Đề thi khối D năm nay khá cơ bản, cần sự thận trọng trong tính toán với: + Câu 1b: là dạng quen thuộc, sử dụng định lý Viet và học sinh chỉ cần cẩn thận thì có thể dễ dàng tìm ra được gi[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn Toán; Khối: D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1
Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2 0
xy x
Câu 4 :(1,0 điểm) Tính tích phân
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC
vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường
thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng BD đi qua điểm M (
1 3
; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn
có bán kính bằng 4
Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
7 8 1
i
i i
Tìm môđun của số phức
w = z + 1 + i
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho
AB = CD = 2
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M
Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức
Trang 2Đề thi khối D năm nay khá cơ bản, cần sự thận trọng trong tính toán với:
+ Câu 1b: là dạng quen thuộc, sử dụng định lý Viet và học sinh chỉ cần cẩn thận thì có thể dễ dàng
tìm ra được giá trị của m
+ Câu 2 : Đây là phương trình lượng giác dạng cơ bản, đã gặp trong các kỳ thi trước
+ Câu 3 : Đây là câu phương trình khá hay, học sinh khéo léo biến đổi phương trình 2 về dạng
phương trình tích, sau đó thế vào phương trình 1
+ Câu 4: Đây là dạng toán tích phân cơ bản, học sinh trung bình khá có thể làm được câu này.
+ Câu 5: Câu hình học không gian là một trong những câu dễ, chỉ cần tính toán cẩn thận là có thể
giải quyết xong bài toán
+ Câu 6 : Đây là một trong những câu hay, tương đối khó, học sinh phải khéo léo chuyển sang
biến mới và xét điều kiện của biến và sau đó khảo sát biến mới trong miền giả thiết là có thể giải quyết xong bài toán Đây là câu phân loại học sinh trong đề thi này
BÀI GIẢI ĐỀ TOÁN KHỐI D NĂM 2012
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2
3x 3 – mx 2 – 2(3m 2 – 1)x +
2
3 (1), m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
Khi m= 1, ta có : y =
2
3x3 – x2 – 4x +
2
3
*Tập xác định : D = R
* Sự biến thiên :
- Chiều biến thiên : y, 2x2 2x 4 y, 0 x2 x 2 0 x = -1 hoặc x = 2
- Các khoảng đồng biến trên (∞; -1) và (2; +∞); khoảng nghịch biến trên (-1; 2)
- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x1,y CD 3; đạt cực tiểu tại x2,y CT 6
- Giới hạn : limx
y
và limx
y
- Bảng biến thiên :
x -1 2 +
y’ + 0 0 +
y 3 +
-6
- Đồ thị cắt trục Oy tại y =
2
3; y" = 4x – 2; y” = 0 x =
1
2 Điểm uốn I (
1
2;
3 2
)
*Đồ thị :
b) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x 1 và x 2 sao cho x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) = 1
y
x 0
3
-6
Trang 3Ta có y’ = 2x2 – 2mx – 2(3m2 – 1) Hàm số y có 2 cực trị khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
’ = m2 + 4(3m2 – 1) > 0 13m2 – 4 > 0 m <
2 13
hoặc m >
2 13 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của y’ = 0 với x1x2 + 2(x1 + x2) = 1
-(3m2 – 1) + 2m = 1 m(3m – 2) = 0 m = 0 (loại) hay m =
2
3 (nhận) Vậy giá trị m cần tìm là m =
2 3
Câu 2: (1,0 điểm) Giải phương trình sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x
Phương trình đã cho sin3x – sinx + cos3x + cosx = 2cos2x
2sinxcos2x + 2cos2xcosx = 2cos2x
cos2x ( 2sinx + 2cosx - 2) = 0
cos2x = 0 x = 4 k 2
(với k Z)
2sinx + 2cosx - 2 = 0
1 sin( )
4 2
x
x = 12 k2
hoặc x =
7 2
12 k
(với k Z)
Câu 3: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 3 2 2 2
2 0
xy x
Hệ phương trình đã cho 2
2 0
2 1 0
xy x
3
2
2 0 0
2
x y
Với 2
2 0
xy x
1 1
x y
Với
2 0
2 1
xy x
1 5 2 5
x y
1 5 2 5
x y
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm (x; y) :
(1;1); ( ; 5); ( ; 5)
Câu 4 :(1,0 điểm) Tính tích phân
/ 4
0
I x(1 sin 2x)dx
.
Đặt u = x du = dx; dv = (1 + sin2x)dx, chọn v = x –
1
2cos2x
I =
/ 4
0
1
( cos 2 )
2
/ 4
0
1 ( cos 2 ) 2
=
/ 4
0
Vậy I
2 1
32 4
Câu 5: (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Trang 4*Vì A’C = a :
Tam giác A’AC vuông cân tại A
=> A’A = 2
a
AC
= B’B Tam giác ABC vuông cân tại B
=> AB = 2 2 2
= B’C’
=> , ,
2
4 2
B BC
a
S
Thể tích khối tứ diện ABB’C’là
1
3 4 2 2 24 2
* Hạ AH vuông góc A’B
Vì (A’AB)( BCD’) => d(A,BCD/) = AH = h
Trong tam giác vuông A’AB ta có :
2
6 2
2
a h
h a a
Câu 6 (1,0 điểm) Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4) 2 + (y – 4) 2 + 2xy 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x 3 + y 3 + 3(xy – 1)(x + y – 2).
* (x 4)2(y 4)22xy32(x y )2 8(x y ) 0 0 x y8 (1)
(x y )2 0 (x y )2 4xy
2
3
2
(2)
A = x3y33(xy1)(x y 2)= (x y )3 6xy 3(x y ) 6
Từ (2) => A
2
* Đặt t = x + y với (0 t 8), xét f(t) =
3 3 2
3 6 2
t t t
f’(t) = 3t2 3t 3 f’(t) = 0
1 0
2
> 0 ( nhận); t =
1 5 2
< 0 ( loại);
Ta có : f(0) = 6, f(8) = 398, f(
1 5 2
) =
17 5 5 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(t) =
17 5 5 4
xảy ra khi t =
1 5 2
A f(t)
17 5 5
4
Dấu bằng xảy ra khi x = y và x + y =
1 5 2
Vậy giái trị nhỏ nhất của A =
17 5 5 4
xảy ra khi x = y =
1 5 4
II - PHẦN RIÊNG
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD Các đường thẳng AC và AD lần lượt có phương trình là x + 3y = 0 và x – y + 4 = 0; đường thẳng
BD đi qua điểm M (
1 3
; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
C
C/
A/
B/
D/
D
H
Trang 5I
k
P
O I N M
B A
Điểm A có các toạ độ là nghiệm của hệ
3 0
4 0
x y
=> A(-3; 1) Đường thẳng qua M và // AD cắt AD tại (N AC) MN : 3x – 3y + 4 = 0
=> N có toạ độ là nghiệm của hệ
3 0
1
3)
Gọi I là trung điểm của MN => I (
2 2
;
3 3
)
* (PQ) qua I và // AB có phương trình :
x y
(PQ): x + y = 0
* (PQ) giao với (AD) tại P có toạ độ :
0
4 0
x y
x y
=> P(-2; 2)
*(PQ) giao với (AC) tại O có toạ độ :
3 0 0
x y
=> O(0; 0) đó là gốc toạ độ
=> O(0;0) là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD
- Vì P là trung điểm của AD => D(-1; 3)
- C đối xứng với A(-3; 1) qua O => C(3; -1)
- B đối xứng với D(-1; 3) qua O => B(1;-3)
Câu 8.a:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):
2x+y–2z+10=0 và điểm I (2; 1; 3) Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4.
Mặt phẳng (Q) qua I và vuông góc với (P), cắt mặt cầu và (P) theo tiết diện như hình vẽ :
Tam giác vuông IOA có: IA = R và OA = r
IO = d(I, (P)) =
4 1 6 10
3 9
;
IA2 = IO2 + OA2 = 9 + 16 = 25 R = 5
Vậy phương trình mặt cầu cấn viết :
(S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z – 3)2 = 25
Câu 9.a: (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z +
2(1 2 )
7 8 1
i
i i
w = z + 1 + i.
Số phức z thoã mãn: (2 + i)z + (1 + 2i)(1 – i) = 7 + 8i
(2 + i)z + 1 + i – 2i2 = 7 + 8i (2 + i)z = 7i + 4
z =
(7 4)(2 )
3 2 (2 )(2 )
i
=> w = 4 + 3i Vậy mô đun số phức w cần tìm : w 16 9 5
Trang 6B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho AB = CD = 2.
Đường tròn ( C) cần viết có tâm I (d): y = 2x – y + 3 = 0 I (t; 2t + 3)
Theo bài ra ( C) cắt Ox tại A, B và cắt Oy tại C,D => AB và CD là hai dây cung
Vì AB = CD = 2 khoảng cách từ I đến Ox và Oy bằng nhau => t = 2t + 3
t24t 3 0 t = -1 hoặc t = -3
Với t = -1 I (-1; 1) R = t 2 12 2 (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 2
Với t = -3 I (-3; -3) R = t 2 12 10 (C) : (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10
Câu 8.b:(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x y z
và hai điểm A (1; -1; 2), B (2; -1; 0) Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho tam giác AMB vuông tại M.
Điểm M (d) => M (2t + 1; - t - 1; t) => AM
= (2t; -t; t – 2) và BM = (2t – 1; -t; t) Tam giác AMB vuông tại M => AM BM = 0 6t2 – 4t = 0 t = 0 hoặc t =
2
3 Với t = 0 => M (1; -1; 0)
Với t =
2
3 => M (
7 5 2
; ;
3 3 3)
Câu 9.b: (1,0 điểm) Giải phương trình z 2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức.
Phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 có = 9(1 + i)2 – 20i = -2i = (1 – i)2
z1 =
3(1 ) (1 ) 2
= - 1 – 2i; z2 =
3(1 ) (1 ) 2
= - 2 - i Vậy phương trình có hai nghiệm : z = -1 – 2i ; z = -2 – i