Bài 2-Công thức Mũ- Loga-Bản đẹp

Bài 2-Công thức Mũ- Loga-Bản dọc

Trang 1

TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 34

LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122

MŨ VÀ LOGARIT

1 CƠNG THỨC

Cho n là một số nguyên dương Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a

n

a a a a(n thừa số)

Ta gọi a là cơ số, m là mũ số Và chú ý 0

0 và 0n

khơng cĩ nghĩa

Cơng thức hay dùng :

 a0  1  n .

n thừa số

a a a a với n *  n 1

n

a a



    

   

   

 ( )a m n a mn (a n m)  a a m. n a m n 

m

m n n

a a a





 a b n n (ab)n 

n n

n

 

  

1 2

* 1

n

 

Với a b,  ; n *, ta cĩ:

 2n 2n

,

     

 2n ab     2n a 2n b, ab 0 

2 2 2

n n n



2 1

n n

n



   

 n m  n m, 0

nguyên dương, m nguyên

 n m n m

a  a

 n m a nm a, a 0, n,m

nguyên dương

 Nếu p q

n  m thì , 0, ,

n p m q

nguyên dương ,p q nguyên

+ Một số tính chất của lũy thừa

 Nếu a1 thì a a   ;

Nếu 0 a 1 thì a a   

 Với mọi 0 a b, ta cĩ: m m 0

a b  m

 Chú ý:

+ Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc khơng nguyên

+ Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0

+ Khi xét lũy thừa với số mũ khơng nguyên thì cơ số a phải dương

Trang 2

TUYỂN TẬP CÔNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 35

LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122

 Phương trình x n b

 Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất

 Trường hợp n chẵn:

+ Với b0, phương trình vô nghiệm

+ Với b0, phương trình có một nghiệm x0.

+ Với b0, phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương là n

b , còn giá trị âm là n

b



2 HÀM SỐ LŨY THỪA

a) Dạng: y x



 





 với u  f x   là đa thức đại số

 Tập xác định:

u

0

DK

u





 

 

 

DK

u

 Đạo hàm:

1







   



  



b) Dạng:

x u

 





 với

0 1

a a





 



 Tập xác định: D

ln



   



  

Đặc biệt: ( )



 



 

 với e 2,71828

 Sự biến thiên: x

ya Nếu a1 thì hàm đồng biến trên Nếu 0 a 1 thì hàm nghịch biến trên

c) Khảo sát hàm số lũy thừa

 Tập xác định của hàm số lũy thừa y x  luôn chứa khoảng 0; với mọi  Trong trường hợp

tổng quát, ta khảo sát hàm số yx trên khoảng này

Trang 3

, 0

1 Tập xác định: 0;

2 Sự biến thiên

1

Giới hạn đặc biệt:

0

x x

Tiệm cận:

Không có

3 Bảng biến thiên

x 0 

y 

y 

0

1 Tập xác định: 0;

2 Sự biến thiên: y'.x10  x 0

0

x x

Tiệm cận:

Ox là tiệm cận ngang

Oy là tiệm cận đứng

x 0 

y 

0

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số lũy thừa y x  luôn đi qua điểm I 1;1

 Khảo sát hàm số mũ ya x, a0,a1

x

ya a

1 Tập xác định:

2 Sự biến thiên

' xln 0,

1 Tập xác định:

2 Sự biến thiên

' xln 0,

Trang 4

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

3 Bảng biến thiên

x  0 1 

'

y   

y

a 

1

0

Đồ thị như hình sau

lim x , lim x 0

    

Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang

x  0 1 

'

y   

y



1 0

Đồ thị như hình sau

So sánh các cơ số dựa vào đồ thị

 Ta thấy: a x  0 a 1; b x  0 b 1

 Ta thấy: c x  c 1;d x d 1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng x

a trước nên ab

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng x

c trước nên cd.

Vậy 0    b a 1 d c

a

Trang 5

LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT

1 CÔNG THỨC

Cho hai số dương a b, với a1 Số  thỏa mãn đẳng thức a b được gọi là logarit cơ số a của b và được kí hiệu là loga b Ta có: loga ba b

Không có logarit của số âm và số 0

Bảng tóm tắt công thức loarrit thường gặp:

Cho các số a b ,  0, a  1 và m n ,  Ta có:

 loga b  a b  lgblogblog10b  lnbloge b

 log 1 0a   loga a1  log n

a a n

 loga m b 1 loga b

m

n

a a

n

m



 log ( )a bc loga bloga c  loga b loga b loga c

c

 

log

a

b







 loga b.logb cloga c,

log

log log

a

b a

c

log

a

b

a

 , b1

 lgb  10 b  ln b  e b  0  a 1 loga bloga c  0 b c

 loga 1 log1 loga

a

ln log

e

 

c a

 log n 1log

n

  nln10n log10n lne n  logn a xloga xn; lgxlogxlog10 x

loga x n 2 logn a x  loga2n x2 logn a x  a 1 loga bloga c  b c 0

2 HÀM SỐ LOGARIT

a) Hàm số yloga x, trong đó 0 a 1

* Tập xác định : D(0;) * Tập giá trị: T

 Giới hạn:

0

ln(1 )

x

x x



 

log '

ln

a x



* Tính đơn điệu: Hàm đồng biến khi a1 và nghịch biến khi 0 a 1

Tiệm cận đứng: Oy

Trang 6

b) Hàm số ylogg x  f x 

Điều kiện – TXĐ: Hàm số xác định khi    

 

0

f x







Đạo hàm: log     '  '   

.ln

g x

f x

log '

ln

a

u u



Đặc biệt:   '   1

lnu ' u lnx '

   và lim 1 1 2, 718281

n

e

n

 

    

  c) So sánh các hệ số

 Ta thấy: loga x  0 a 1; logb x  0 b 1

 Ta thấy: logc x c 1; logd x d 1.

 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: ba.

 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d c.

Vậy 0    a b 1 c d

Trang 7

3 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

a) Phương trình mũ

Dạng 1: cơ bản: a f x( ) a g x( )  f x( )g x( )

Dạng 2: logarit hóa:

( )

( ) log

( , 0, 1) ( ) ( ).log

f x

a

f x g x

a

Dạng 3: m a 2 ( )f x n a f x( ) p 0

• Đặt ta f x( )  0

• PT: 2

0

mt   nt p

Dạng 4: m a g x( )n b g x( )p c g x( ) 0 Nhận dạng:ma2 ( )f x n a b( )f x( )p b 2 ( )f x 0

• Chia hai vế PT cho 2 ( )

0

f x

b  , ta được

0

      

   

Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào trong ba hàm  ( ) ( ) ( )

g x g x g x

a b c , kết quả không thay đổi

Dạng 5: m a.(  b)f x( )n a(  b)f x( ) p Nhận dạng: (a b a)(  b)a2 b 1

t

Dạng 6: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn: 2  2  2 2

9x  x 3 3x 2x  2 0 Đặt 2

3x

t

          

Dạng 7: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f x g x rồi chỉ ra: f x  đơn điệu còn g x  là hàm hằng hoặc f x  đồng biến còn g x  nghịch biến mà f x 0 g x 0 x0 là nghiệm duy nhất

+ Nếu f x  đơn điệu và f U  f V  U V

0

B





 

 ;

0

A

B





    



Dạng 9: Phương pháp đối lập:

f x g x mà ( )

( )





( ) ( )





2

0

n

t

     

b) Phương trình mũ chứa tham số

Dạng 1:Tìm điều kiện để phương trình a.u2xb.ux c 0(1) có n nghiệm thực phân biệt

Đặt tu t x, 0 Khi đó phương trình có dạng:   2

0 (2)

f t at   bt c Tùy vào số nghiệm của phương trình (1) mà ta biện luận để tìm giá trị mD1 Cụ thể:

Trang 8

Cách 1:

TH1: Để (1) có 2 nghiệm phân biệt

(2)

 có 2 nghiệm t1, t dương 2 1 2 1

0

P

 





     

 



(2) có nghiệm t1, t thỏa: 2 1 2 1

0

c

a



 









(2) có 2n trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 1

0 0 0

ac

S







   





2

0

c t

b

a



 



  

      



(2)

0 0 0

0

P



 





    

 



Bước 2 Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t1, t (3) 2

Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m Giải chúng ta sẽ tìm được mD2

Kết luận: mD1D2

Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.u2xb.ux c 0(1) có hai nghiệm thực phân biệt x x thõa 1, 2

x   k l x hay t1u k  u l t2

Đặt x, 0

tu t Khi đó phương trình có dạng: 2

0 (2)

at   bt c

x   k l x u u u u Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2thỏa mãn

0

0 0

 







 

k l

a f u



 





Chú ý : nếu (1) có nghiệm đẹp thì ta giải phương trình và thõa o điều kiện t1u k u l t2(**)

Trang 9

nếu hai cách trên phức tạp thì ta xét hàm số f t( )mt2 nt p t, 0 Có f t ( ) 2mt n 0 và dùng phương pháp lập bảng biến thiên ( hoặc dùng phương pháp cô lập tham số)

x  k x l

Đặt tu t x, 0 Khi đó phương trình có dạng: 2

0 (2)

at   bt c

x  k x  l u u u u hay x1 k x2 l

u u u u Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2thỏa mãn

0

0 0

 







 

k l

a f u



 





kx  l x

0 (2)

at   bt c

k  x l x u u u u Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2thỏa mãn

' 0

0 0

 







 

l k

a f u



 





Dạng 5:Tìm điều kiện để phương trình u2x ux 0(1)

a b  c có hai nghiệm thực phân biệt x x thõa 1, 2

kx x l hay

0 (2)

at   bt c

x x

k x x  l u u u u Khi đó (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2thỏa mãn :

0

0 0

 





 

0

2

k l

t t

a f u

 





 







Dạng 6: Tìm điều kiện để phương trình 2    

f x f x

ma n  p có hai nghiệm thực phân biệt

Đặt f x 

ta suy ra điều kiện P t  của t

Khi đó phương trình có dạng: mt2  nt p 0 (*) thõa mãn P t 

Trang 10

c) Phương trình logarit

log ( ) log g( )

( ) ( )

g x







Dạng 2: Mũ hóa: loga f x( ) b f x( )a b (không cần điều kiện)

Dạng 3: mloga2 f x( )nloga f x( ) p 0

• Đặt t loga f x( )

• PT: 2

0

mt   nt p

Dạng 4: m.loga f x( )n.logf x( )a p 0

• ĐK: f x( )  0, f x( )  1

• Đặt t loga f x( ) 1 logf x( )a

t

n

t

      

Dạng 5: Phương trình đơn giản chứa log ( )

log ( )

a b

f x

g x

• Đặt tloga f x( ) f x( )a t

• Thay trở lại phương trình, ta có một phương trình mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn)

Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu:

Nhẩm nghiệm pt f x g x rồi chỉ ra: f x  đơn điệu còn g x  là hàm hằng hoặc f x  đồng biến còn

 

g x nghịch biến mà f x 0 g x 0 x0 là nghiệm duy nhất

+ Nếu f x  đơn điệu và f U  f V  U V

0

B





 

 ;

0

A

B





    



Dạng 8: Phương pháp đối lập: f x g x mà ( )

( )





( ) ( )





d) Phương trình logarit chứa tham số

Dạng 1 Tìm điều kiện của tham số để phương trình lôgarit có nghiệm, có nghiệm duy nhất, có hai

nghiệm,…,có n nghiệm

Ta thường sử dụng một số phép biến đổi sau để biến đổi phương trình chứa ẩn trong lôgarit đưa về phương trình bậc hai

Trang 11

Cách 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số: log   log   0   1  

0

a

 





Cách 2: Đặt ẩn phụ: log   0 0 1   log  

0

a a

f t







Cách 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên  a b; thì số nghiệm của phương trình

 

f x k trên  a b; không nhiều hơn một và f u  f v  u v, u v,  a b;

Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình lôgarít có nghiệm, có hai nghiệm, , có n nghiệm thuộc  a b; , a b; 

Phương pháp đưa về cùng cơ số



 , với 0 a 1

Số nghiệm phân biệt của phương trình f x   g x là số giao điểm của đồ thì f x  và g x (kiến thức lớp 12), hoặc có thể biện luận số nghiệm của phương trình (kiến thức lớp 10)

Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Tìm điều kiện của phương trình

+ Đặt th x , (h x  là biểu thức chứa lôgarít)

+ Dựa vào điều kiện của x tìm chính xác điều kiện của t

+ Đưa về phương trình ẩn t sau đó sử dụng phương pháp đồ thị hoặc biện luận số nghiệm của phương trình

để giải quyết bài toán

Dạng 8: Tìm điều kiện tham số để phương trình logarit có nghiệm, hai nghiệm, , có n nghiệm thỏa

mãn điều kiện dạng: a  x1 b x2, x1  a b x2, x1 a x2b

Phương pháp: Cho phương trình logarit f loga x m, 0  1 Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn

điều kiện cho trước

Bước 1: Tìm điều kiện cho phương trình có nghĩa

Bước 2: Đặt ẩn phụ tloga x , đưa phương trình logarit về phương trình ẩn t

Bước 3: Đặt điều kiện cho t nếu có

Bước 4: Đưa bài toán về ban đầu về bài toán ẩn t Biểu diễn điều kiện của x thành điều kiện theo t

Trang 12

Bước 5: Cô lập tham số m đưa bài toán về dạng g t h m  Xét tương giao của hai hàm số thỏa mãn điều

kiện t vừa tìm được từ đó suy ra những giá trị m cần tìm

Lưu ý: Ngoài ra nếu phương trình ẩn t là một phương trình bậc hai thì ta có thể sử dụng viet để giải

4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT

a) Bất phương trình mũ: Việc biến đổi để giải bất phương trình mũ cũng gần giống như giải phương trình

mũ Các em chỉ cần chú ý công thức sau:

+

1 ( ) ( )

( ) ( )

a



0 1 ( ) ( )

( ) ( )

a

 

+ Công thức tổng quát:    

0

f x g x a





      



+ a f x  b * nếu 0 1

0

a b

 



 

 thì  * luôn đúng

b) Bất phương trình Logarit

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Giải bất phương trình đưa về bất phương trình cơ bản

Chú ý:

1 log ( ) log ( ) ( ) ( ) 0

a



0 1 log ( ) log ( ) 0 ( ) ( )

a

 

Tổng quát:

1 ( ) ( ) 0 log ( ) log ( )

0 ( ) ( )

a

f x g x

a

f x g x











 

0 log ( ) log ( )

0

a

f x

f x g x

g x

a f x g x

 







5 BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG

1 Lãi đơn: là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là

tiền lãi của kì hạn trước không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi không đến gửi tiền ra

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận

Trang 13

được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: S n A nArA1nr

Chú ý: trong tính toán các bài toán lãi suất và các bài toán liên quan, ta nhớ r% là

100

r

2 Lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn

sau

Công thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n * ) là: S n  A1rn

1 n

n

S  A r

  1

1

log

n n

n r

S r

A

S A

r

S n

A









3 Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi đúng cùng một số tiền vào 1 thời gian cố định

Công thức tính: Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng ( n * ) ( nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S n

1

n r n

n

n n

S r n

A

r

S r A



    



      



 

     



4 Gửi ngân hàng và rút tiền gửi hàng tháng:

Công thức tính: Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r%/tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính

lãi, rút ra số tiền là X đồng Tính số tiền còn lại sau n tháng là bao nhiêu?

n

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	901,2 KB