Mét sè vÝ dô: 1Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác... Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất VÝ dô 4..[r]
Trang 1Bất đẳng thức Bunhia copxky
I.Kiến thức cơ bản.
Định lý: Với mọi số a1, a2, …an, b1, b2 , …., bn ta luôn có:
( a1b1+a2b2+ +a n b n )2 (a ❑12 +a ❑22 +…+a ❑n2 )(b ❑12 +b ❑22 +…+b
❑n2 )
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: a1
b1=
a2
b2= =
a n
b n
Chứng minh:
(a1t-b1)2 0
(a2t-b2)2 0
………
(ant-bn)2 0
( a12+ ¿ a22 +….+ a n2 )t2-2(ab+ab+…+ab)t+( b12+ ¿ b22 +….+ b n2 ) 0
Đặt A= a12+ ¿ a22 +….+ a n2
B=ab+ab+ab
C= b12+ ¿ b22 +….+ b n2
Ta có: At2-2Bt+C 0 với mọi t
A[(t-B)2- B2− AC
4 A ] 0 với mọi t
B2-AC 0 ⇔ B2 AC (điều phải chứng minh)
1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh các bất đẳng khác.
Ví dụ 1 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng:
a2
b2 +b2
c2 +c2
a2≥ a
b+
b
c+
c a
với a, b, c > 0 ta có : a+b+c 3 3
√abc (bất đẳng thức Cosi)
a2+b2+c2 1
3 (a+b+c)2 Cosi-Bunhia
Hay
1
3+
a
b+
b c
a2
b2+
b2
c2+
c2
a2≥¿
)2 1
3 (
a
b+
b
c+
c
3
√a
b.
b
c.
c
a
b+
b
c+
c
a (đpcm)
Ví dụ 2 Cho a2+b2+c2=1 và m2+n2 = 1
Chứng minh rằng: |am+bn+c| √2
Ta có: m2+n2+1 = 2 do đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT Bunhia a,b,c và m,n,1)
⇔ (am+bn+c)2 2
Trang 2⇔ |am+bn+c| √2 (đpcm)
Ví dụ 3
Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1
Chứng minh rằng a2+b2+c2 1
3
Giải:
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 và a,b,c ta có:
(12+12+12)( a2+b2+c2) (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1
⇔ 3( a2+b2+c2) 1
3
Dấu bằng xẩy ra khi a=b=c= 1
3
2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Ví dụ 4 Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x4+y4+z4
Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho 6 số
a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x
ta có:
1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ⇔ ( x2+y2+z2 ) 1
Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2
1 (x2+y2+z2)2 (1+1+1) (x4+y4+z4) ⇒ ( x4+y4+z4 ) 1
3
Dấu đẳng thức xẩy ra khi: x
y
z
x và x2=y2=z2 ⇒ x=y=z= ±√3
3
Vậy Pmin = 1
3
Ví dụ 5:
Cho các số dơng a,b,c và các số dơng x,y,z thay đổi sao cho:
a
x+
b
y+
c
z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z
Giải:
Ta có: √a+√b+√c=√a
x.√x +√b
y.√y +√c
z.√z
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( √a+√b+√c )2 (a
x+
b
y+
c
z)(x+ y+ z)
⇔ ( √a+√b+√c )2 x+y+z
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi:
Trang 3x:√x=√b
y:√y =√c
z:√z
⇔
x + y +¿
√a
x =
√b
y =
√c
z =
√a+❑
√b+√c
¿
=1:( √a+√b+√c )
Đến đây dễ dàng suy ra:
x= √a(√a+√b +√c)
y= √b(√a+√b+√c)
z= √c (√a+√b+√c )
Khi đó
Amin=( √a+√b+√c )2
3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải
ph-ơng trình
I Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phơng trình √x − 4 + √x −6 =x2 - 10x + 27
Giải: Đk:4 x 6
Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 2
VT2=( √x − 4 + √x −6 )2 (12+12) { ( √x − 4 )2 +( √x −6 )2 }
(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 và √x − 4 , √x −6 )
Măt khác : ( √x − 4 )2 +( √x −6 )2=x-4+6-x=2
Suy ra : VT2 2.2 ⇔ VT 2(vì VT= √x − 4 + √x −6 0)
Ta thấy VP 2, VT 2 nên phơng trình có nghiệm khi VT=VP=2
⇔ x=5
Vậy phơng trình có môt nghiệm x=5
Ví dụ 2 Giải phơng trình 4
√1− x2+√41+x+4√1 − x=3
Giải: Đk : -1 x 1
Theo bât đẳng thc Cô-si ta có:
4
√1− x2 = 4
2 +
√1+x
2 (1)
4
√1+x =¿
4
2 (2)
4
√1− x = 4
√1.(1 − x ) 1+❑√1− x
2 (3)
Từ (1),(2),và(3) ta có : 4
√1− x2 + 4
√1+x + 4
√1− x 1+ √1+x + √!− x
1+ 1+1+x
1+1 − x
Trang 4DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi
√1+x = √1− x
√1+x =1
√1− x =1
⇔ x=o
KiÓm tra l¹i ta thÊy x=0 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh