CÁC KH I A DI N U
{p;q}
S
đ nh
=mp/q
S
c nh
=mp/2
S mp
đ i
x ng
Th p nh (12) m t đ u {5;3} 20 30 15
Nh th p (20) m t đ u {3;5} 12 30 15
Bán kính đ ng tròn ngo i ti p:
Di n tích:
Tam giác vuông cân c nh bên b ng
a
C nh huy n:
Bán kính đ ng tròn ngo i ti p:
Di n tích:
Bán kính đ ng tròn ngo i ti p:
ng cao ng v i
c nh huy n: /
Di n tích:
Tam giác cân có đ nh ng cao = ½ c nh
bên
C nh đáy = c nh bên
Di n tích:
Hình vuông c nh a
Di n tích:
áy là hình ch nh t × Di n tích: ab
Bán kính đ ng tròn ngo i ti p:
+
Hình thoi có góc Hình ghép c a hai
tam giác đ u
Hình ghép c a hai tam giác cân 120
Di n tích b ng ½ tích hai đ ng chéo =
Hình thang vuông đ c bi t Ghép b i 1 hình
vuông và 1 tam giác vuông cân
Ghép b i 2 tam giác vuông cân
N a l c giác đ u Là 3 tam giác đ u
ghép l i
Di n tích:
ng chéo vuông góc v i c nh bên
ng chéo ng n:
+
ng chéo dài
=
= , v.v
Tam giác th ng
: bán kính đ ng tròng n i ti p
đ: Bán kính đ ng tròn ngo i ti p
Di n tích: =
đ=
CÁC TR NG H P HÌNH CHÓP TH NG G P
C nh bên vuông đáy
ng cao là c nh bên đó
Hai m t cùng vuông v i đáy
ng cao là giao tuy n c a hai m t đó
M t bên vuông v i đáy
ng cao là đ ng cao h
t đ nh S c a tam giác m t bên đó
Các c nh bên b ng nhau (c nh bên cùng t o v i đáy góc b ng nhau)
Chân đ ng cao trùng v i tâm đ ng tròn ngo i ti p đáy
Trang 2GÓC C B N VÀ KHO NG CÁCH C B N
Góc gi a c nh bên và đáy Góc gi a m t bên và đáy
K t chân đ ng cao t i giao
đi m c a c nh bên v i đáy
N i v i S
K t chân đ ng cao t i giao tuy n c a m t bên v i đáy N i v i S
Kho ng cách t chân đ ng
cao đ n m t xiên Kho ng cách t đáy đ n m t th ng đ ng đi m thu c
K vuông hai nhát:
- K HI vuông v i giao tuy n
- K HK vuông góc v i SI
T đi m đó k vuông góc
v i giao tuy n c a m t đó
v i đáy
KH I L NG TR
Tách kh i chóp ra kh i l ng tr
Làm vi c v i l ng tr ch c n làm vi c v i hình chóp
TH TÍCH KH I CHÓP VÀ L NG TR
Th tích kh i chóp
= / đ
Th tích l ng tr
= đ
T S TH TÍCH Chóp tam giác
Chóp hình bình hành
Có: + = +
D ch chuy n đinh song song
=
D ch đ nh không song song
D ch chuy n đáy: Khi th y đáy n m trong m t m t ph ng có th
m r ng
=
KH I NÓN VÀ KH I TR
-
-
-
-
×
-
×
-
-
KH I C U
M t ph ng c t (S) theo đtr (H;r)
BA CÔNG TH C BÁN KÍNH M T C U NGO I TI P Chóp ho c l ng tr có c nh
bên vuông góc v i đáy
ngo i ti
Chóp ho c l ng tr có m t bên vuông v i đáy : là bán kính đ ng tròn ngo i ti p m t bên
: Là giao tuy n c a m t bên và đáy
Chóp có c nh bên b ng nhau (nón)
C nh bên bình chia hai l n
Trang 3T A VECTOR VÀ I M TRONG KHÔNG GIAN
- 3 vector đ n v : , , đ dài 1 và đôi m t vuông góc
- Tr c Oz: tr c cao
- T a đ vector:
= ( ; ; )
= + +
- T a đ c a đi m chính
là t a đ Cho ( ; ; ) T a đ hình chi u vuông góc c a lên:
: là ( ; ; ) : là ( ; ; ) : là ( ; ; )
( ): là ( ; ; ) ( ): là ( ; ; ) ( ): là ( ; ; )
)
=
=
=
=
=
=
=
( ; ; ) là trung đi m c a
+
TÍCH CÓ H NG C A HAI VECTOR - NG D NG
nh ngh a
, = 1 vec t có:
+ H ng vuông góc v i c và
+ l n:
+ l n b ng đ l n di n tích
hình bình hành hai c nh là hai
vector và
Công th c t a đ
ng d ng tích có h ng c a hai vector
i u ki n , , đ ng ph ng: , =
Di n tích tam giác : = ,
Kho ng cách t đ n đ ng ph ng (AB):
Kho ng cách t đ n m t ph ng ( ):
,
Kho ng cách hai đ ng chéo nhau , :
,
Vector pháp tuy n Ch n 1 vector pháp tuy n
- N u bi t :
Ch n =
- N u bi t và :
M t ph ng (P) xác đ nh b i c p ( , ) (ký hi u ( )~( , )) ngh a là
= ( ; ; )
Ph ng trình:
Ng c l i, m t ph ng có d ng
Thì có m t vector pháp tuy n là = ( ; ; ) và thay , b i
hai s b t k r i gi i ra ta đ c đi m ( )
Ph ng trình m t ch n:
( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )
Vector ch ph ng Ch n 1 vector pháp tuy n
- N u bi t :
Ch n =
- N u bi t và :
ng th ng (d) xác đ nh b i c p ( , ) (ký hi u
( )~( , )) ngh a là:
= ( ; ; )
Ph ng trình tham s :
Ph ng trình chính t c khi :
V TRÍ T NG I Cho các đ ng ~( , ), ~( , ), ~( , ) Cho các m t ph ng
( )
( )
( )
( )
( )
ng ho c m t c t
th a mãn (*)
- Tham s đi m c t ( )
- T (*) gi i PT n KHO NG CÁCH VÀ GÓC
, ( )
| | | |
| | | |
| |
| | | |
Trang 4M T C U
M t c u (S) tâm ( ; ; ), bán kính :
Ng c l i, m t c u (S) có ph ng trình:
V i đi u ki n + + > thì có:
tâm ( ; ; ) và bán kính = + +
M t c u (S) ti p xúc mp(P) M t c u (S) c t mp(P)
- Ti p đi m là hình chi u
c a lên (P)
- K: , ( ) <
- Thi t di n là đ ng tròn tâm là hình chi u c a lên (P) và bán kính =
Chú ý:
- T ng t đ i v i v trí c a m t c u và đ ng th ng Ch
khác tr ng h p đ ng c t m t c u s là m t dây cung
- V trí t ng đ i c a hai m t c u t ng t v trí t ng đ i
c a hai đ ng tròn THCS Ch khác khi c t nhau thì thi t
di n là đ ng tròn
CÁC CÔNG TH C TÍNH TH TÍCH TÚ DI N
Công th c tính góc nh di n
bi t 3 góc tam di n:
T S TH TÍCH L NG TR
t
t
.
.
PH NG PHÁP TR I PH NG TÌM QUÃNG NG MIN
Hình chóp giác đ u có các góc đ nh c a m t bên là
<
G i là trung đi m Tìm quãng đ ng ng n nh t đi
t đ n mà ph i đi qua 4
m t bên c a hình chóp
Gi i
Tr i ph ng 4 m t bên c a hình chóp Chú ý là b n sao
c a Quãng đ ng ng n nh t là trong Tính s d ng đ nh lý hàm s cos trong tam giác v i
= , hai c nh bên là và , v i là c nh bên hình
chóp
D CH CHUY N KHO NG CÁCH VÀ DÙNG TH TÍCH
, ( ) =
TÍNH GÓC NÂNG CAO
Dùng kho ng cách t đi m M b t k
( , )
Di n tích hình chi u Dich chuy n song song
Khi d ch chuy n đ ng hay m t song song thì góc không đ i
NGUYÊN T C T A HÓA HÌNH KHÔNG GIAN
Ch n và là hai
đ ng vuông góc đáy:
- S n có v i tam giác vuông, hình ch nh t, vuông, thoi
- K trung tuy n v i tam giác đ u
- Nh th m i d xác đ nh
t a đ các đi m đáy
Không c n k vì cao đ chính là chi u cao c a hình
- T a đ S suy ra t t a đ H