TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC MŨ LOGA TOÁN ÔN THI ĐẠI HỌC
Trang 1CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT 1) Công thức mũ và lũy thừa
*
N
=
(
=
=
α
thừa số ) 0
=
) (n N*
−
=
n n
a a
) ,
(m Z n N*
n
m
∈
∈
=
m
=
⇔
=
=
=
α
Tính chất: Khi các lũy thừa và căn đã xác định
1 a a m n ====a m n++++ 6
=
½
n n a khi n lÎ a
a khi n ch n 11
n n n
2 (a.b) n ====a b n n 7 n ab= n a.n b 12 n mn m
3
m
m n n
a
a a
−−−−
n p n
a =a ( khi a>0)
4
n n
n
( )
m n
m n m n
a
a a
−
a
− =
5 (a ) m n ====(a ) n m ====a m.n 10 n k a =nk a 15 m n mn
2) Công thức logarit
* Chú ý: ĐK để lôgarit có nghĩa là: Cơ số lớn hơn 0 và khác 1
Biểu thức dưới dấu lôgarit phải lớn hơn 0
1 log 1a =0, loga a=1
6 log ( ) log ( )
x
y y
x
a
a =−
2 loga a m =m 7 loga xα =αloga x, loga x2 =2loga x
3 aloga b =b
8 loga x 1loga x
α
β
α
α
4 loga(x.y)=loga x+loga y 9 lgb=logb=log10b ( logarit thập phân)
5 x y
y
x
a a
a( ) log log
log = − , y
a(1) log log =− 10 lnb=loge b, ( e = 2,718… )
( logarit tự nhiên hay loga Nêpe)
Công thức đổi cơ số
a
b b
c
c a
log
log log = hay logc a.loga b=logc b
a
b
b a
log
1 log = hay loga b.logb a=1
a
b b
a
ln
ln log =
a
b b
a
lg lg log = a log b c = c log b a
Trang 23) Đạo hàm của hàm mũ và logarit
Đạ o hàm của hàm số sơ cấp Đạ o hàm của hàm số hợp Công thức đạo hàm cơ bản
x x
e
e )'=
(
a a
( =
x
(ln =
a a
a
ln
1 )'
(log =
) 0 , 0 (
)'
(xα =α xα −1 α ≠ x>
n n n
x n
x
1
1 )'
(
−
=
u u
e u
( =
a a u
( =
u
u
(ln =
a u
u u
a
ln
' )' (log =
' )' (uα =αuα−1u
n n n
u n
u u
1
' )'
(
−
=
2
−
=
'
2
1 1
= −
2
1 v
= −
2
x
x
= , ( )' '
2
u u
u
=
4) Các dạng cơ bản của PT và Bất PT mũ, logarith
a) 0<a≠1 a f(x) =a g(x) ⇔ f(x)= g(x)
=
>
>
⇔
=
) ( ) (
) 0 ) ( ( 0
) ( )
( log ) ( log
x g x f
x g hay x
f x
g x
a
b) a>1 a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x)
loga f(x)>loga g(x) ⇔ f(x)>g(x)>0
c) 0<a<1 a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)< g(x)
loga f(x)>loga g(x) ⇔ 0< f(x)< g(x)
* So sánh:
+) a > 1 : aα >aβ ⇔α >β
+) 0 < a < 1 : aα >aβ ⇔α <β
+) Với 0< <a b , m∈Z thì : a m <b m⇔ >m 0
a m>b m⇔ <m 0
+) Với a<b , n∈N lẻ thì: a n <b n
+) Với a b, >0, n∈ℤ thì: * n n
5) Hàm số mũ, hàm số logarit
Hàm số mũ: x
y=a (a>0), đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1
Áp dụng khi so sánh: +) a > 1: x1 >x2 thì x1 x2
+) 0 < a < 1: x1 >x2thì x1 x2
a <a
Hàm số logarit: y=loga x ( 0< ≠a 1,x>0 ), đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1
Áp dụng khi so sánh: +) a > 1: x1 >x2 thì loga x1>loga x1
+) 0 < a < 1: x1 >x2thì loga x1<loga x1
6) Công thức lãi kép
Gửi A đồng, lãi xuất r/1 kì hạn Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? T =A(1+r)n
Gửi A đồng, kì hạn m tháng với lãi xuất r/1 tháng Sau n kì hạn thu được bao nhiêu đồng? T =A(1+m r )n
Vay A đồng, lãi xuất r/ 1 tháng Từ tháng thứ 2 trả đều đặn vào cuối mỗi tháng m đồng Sau n tháng hết
nợ Hỏi mỗi tháng trả bao nhiêu tiền? ( )
1
1 1
n
n
m
r
+
= + −
+) a>1 : loga b>loga c⇔ >b c
loga b> ⇔ >0 b 1
+) 0< <a 1 : loga b>loga c⇔ <b c
loga b> ⇔ <0 b 1
+) loga b=loga c⇔ =b c
Trang 3Gửi A đồng, lãi xuất r/ 1 kì hạn Sau bao nhiêu kì hạn(N) thì có B đồng? log log
log(1 )
N
r
−
=
+
Mỗi tháng gửi đều đặn A đồng vào đầu tháng, với lãi xuất r/ 1 tháng ( lãi kép) Số tiền thu được sau n
tháng (1 ) ( )
1 n 1
r