Phuong Trinh Vo Ty Nang Cao

Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho các nghiệm của các phương trình :... là các số tự nhiên.[r]

NGUYỄN NGỌC NHÂN

TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

( DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 )

QUẢNG BÌNH , THÁNG 1 NĂM 2012

Bài 1 Giải phương trình : x3 x7 4 x80 (1)

Bài 2 Giải phương trình : x 3 3x 1 2 x 2x2 (2)

sau đó bình phương , giải phương trình hệ quả

Nếu phương trình : f x   g x   h x   k x 

có : f x h x    k x g x    thì ta biến đổi

sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả.

Bài 3 Giải phương trình :

3

21

Bài 4 Giải phương trình : 4x 1 x2  1 2x22x1

43

t t

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x  7 .

Bài 7 Giải phương trình : x3 1x2 3x1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 8 Giải phương trình :

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x 2

Bài 9 Giải phương trình : 2x25x1 7 x31 (9)

Bài 10 Giải phương trình : x3 3x22 x23  6x0

Bài 11 Giải phương trình : x23 x2 1 x4 x21

HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện:

11

x x

v u

) x1.Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1

Bài 12 Giải phương trình : x2 x 12 x 1 36 (12)

2 2

Bài 16 Giải phương trình : 2x2 2x5 3 2x3 7x6

(16) HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện :

2

x x

Vậy phương trình dã cho có nghiệm duy nhất x 4

Bài 18 Giải phương trình : x3 2x26x 3 4 5x 1 (18)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.

Bài 19 Giải phương trình : x23x 2 2 x2 x 2 2 x (19)

Bài 20 Giải phương trình : 6 x 8 2x2 3x19 (20)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 23 Giải phương trình : 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x1.

thoả mãn , đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 24 Giải phương trình : x 2 x 3 x 3 x 5 x 5 x 2 x

22

+) x 0, ta chia hai vế cho x : 3 1 3 3 3 1  3 

Bài 34 Giải phương trình sau : 2 3 9 3 x x2 2 2x3 33 x x 22

(34) HƯỚNG DẪN GIẢI

(34) 3 x2 33x3 0 x1

.Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.

Bài 35 Giải phương trình : x2 10x213 x32 x7 6 (35)

Dể dàng nhận thấy x 2là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 38 Giải phương trình sau: x212 5 3  x x25

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 40 Giải phương trình sau : 2x2  x 9 2x2 x  1 x 4

Tiếp tục giải ta sẽ tìm được các nghiệm của phương trình

Bài 42 Giải phương trình :

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

17

21

51

10 16 10

5

x x

 , giải hệ này ta tìm được

( ; ) (2;3) (3;2)x y   Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}

Bài 45 Giải phương trình:

4 4

2

4

11

22

Bài 46 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y )(  ) 0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 2; 1 3}

Bài 49 Giải phương trình: 2x2 6x1 4x5

HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện

54

x 

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2 12x 2 2 4 x 5 (2x 3)2 2 4x 5 11

Đặt 2y 3 4x5 ta được hệ phương trình sau:

2 2



là nghiệm

Bài 54 Tìm tất cả các số nguyên dương a b c, , sao cho các nghiệm của các phương trình :

 

 

 

2 2 2

Mặt khác : 0 1 2a b   1 2 b c   1 2 c a   3 a b c  

Vì a b c, , là các số nguyên dương nên a b c  1

Ngược lại a b c  1 thoả mãn điều kiện bài toán

Bài 55 Giải phương trình : 9( 4x 1 3x 2) x 3.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện

23

x 

x   x  x 

Thay 0

12

x 

vào PT ta có: m  248 Với m  248 , ta chứng minh PT có nghiệm duy nhất Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

x x

x 

Vậy m  248.

Bài 57 Giải phương trình : 2x3 x232x3 3x 1 3x 1 3 x22 (57)

.Nên f t 1  f t 2

Suy ra f t đồng biến trên R

Theo tính chất của hàm đơn điệu ta có : 2x3 3xx2 1 2x3 x2 3x1 0

Bài 59 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x2y:

Như vậy phương trình được viết lại : x7y x  3y x y x      2y x   3y 11.7.5.2.1

Ta nhận thấy y 0 không thoả mãn phương trình vì x5 770  x Z

Do đó : x7y x 3y x y x    2y x  3y y0 , vì

,2

Bài 63 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x30x30y4 y2002

(63)

HƯỚNG DẪN GIẢI (63)  4x604x y30 4 y2002  2x30y42 y84y19941 4y1994 1 u u Z2 

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương x y z, , 

Đặt x x d 0 ; yy d0 với d x y,  Thế vào phương trình ta có:

x x





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 4

2 2

  





 (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 70 Giải phương trình:

2

2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1.

(72) HƯỚNG DẪN GIẢI

u 

(loại u 1 1vì -1<0)

Ta có:

2 2



Bài 74 Giải phương trình : √5 x2+14 x − 9 −√x2− x −20=5 √x+ 1

11 11

11

y y

y y

Điềukiện: 0 x 1  Phương trình đã cho 2

Đề xuất : √x − a+√b − x=(b − a) x2−(b2− a2

2 −√b − a2 )x −(a+b2 −2) √b − a2

(Với a + 2 < b ) 2) 3

¿

x+ y +z=1 x

HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT

Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z

Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ  ( x; y; z)  cũng là nghiệm của hệ

 không mất tính tổng quát ta giả sử ít nhất 2 trong 3 số x, y, z không âm

+

1x

2



là nghiệm pt (*) +







x x

x x

42

47