗi đường