Kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải quyết một số phương trình vô tỷ nhằm nâng cao hiệu quả bồi dưỡng học sinh giỏi và thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU    SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ Người thự

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU

  

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI: KỸ NĂNG TẠO LIÊN HỢP NGƯỢC ĐỂ GIẢI MỘT

SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ

Người thực hiện: TẠ THỊ VÂN Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT Lê Văn Hưu SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

Năm học: 2018 - 2019

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài.

Môn toán là một môn học có nhiều đơn vị kiến thức, do đó giáo viên phảitích cực trau dồi, bồi dưỡng đổi mới phương pháp thì mới đạt hiệu quả khitruyền tải kiến thức cho học sinh Hiện nay cấu trúc đề thi THPT Quốc Gia, đềthi học sinh giỏi có những câu hỏi phân loại rất khó, vì vậy mỗi giáo viên phảitìm tòi, tìm ra phương pháp mới để học sinh có thể giải quyết các bài toán khónày một cách hiệu quả nhất trong các đề thi

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn hay phương trình vô tỷ vốn dĩ được coi

là con át chủ bài trong chương trình giảng dạy THPT nói chung cũng như đánhgiá năng lực học sinh trong các kỳ thi quan trọng về Toán học

Đặc biệt, trong kỳ thi THPT Quốc Gia, kỳ thi học sinh giỏi … thì các bàitoán phương trình vô tỷ là bài toán mang tính phân loại cao Các bài tập thuộcdạng toán này đòi hỏi học sinh cần tư duy theo nhiều hướng khác nhau, sử dụngcác phương pháp khác nhau mới có thể tìm được mấu chốt của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy, quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân tôi

đã tiếp cận sử dụng phương pháp “Sử dụng kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giảimột số bài toán phương trình vô tỷ

Đây là phương pháp không chỉ nhằm phát triển tư duy độc lập sáng tạo màcòn góp phần hình thành phương pháp và nhu cầu tự học, tự bồi dưỡng hứng thúhọc tập, tạo niềm tin cho học sinh trong quá trình giải toán

Song việc vận dụng nó cần có những kỹ năng và cách thức khác nhau Quahoạt động giảng dạy và quá trình tự học, tự nghiên cứu, tôi đã phát hiện ra một

số “kỹ năng” và “cách thức” đó

Chính vì thế tôi chọn viết đề tài này, trong phạm vi đề tài tôi chủ yếu đưa racác ví dụ về phương trình vô tỷ, phân tích định hướng cho học sinh tìm tòi lờigiải bằng phương pháp sử dụng “kỹ năng tạo liên hợp ngược”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Nhằm phát triển tư duy độc lập, sáng tạo, góp phần hình thành cho các emthói quen tự học, tự nghiên cứu, tạo niềm tin và niềm vui trong học tập cho họcsinh

- Hình thành cho các em có thói quen phân tích, định hướng và từ đó tìmđược hướng giải quyết bài toán

- Từng bước tạo ra đam mê và xóa bỏ dần tâm lý e ngại của các em học sinhkhi gặp các bài toán phương trình vô tỷ

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trung học phổ thông ( chú trọng học sinh khá, giỏi)

- Học sinh ôn thi vào các trường Đại học, cao đẳng

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Nghiên cứu tài liệu, tự nghiên cứu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lý luận.

Có nhiều cách định nghĩa khác nhau về kỹ năng Tuy nhiên hầu hết chúng

ta đều thừa nhận rằng kỹ năng được hình thành khi chúng ta áp dụng kiến thứcvào thực tiễn, kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhómhành động nhất định nào đó

Trong hoạt động dạy học môn toán nói riêng thì kỹ năng được thể hiệnqua phương pháp dạy - học, kỹ năng trình bày, kỹ năng thuyết trình Trongmôn toán ngoài những kỹ năng chung về dạy học nó còn được thể hiện quanhững yếu tố đặc thù của bộ môn chẳng hạn: kỹ năng giải toán, kỹ năng tínhtoán kỹ năng tạo liên hợp ngược để giải một số phương trình vô tỷ cũng khôngphải là ngoại lệ

2.2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.

- Phương pháp này không giải quyết cho mọi phương trình vô tỷ mà chỉthực sự rất hiệu quả với phương trình vô tỷ dạng một căn thức

- Trong quá trình giảng dạy nhận thấy đại đa số học sinh học theo lối mònghi nhớ mà không có thói quen đào sâu suy nghĩ đưa ra cách thức, con đườngtìm kiếm lời giải và nhiều giáo viên chưa chú trọng điều này

2.3 Các giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề

2.3.3 Kỹ năng sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm của phương trình (máy

tính Casio fx-570ES và Casio fx- 570VN PLUS)

Bước 1: Nhập phương trình cần dò nghiệm vào

Bước 2: Bấm SHIFT SOLVE, lúc này màn hình sẽ xuất hiện hộp hỏi giá trị khởitạo của ẩn X Ta nhập vào một giá trị bất kỳ và bấm nút “=”

 Nếu dò nghiệm thành công thì màn hình sẽ có ba dòng như sau:

Dòng 1: Phương trình đã nhập

Dòng 2: X Nghi mê  Đây chính là nghiệm của phương trình ( giá trị này cóthể là nghiệm đúng hoặc nghiệm gần đúng)

Dòng 3: L R < sai lệch hai vế >.

 Nếu việc dò nghiệm quá lâu, máy thể hiện lên màn hình hỏi có nên dònghiệm tiếp hay không Lúc này màn hình sẽ có ba dòng như sau:

Dòng 1: Continue:  

Nếu muốn tiếp tục dò nghiệm, ta bấm phím  

Dòng 2:Giá trị hiện tại của X

Dòng 3: L R < sai lệch hai vế >

Nếu không muốn tiếp tục việc dò nghiệm, ta bấm phím  AC

 Nếu máy không thể dò được nghiệm thì màn hình sẽ hiện Can t solve'

Điều này có hai nguyên nhân Thứ nhất là phương trình đã nhập luôn vônghiệm Thứ hai có thể là do giá trị khởi tạo không phù hợp

2.3.4 Các khái niệm nghiệm đơn, nghiệm bội của phương trình:

 Nghiệm bội ba:

Nghiệm bội ba x a là nghiệm mà tại đó phương trình f x ( ) 0được phân tích thành nhân tử có dạng (x a g x ) ( ) 0 à ( ) 0 3  v g a 

2.4 Bài toán mở đầu:

Giải phương trình: 2x 1x2  3x  (1)1 0

( Đề thi Đại Học khối D- năm 2006)

Đây là bài toán có nhiều cách giải như:

- Sử dụng phương pháp nâng lũy thừa

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

Sau đây, tôi xin đưa ra một số cách giải khác:

Cách giải 1: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1

2

x  (*) Với đk(*), ta có:

2 (1)  ( 2x 1 1)  x  3x  2 0 (2)

t t

Hay 2 1 1 1 ( / )

x x

t m x

t t

t m x

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 3: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1

2

x  (*) Với đk(*), ta có:

2 (1)  ( 2x 1  x 1) x  4x  2 0 (4)

Nhận thấy x  2 2 không phải là nghiệm của phương trình

v x x

( / )

x

t m x

Vậy phương trình có hai nghiệm là: x 1;x  2 2.

Cách giải 5: Sử dụng nhân thêm lượng liên hợp:

Đk: 1

2

x  (*) Với đk(*), ta có 2x 1  x 0 do đó:

2 (1)  ( 2x 1  x) x  2x  1 0

sử dụng phương pháp tách liên hợp thông qua hằng đẳng thức:

2x 2 ( 2  x 1) 2   1 ( 2x 1 1)( 2  x 1 1)  (cách giải 2)

x2  4x  2 (x 1) 2  ( 2x 1) 2  ( 2x 1  x 1)( 2x 1 1   x) (cách giải 4)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máytính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp

Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tíchbiến đổi g x( ) làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận.

Các bài tập áp dụng:

Bài tập 2.5.1: Giải phương trình: 2x2 7x16 (2 x1) x2 10x4

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x 6 nghiệm hữu

tỉ đơn của phương trình Như vậy phải làm xuất hiện đại lượng(x  6) để đặt làmthừa số chung, khi đó ta phải biến đổi căn thức x2 10x thành4

x  x  A, để ý thấy biểu thức cần xuất hiện là bậc nhất nên ta chọn A

có dạng A ax b Ta thay x 6 vào căn thức ta được:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 6.

Nhận xét: Nếu khi dự đoán được nghiệm duy nhất của phương trình là x 6

thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức x2 10x hằng số4 62 10.6 4 10  

 liên hợp là: x2 10x4 10 thì phải nhân hai vế với (x 16) rồi sử dụng

kỹ năng tạo liên hợp ngược vẫn giải quyết được bài toán, nhưng đưa bài toán trởnên phức tạp hơn và dễ sai sót, cách giải trên tránh được điều này

Bài tập 2.5.2: Giải phương trình: x3  2x2  5x 2 5 3 x2  3

Phân tích:

Đây là bài toán chứa căn bậc ba nhưng hoàn toàn tương tự ta vẫn sử dụngđược “kỹ năng tạo liên hợp ngược” để giải Sử dụng chức năng máy tính cầmtay ta thu được nghiệm hữu tỷ đơn x 1 Thay vào căn thức ta được

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x 1

Bài tập 2.5.3: Giải phương trình: 5x3  22x2  22x 6  4x 3 0 

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ

đơn của phương trình là: x 1 và x 3 thì lượng liên hợp thêm vào ở căn thức

4x  3là ax b với a,b là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 1;x 3.

Nhận xét : Ta thấy biểu thức cần tìm để làm xuất hiện liên hợp là:

2 (x 4x 3)(x 4x 3) x  4x 3 chưa có sẵn trong bài toán Đối với bài toánnày thực hiện phân tích thành nhân tử 5x3  22x2  23x 6 (  x2  4x 3)(5x 2)

Bài tập 2.5.4: Giải phương trình: 2 2 3

4x 6x 6 (x 7 )x x

x

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được hai nghiệm hữu tỉ

của phương trình là:x 1vàx 3nên ta tìm được biểu thức liên hợp là:

2x x  3x  (2x x  3 )(2x x x  3 ) 4x  x  x  3x

có bậc bằng 3, nhưng biểu thức còn lại trong phương trình lại có bậc bằng 2.Do

đó ta phải nhân và chia biểu thức còn lại với một biểu thức để làm xuất hiệnbiểu thức cần tìm, cụ thể phân tích biến đổi 4x2  6x 6làm xuất hiện liên hợp:

x x





  

 (t m/ )Vậy phương trình có nghiệm là x 1;x 3

Nhận xét :

Nếu xét về tính chất nghiệm thì sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta nhậnthấyx 1là nghiệm kép vàx 3là nghiệm đơn, nhưng cách tìm liên hợp vẫn sửdụng phương pháp tìm liên hợp của bài toán có hai nghiệm hữu tỷ đơn.

Bài tập 2.5.5: Giải phương trình: 1 2 4 5( 2 3)

Bài 1: Giải phương trình: 3x2  2x  1 (x 1) x2   3 0

Bài 2: Giải phương trình: x3  8x 1 2 10   x2

Bài 3: Giải phương trình: (x 1)(x 1) 3  (2x 1) 3x  1 7x x 2

2.6 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm vô tỉ đơn:

Phương pháp chung:

Xét phương trình: g x( ) h x( )n f x( ) (n 2 hoặc n 3)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (Dùng chức năng SOLVE của máytính cầm tay), Từ đó tìm lượng liên hợp

Bước 3: Bằng cách thêm, bớt hằng số, biểu thức, hoặc tách nhóm …phân tíchbiến đổi g(x) làm xuất hiện biểu thức liên hợp

Bước 4: Đưa phương trình về dạng tích rồi giải và kết luận.

Các bài tập áp dụng:

Bài tập 2.6.1: Giải phương trình: 2

1 13 2

x x

Bài tập 2.6.3: Giải phương trình: 2x2  5x (x2  2) x 2 0 

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay SHIFT CALC với x 1ta thuđược nghiệm x 1, tuy nhiên chúng ta chưa vội vàng đánh giá luôn nghiệmnày mà cân nhắc kỹ lưỡng bởi vẫn còn một nghiệm vô tỷ nữa Thật vậy, SHIFTCALC với x 1.5 ta thu được x 1.464101615.Với nghiệm vô tỷ trên ta đượcliên hợp x 2 x 2

x x x

Bài tập 2.6.4 : Giải phương trình: 22 2 8 ( 1)( 2 2)

(Đề thi THPT Quốc Gia năm 2015)

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x 2.Với

 Do đó ta sẽ nhân liên hợp cho nhóm biểu thức x  2 2

đồng thời phân tích cho nhóm biểu thức x2  2x 8để tạo ra nghiệm x 2 trước.Sau khi tháo gỡ nghiệm x 2 ta sẽ có một phương trình vô tỷ mới và tại phươngtrình này ta tìm ra được nghiệm x 3.302775638 thay vào căn thức ta được:

3 2

(x 2) x 2x 4x 1 (x 4)(x 1 x 2)  0

2 (x 2) (  x 1)(x 3x 1) (x 4)(x 1 x 2)  0

(x 2) (  x 1)(x 1 x 2)(x 1 x 2) (x 4)(x 1 x 2)  0

2 (x 2)(x 1 x 2) x x 3 (x 1) x 2  0

2 2 (x 2)(x 1 x 2) (  x 1 x 2) x x 3  0

Vì

2

2 2 2

3 2 ( x 2 2)( x 2 2)(x 4) (x x x 3)( x 2 2)

3 2 ( x 2 2) x x x 5 (x 4) x 2  0

3 2 ( x 2 2) x x x 5 (x 4) x 2  0

2 ( x 2 2)(x 1 x 2) 2  x 2x 6 2(x 1) x 2  0

Nhận xét : Đây là một bài toán hay, hội tụ rất nhiều các yếu tố như: Bài toán có

chứa một căn thức không quá lớn,bài toán có chứa một phân thức, nếu như vộivàng quy đồng mẫu số thì học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình tính toán bởikhi đó phương trình trở nên phức tạp; bài toán có nhiều cách giải song phươngpháp tạo liên hợp ngược là một phương pháp vô cùng hữu hiệu : phân tích nhân

tử đưa phương trình về dạng tích

Bài tập 2.6.5: Giải phương trình:2(x 1) 2x   1 1 5 6  x

Phân tích: Đây là bài toán có hai biểu thức chứa căn thức khác với các bài toán

trên nhưng ta hoàn toàn sử dụng được phương pháp này, bình phương hai vế tađược: pt 4x3  6x2  3x 2(x 1) 2x  1 0 đưa bài toán về dạng một căn thức Sửdụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được nghiệm x 0.809016994 Sử dụngnghiệm vô tỷ trên tìm được liên hợp : 2x 2x 1, từ đó ta có phân tích:

Bài 1: Giải phương trình: 4x2  13x  5 3x  1 0

Bài 2: Giải phương trình: 3x2  3x  2 (x 6) 3x2  2x 3

Bài 3: Giải phương trình: 2 3 2 3 2

2.7 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm kép:

Bài toán nghiệm bội nói chung và nghiệm kép nói riêng là một dạng toánmới, lạ, hay và đặc biệt rất khó nếu ta không định hướng đúng đường đi của bàitoán phương trình vô tỷ

Bài tập 2.7.1: Giải phương trình:x2  x  2 2 x  0

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x 1chính lànghiệm kép của phương trình từ đó cần làm xuất hiện biểu thức (x 1) 2 để đặtnhân tử chung, tức là ta biến đổi căn thức 2 x thành ax b  2 x Nhân liên hợptađược

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 1

Bài tập 2.7.2: Giải phương trình: 2  2x2  5x 7 x3  3x2  x 12

(Đề thi HSG Vòng 1- Hà Nội- năm 2015-2016)

x

x x

Bài tập 2.7.3: Giải phương trình: 2 2

3 2x   1 (4x 1) Vì vậy ta cần phải làm xuất hiện biểu thức liên hợp như sau:

2

3 14 3

2 2

x

x x

x x

Bài tập 2.7.4: Giải phương trình:2x  1 2 x 2x 1

Phân tích: Khi ta đặt ẩn phụ t  x thì phương trình trở thành:

2t   1 2t 2t  1

( Đưa về bài toán chỉ chứa một căn thức) Sử dụng chức năng máy tính cầm tay

ta tìm được t 1 chính là nghiệm kép của phương trình từ đó có liên hợp cần tìmlà: 2 1t  2t2  1 và cách tạo liên hợp như sau:

t t

Bài 1: Giải phương trình:x2   8 4(x 2) x  1 0

Bài 2: Giải phương trình: 2 2

x  x  x x  x 

2.8 Tạo “liên hợp ngược” với nghiệm bội ba:

Xét phương trình: g x( ) h x( )n f x( ) (n 2 hoặc n 3) Nếu pt có nghiệm bội

ba x0 thì “lượng liên hợp” cần bớt ở n f x( ) thông thường là biểu thức 2

ax bx c

Tương tự như bài toán nghiệm kép để tìm a, b, c hoặc bằng phương pháp nhânliên hợp rồi đồng nhất hệ số hoặc sử dụng tính chất nghiệm bội ba, ta làm nhưsau:

Đặt r x( ) n f x( ) khi đó a, b là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x 1.

Bài tập 2.8.2: Giải phương trình:x3 x2   1 2x2   1 2x3

Phân tích:

Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x 0 là nghiệm bội ba củaphương trình Tương tự ta có liên hợp cần tìm là: x2   1 2x2   1 2x3, do đócần biến đổi biểu thức ngoài căn thức làm xuất hiện biểu thức:

x2   1 2x2   1 2x3 x2   1 2x2   1 2x3 x4  2x3và có lời giải như sau:

Bài giải:

Đk: 2x2   1 2x3  0, ta có:

3 ( 2 1 2 2 1 2 ) 0 3

Pt x  x   x   x  (1)

Nhận thấy x 2 không phải là nghiệm của phương trình

Xét x 2, nhân hai vế của phương trình (1) với x 2, ta được:

Bài tập 2.8.3: Giải phương trình:x3  (5x 4) 2x  1 (7x 4) x  1 0

Phân tích: Sử dụng chức năng máy tính cầm tay ta tìm được x 0là nghiệm bội

ba của phương trình và nhận thấy: x3  (5x4) 2x1 2  (7x4) x1 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x 0

Nhận xét : Với bài toán này ta thấy khi giải phương trình nghiệm bội ba ta

không chỉ tập trung vào việc tìm và tạo liên hợp mà còn phải tư duy để có nhữngquyết định giải bài hợp lý hơn Ngoài định hướng trên ta còn nhận thấy:

Bài 1: Giải phương trình:x3 x2   x 1 3x2  2x 1

2(x 5) 3  x 16 x  2 3x  11x 36 0 

2.9.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Đối với học sinh

Tôi đã áp dụng đề tài này vào việc trực tiếp giảng dạy cho các đối tượnghọc sinh khá, giỏi lớp10, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10,11ở các lớp tôi đượcgiao nhiệm vụ và ôn thi THPT Quốc Gia, thu được một số kết quả rất khả quan:

- Các em đã xóa bỏ dần tâm lý e ngại đồng thời đam mê, hứng thú hơn khigặp bài toán phương trình vô tỷ

- Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu trong đề tài, qua khảo sát chothấy có trên 80% các em học sinh có hứng thú bài học và giải quyết được các bàitập tương tự

Đối với bản thân và đồng nghiệp

- Đề tài này có thể dùng làm tài liệu cho học sinh và giáo viên trong quá

trình dạy học môn toán, ôn thi THPT Quốc Gia và thi học sinh giỏi

3.Kết luận và kiến nghị:

3.1 Kết luận: