Công thức Mũ + Loga . Toán 12

Trang 1

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 34

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC

MŨ + LOGARIT

LỚP 12 LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Trang 2

TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 35

MŨ VÀ LOGARIT

1 CƠNG THỨC

Cho n là một số nguyên dương Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

n

a a a a ( n thừa số)

Ta gọi a là cơ số, m là mũ số Và chú ý 0

0 và 0n

khơng cĩ nghĩa

Cơng thức hay dùng :

n thừa số

n  n 1

n a a

  ; a b

 



    

 ( )a m n a mn (a n m)  a a m n a m n 

m

m n n

a a a





 a b n n (ab)n 

n n

n

 

    

1 2

* 1

n

a a

Với a b,  ; n *, ta cĩ:

 2n 2n

a a a  2n 1 2n 1

a a a

,

     

 2n ab     2n a 2n b, ab 0 

2 2 2

n n n

ab b



2 1

n n

n

a b



 n a m  n a m, a 0, n

nguyên dương, m nguyên

 n m n m

a   a

 n m a nm a, a 0, n , m

nguyên dương

 Nếu p q

n  m thì

n p m q

a  a  a m n

nguyên dương ,p q nguyên

+ Một số tính chất của lũy thừa

 Nếu a1 thì a a   ;

Nếu 0 a 1 thì a a   

 Với mọi 0 a b, ta cĩ: m m 0

a b  m

 Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc khơng nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ khơng nguyên thì cơ số a phải dương

Trang 3

 Phương trình x n b

 Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất

 Trường hợp n chẵn:

+ Với b0, phương trình vô nghiệm

+ Với b0, phương trình có một nghiệm x0.

+ Với b0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n

b, còn giá trị âm là n

b



2 HÀM SỐ LŨY THỪA

a) Dạng: y x

y u





 với u f x  là đa thức đại số

 Tập xác định:

0

ÑK

u





 

 

 

ÑK u

 Đạo hàm:

1 1

 







b) Dạng:

x

u

y a



 với

0 1

a a





 



 Tập xác định: D

ln

y a y a a u



Đặc biệt: ( )

e e

e e u

 

  với e 2,71828

 Sự biến thiên: x

ya Nếu a1 thì hàm đồng biến trên Nếu 0 a 1 thì hàm nghịch biến trên

Trang 4

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 37 c) Khảo sát hàm số lũy thừa

 Tập xác định của hàm số lũy thừa yx luôn chứa khoảng 0; với mọi  Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số yx trên khoảng này

1 Tập xác định: 0;

2 Sự biến thiên

1

y  x   x

Giới hạn đặc biệt:

0

x x

x x

Tiệm cận:

Không có

3 Bảng biến thiên

x 0 

y 

y 

0

1 Tập xác định: 0;

2 Sự biến thiên: y'.x1 0  x 0

0

x x

x x

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang

Oy là tiệm cận đứng

x 0 

y 

y 

0

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số lũy thừa yx luôn đi qua điểm I 1;1

Trang 5

 Khảo sát hàm số mũ ya x, a0,a1

 

x

1 Tập xác định:

2 Sự biến thiên

y a a x

    

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

3 Bảng biến thiên

x  0 1 

'

y   

y

a 

1

0

Đồ thị như hình sau

1 Tập xác định:

2 Sự biến thiên

y a a x

    

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

x  0 1 

'

y   

y



1 0

Đồ thị như hình sau

So sánh các cơ số dựa vào đồ thị

 Ta thấy: a x   0 a 1; b x  0 b 1

 Ta thấy: c x c 1;d x d 1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng x

a trước nên ab

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên

từ trái sang phải, trúng x

c trước nên cd.

 Vậy 0    b a 1 d c.

a

Trang 6

LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 CÔNG THỨC

Cho hai số dương a b, với a1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b và được kí hiệu là loga b Ta có:  loga ba b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức loarrit thường gặp:

Cho các số a b ,  0, a  1 và m n ,  Ta có:

 loga b  a b  lgblogblog10b  lnbloge b

a a n

 loga m b 1 loga b

m

n

a a

n

m



 log ( )a bc loga bloga c  loga b loga b loga c

c

   

 

log log log

a

b







 loga b.logb cloga c,

log

log log

a

b a

c

b  , b1  log 1

log

a

b

a

 , b1

 lgb  10 b  ln b  e b  0  a 1 loga bloga c  0 b c

 loga 1 log1 loga

a

e

 

c a

 log n 1log

n

  nln10n log10n lne n  logn a xloga xn; lgxlogxlog10 x

2 HÀM SỐ LOGARIT

a) Hàm số yloga x, trong đó 0 a 1

* Tập xác định : D(0;) * Tập giá trị: T

 Giới hạn:

0

ln(1 )

x

x x





log '

ln

a x

x a



* Tính đơn điệu: Hàm đồng biến khi a1 và nghịch biến khi 0 a 1

Tiệm cận đứng: Oy

Trang 7

b) Hàm số ylogg x  f x 

Điều kiện – TXĐ: Hàm số xác định khi    

 

0

g x g x

f x







Đạo hàm: log     '  '   

.ln

g x

f x

f x g x

log '

ln

a

u u

u a



Đặc biệt:   '   1

lnu ' u lnx '

n e

n

c) So sánh các hệ số

 Ta thấy: loga x  0 a 1; logb x  0 b 1

 Ta thấy: logc x c 1; logd x d 1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: ba.

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c.

Vậy 0    a b 1 c d

Trang 8

3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

a) Phương trình mũ

Dạng 1: cơ bản: a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

Dạng 2: logarit hóa:

( ) ( ) ( )

( ) log

( ) ( ).log

f x

a

f x g x

a

a b a

a b f x g x b

Dạng 3: m a 2 ( )f x n a f x( ) p 0

• Đặt ( )

0

f x

ta 

• PT: 2

0

mt   nt p

Dạng 4: m a g x( )n b g x( )p c g x( ) 0 Nhận dạng:ma2 ( )f x n a b( )f x( )p b 2 ( )f x 0

• Chia hai vế PT cho 2 ( )

0

f x

b  , ta được

2 ( ) ( )

0

Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào trong ba hàm  ( ) ( ) ( )

g x g x g x

a b c , kết quả không thay đổi

Dạng 5: m a.(  b)f x( )n a(  b)f x( ) p Nhận dạng: (a b a)(  b)a2 b 1

t

9x  x 3 3x 2x  2 0 Đặt 2

3x

t 

Dạng 7: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f x g x rồi chỉ ra: f x  đơn điệu còn g x  là hàm hằng hoặc f x  đồng biến còn g x  nghịch biến mà f x 0 g x 0 x0 là nghiệm duy nhất

+ Nếu f x  đơn điệu và f U  f V  U V

0

B





 

0

A

A B

B







Dạng 9: Phương pháp đối lập:

   

f x g x mà ( )

( )

f x M

g x M





( ) ( )

f x M

g x M





2

0

n

mt p mt pt n t

b) Phương trình logarit

log ( ) log g( )

( ) ( )

g x

f x g x







Dạng 2: Mũ hóa: loga f x( ) b f x( )a b (không cần điều kiện)

Trang 9

Dạng 3: mloga2 f x( )nloga f x( ) p 0

• Đặt t loga f x( )

• PT: 2

0

mt   nt p

Dạng 4: m.loga f x( )n.logf x( )a p 0

• ĐK: f x( )0, f x( )1

• Đặt t loga f x( ) 1 logf x( )a

t

n

mt p mt pt n

t

Dạng 5: Phương trình đơn giản chứa log ( )

log ( )

a

b

f x

g x

• Đặt tloga f x( ) f x( )a t

• Thay trở lại phương trình, ta có một phương trình mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn)

Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu:

Nhẩm nghiệm pt f x g x rồi chỉ ra: f x  đơn điệu còn g x  là hàm hằng hoặc f x  đồng biến còn

 

g x nghịch biến mà f x 0 g x 0 x0 là nghiệm duy nhất

+ Nếu f x  đơn điệu và f U  f V  U V

0

B





 

0

A

A B

B







Dạng 8: Phương pháp đối lập: f x g x mà ( )

( )

f x M

g x M





( ) ( )

f x M

g x M





4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

a) Bất phương trình mũ: Việc biến đổi để giải bất phương trình mũ cũng gần giống như giải phương trình

mũ Các em chỉ cần chú ý công thức sau:

+

1

a



a

 

+ Công thức tổng quát:    

     

0

a f x g x







+ a f x b * nếu 0 1

0

a b

 



 

 thì  * luôn đúng

Trang 10

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 43 b) Bất phương trình Logarit

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình đưa về bất phương trình cơ bản

Chú ý:

1

a



a

 

Tổng quát:

1

a

 











 

0

a

f x

g x

 







5 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là

tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận

được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: S n  A nArA1nr

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là

100

r

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

sau

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận

được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: S n A1rn

Trang 11

1 n

n

S  A r

 

  1

1

log

n n

n r

S r

A

S A

r

S n

A









3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số

tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n

   

1

n r

n n

S r n

A r A

r

S r A





 



4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính

lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

     

 

n

5 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng một tháng kể từ ngày

vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi hoàn nợ số tiền là X đồng và trả hết tiền nợ sau đúng n tháng

Công thức tính: Cách tính số tiền còn lại sau n tháng giống hoàn toàn công thức tính gửi ngân hàng và rút

tiền hàng tháng nên ta có: 1  1  1

n n

n

r

S A r X

r

Trang 12

Để sau đúng n tháng trả hết nợ thì S n 0 nên

n

A r X

r

 

n

A r r X

r





 

6 Bài toán tăng lương: Một người được lãnh lương khởi điểm là A đồng/tháng Cứ sau n tháng thì lương

người đó được tăng thêm r%/tháng Hỏi sau kn tháng người đó lĩnh được bao nhiêu tiền?

Công thức tính: Tổng số tiền nhận được sau kn tháng là 1 k 1

kn

r

S Ak

r



7 Bài toán tăng trưởng dân số:

Công thức tính tăng trưởng dân số X m X n1rm n ,m n,  ,mn

Trong đó: r % là tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m

m

X dân số năm m , X n dân số năm n

Từ đó ta có công thức tính tỉ lệ tăng dân số là % m 1

m n n

X r

X



8 Lãi kép liên tục:

Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/năm thì số tiền nhận được cả vốn lẫn lãi sau n năm  *

n

là: S n A1rn Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì hạn để tính lãi và lãi suất mỗi kì hạn là r %

m thì

số tiền thu được sau n năm là:

. 1

m n

n

r

S A

m

   

Khi tăng số kì hạn của mỗi năm lên vô cực, tức là m  , gọi là hình thức lãi kép tiên tục thì người ta chứng minh được số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi là: S Ae n r. ( công thức tăng trưởng mũ)

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	0,91 MB