Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Gọi S là mặt cầu ngoại tiếp hình chãp S.ABC 1.[r]
Trang 1Trờng THPT
Đoàn Kết - Hai Bà Trng
***
***
đề kiểm tra học kỳ I
Môn Toán lớp 12
năm học 2012 – 2013
Thời gian làm bài: 90 phút
I Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho hàm số
4 4 2 3
y x x có đồ thị là (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x4 4x2 m0.
Câu 2 (3,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Cho SA = 2a
và tam giác ABC là tam giác đều cạnh a (a > 0) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
1 Tính thể tích của khối chóp S.ABC
2 Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S)
3 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 3 (1,0 điểm)
Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 2mx2 5x 8m 18 có hai điểm cực trị nằm
về hai phía so với trục hoành
II Phần riêng (3 điểm)
Học sinh chỉ đợc làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chơng trình chuẩn
Câu 4a (2,0 điểm)
a/ Giải bất phơng trình
1 2 ( 2 1) 2 2 3
x x
b/ Giải phơng trình
log (x 4x 3) log ( x 2x 1) 1
Câu 5a (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 ln(1 2 ) x trên
đoạn 2;0
2 Theo chơng trình nâng cao
Câu 4b (2,0 điểm)
a/ Giải phơng trình
2
9 3
3 19 log log
4
x
x
b/ Giải hệ phơng trình
log ( 1) log ( 2) 1
Câu 5b (1,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 2 2x 3 2.ln(x 1) trên đoạn
3 5
;
2 2
Hết
-Đáp án đề 1
1 1 yx4 4x2 3 (2 điểm)
Đề số 1
Trang 21) TXĐ: D
2) Sự biến thiờn
a) Chiều biến thiờn
y' 4 x3 8x
2
x
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;0) và ( 2; )
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 2)và (0; 2)
0,5đ
b) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x=0 yCĐ = y(0)=3
Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 yCT = -1
0,25đ
b) Các giới hạn
2 4
4 3 lim lim ( 4 3) lim (1 )
x y x x x x x
x x
2 4
4 3 lim lim ( 4 3) lim (1 )
x y x x x x x
x x
0,25đ
d) Bảng biến thiên
x 2 0 2
y’ - 0 + 0 - 0 +
y
3
-1 -1
0,5đ
3) Vẽ đồ thị
+) Cho x 0 y 3
+) Cho
1 0
3
x y
x
+) Điểm đặc biệt thuộc đồ thị
0,5đ
4
2
-1
3
1 y
x 2
-2 -1 0 1
2
1,0đ
x x m (1)
Số nghiệm của phơng trình (1) bằng số nghiệm của phơng
trình (2) và bằng số giao điểm của đờng thẳng y=3+m và đồ
Trang 3thị (C).
Từ đồ thị (C) ta có
- Nếu m 3 1 m ( ; 4) thì phơng trình (1) vô nghiệm 0,25đ
- Nếu
3 3 (0; )
thì phơng trình (1) có 2 nghiệm
0,25đ
- Nếu m 3 3 m 0 thì phơng trình (1) có 3 nghiệm
0,25đ
- Nếu 1 m 3 3 m ( 4;0) thì phơng trình (1) có 4
nghiệm
2
1
1,0đ
Tính thể tích của khối chóp S.ABC (1,0 điểm)
+) Tính đợc
2 0
.sin 60
ABC
a
+) Tính đợc
.
.2
S ABC ABC
2
1,5đ
Xác định tâm của mặt cầu (S) (1,0 điểm)
H I
M
N
d
O
B
C
S
+) Chỉ đợc O là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+) Dựng đợc đờng thẳng d đi qua O và vuông góc (ABC)
//
d SA
+) Trong mặt (d,SA) dựng đợc trung trực của SA và trung
trực đó cắt d tại I
+) Chứng minh đúng I là tâm của (S) 0,25đ
Tính bán kính của (S) theo a (0,5 điểm)
+) Tính đợc 2
SA
SN a
+) Tính đợc
;
0,25đ
+) Chứng minh đợc AOIN là hình bình hành ( Hình cn)
3 3
a
NI AO
+) Tính đợc
12 3
a
IS
Bán kính của (S) là
12 3
a
r IS
0,25đ
3
0,5đ
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) (0,5 đ)
+) Dựng AH SM và chứng minh đợc
( ) ( ;( ))
AH SBC d A SBC AH
0,25đ
Trang 4+) Tính đợc
12 19
AH a
Vậy
12 ( ;( ))
19
3 1,0đ
y x mx x m (1) (1,0 điểm)
+) Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị nằm về hai phía so với
trục hoành x3 2mx2 5x 8m 18 0 có 3 nghiệm phân
biệt
0,25đ
2 (x 2) x 2(m 1)x 9 4m 0
có 3 nghiệm phân biệt 2
2 2( 1) 9 4 0
x
0,25đ
2 2( 1) 9 4 0
có hai nghiệm phân biệt khác 2
2 2
2 2( 1).2 9 4 0
0,25đ
17 ( ; 4) (2; ) \
8
KL: với
17 ( ; 4) (2; ) \
8
m
là giá trị cần tìm
0,25đ
4a
a/
1,0đ
1 2 ( 2 1) 2 2 3
x x
(1,0 điểm)
2
1 2 2
x x
(3 )( 2) 0 3
0
2 0 2
x x x
x x
x
Vậy bất phơng trình có tập nghiệm là ( ; 2) 3; 0,25đ
b/
1,0đ
log (x 4x 3) log ( x 2x 1) 1 (1) (1,0 điểm)
ĐK:
2 2
4 3 0
(*)
2 1 0
2
3; 2
4 3 3.(1 ) 6 0
0,25đ
Đối chiếu điều kiện (*) ta có x=7 ; x=-2 thỏa mãn
Vậy phơng trình có tập nghiệm là 2;7 0,25đ Chú ý: HS đặt điều kiện đúng và tìm đợc 1 nghiệm x=7 cho 0,5 điểm
5a 1,0đ y x 2 ln(1 2 ) x (1,0 điểm)
Hàm số đã cho xác định trên 2;0
Ta có
2
2 2(2 1) ' 2
x x
0,25đ
Trang 5
2(2 1)
2
x
x x y
0,25đ
Ta có
1 1 ( 2) 4 ln 5 ; (0) 0 ; ( ) ln 2
2 4
Vậy 2;0 2;0
1
4 ln 5 ; ln 2
4
4b
a/
1,0đ
2
9 3
3 19 log log
4
x
x
( 1,0 điểm )
3
x
9 8 3
3
log
log 1
3
x x
x x
(Thõa mãn (*))
0,25đ
Vậy tập nghiệm của phơng trình là
9
8 1
3 ; 3
S
b/
1,0đ
log ( 1) log ( 2) 1 (2)
ĐK:
1 (*) 2
x y
(2) x 1 2( y 2) x 2y 3 (3) 0,25đ
Thế (3) vào (1) ta đợc (2y 3)2 2y2 2y 3 y 27
6 13 15 0 3 ;
6
Từ (*) y 3 x 3 (thỏa mãn (*))
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=y=3 0,25đ
5b 1,0đ
2 2 3 2.ln( 1)
y x x x (1,0 điểm)
Ta có:
2
2 2( 2 ) ' 2 2
2
3 5
0 ;
2 2 2( 2 )
2 ;
2 2
x
y
x
x
0,25đ
+)
( ) 2.ln ; (2) 3 ; ( ) 2.ln
Vậy
2.ln ; 3