Bài 3. Phương trình vô tỷ của thầy Phạm Kim Chung | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Khi giải toán ta dựa trên bản chất tổng cực trị của hàm số nhưng không phải lúc nào cũng nên dùng hàm số, một phép biến đổi bình phương hoặc một phép tách hạng tử có thể đưa chúng ta đạ[r]

- BÀI TẠP RÈN LUYỆN.

Bài 1 Giải phương trình 2x52 1 x  25 x3 1 x 23

Bài 2 Giải phương trình x33x24x 2 3x 1 3x 1.   Đáp số: x 0; x 1.

Bài 3 Giải phương trình 61 x4 x2 31 1 x4  x2 3 x 1 3 x. Đáp số: x 1.

Bài 4 Giải phương trình 3x 2  9x234x 2   1 x x  2 1 0

Bài 5 Giải phương trình

6x2 x 1 x 1  3x22x 7  2x 7 4x  33x2 3x

Đáp số: Vô nghiệm

4

Bài 7 Giải phương trình

5x 7 x 1

3

2



Bài 8 Giải phương trình

2x 1

1

2



Bài 9 Giải phương trình

2

5

c) Đánh giá trên tổng cực trị của hàm số.

Tính chất Cho các hàm số f x ,  g x 

xác định trên D Nếu:

- Min f xD  m ;1 Min g xD  m2  f x g x m1m2 x D. 

- Max f xD   M ;1 Max g xD  M2  f x g x M1M2 x D. 

- Min f xD  m; Max g xD   m  f x g x 

 

 

f x m

g x m





 





Ví dụ 1 Giải phương trình 9x318x2  36x2 9x3 x29.

Lời giải

Đặt: a 9x318x ;2 b 36x2 9x3 a, b 0 

2

a b

x 18



Ta có:

a b

18



    a218a 81   b218b 81  0

a 92 b 92 0

      a b 9. 

- Bình luận Ở ví dụ này ta thấy rằng với các hàm số:

f a a 18a 81; g b b218b 81

thì Min f a0;    0;

Ví dụ 2 Giải phương trình 2

 

Lời giải

Điều kiện x 0.

Phương trình đã cho tương đương với: 2

2 2

     

 

2 2

3 x 1 1



x 1 0 1

x

 





 



- Bình luận Khi giải toán ta dựa trên bản chất tổng cực trị của hàm số nhưng không phải lúc nào cũng

nên dùng hàm số, một phép biến đổi bình phương hoặc một phép tách hạng tử có thể đưa chúng ta đạt được mục đích của mình

Ví dụ 3 Giải phương trình x 3 1x x x 1 2x 1 3 x 11.

2

Lời giải

Điều kiện x 0.

PT tương đương với: x 3 x 2 x     2 x 1   2x 1 6 x 22.  

x 1 2x 1 2 2x x 3x 12 x 20 0 * 

Đặt x a a 0 ,  xét hàm số f a 2a3 3a212a 20, a 0

Ta có f ' a  6a2 6a 12  f ' a  0  a 2 (do a 0 )

Lập bảng biến thiên cho ta Min f a0;    0

a 2

  hay:

2x x 3x 12 x 20 0,    x 0 

Từ đó ta có:

x 2



 



Vậy x 4 là nghiệm của phương trình đã cho

- Bình luận

+ Ta có thể giải bằng cách phân tích: PT x 1  2x 1  2 2 x 5   x 2 2 0

+ Tuy nhiên nếu hàm số f a 

được cho phức tạp hơn, vấn đề phân tích để đánh giá sẽ có nhiều rắc rối

Ví dụ 4 Giải phương trình 3x 7 4x 7  7 x 32. 

Lời giải

Điều kiện

7

x 7

3  Đặt a 7 x

14

3

 

  Phương tình đã cho trở thành

14 3a  4a 21a 32 0.  Ta có 0 f a    14 3a 2  14

g a 4a 21a 32,

14

0 a

3

 

2

Do đó f a g a 32 7 7  14 0.

Hay phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 5 Giải phương trình

2

Lời giải

Điều kiện 1 x 1.   Ta có:

Hay Min f x 1;1   13

6

   x 1 1   Đặt 1 x 2 a a 0 , ta có:

2

4 x 8 1 x 8 2x





3 a a 3 2 a 1

Xét hàm số:

 

2

3 a a 3 2 a 1

Ta có:

 

 2 2  2  2



a 0  , hay hàm số nghịch biến trên 0; 

Do đó:

6

2

2

4 x 8 1 x 8 2x 6

Dấu ‘=’ xảy ra  x Kết hợp (1) và (2) cho ta nghiệm của phương trình là x 11. 

- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài 1 Giải phương trình 13 x 1 9 x 1 16x.    Đáp số:

5

4



Bài 2 Giải phương trình x2 2 x 1 3x 1 2 2x     25x 2 8x 5.  

Đáp số: x 1.

Bài 3 Giải phương trình 4x212 x 1 4 x 5x 1     9 5x  

Đáp số: x 1.

Bài 4 Giải phương trình 3x26x 12  5x410x292x x 2  3 Đáp số: x1.

2x 7 x 3

Bài 6 Giải phương trình

2

Bài 7 Giải phương trình 6 3 3x 3x 7      4 3x 73  27x 76.

Đáp số: x2.

Bài 8 Giải phương trình

x 2 x 1

2

7x 3



E PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA.

Thông thường khi ta sử dụng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của phương trình vô tỷ, ta nhận được kết quả bài toán không có nghiệm hữu tỷ và không đưa nghiệm của phương trình về dạng nhân tử

ax2bx c , 

nguyên nhân rất có thể nghiệm của bài toán được cho dưới dạng lượng giác

Tuy nhiên do tính phổ biến của loại phương trình này trong các đề thi hiện nay, nên chúng tôi không đi sâu vào loại phương trình này Sau đây xin được gới thiệu với các bạn một số kỹ thuật lượng giác hóa thông thường

1 Một số dạng biến đổi lượng giác.

- Nếu x2y2 a2, a 0  thì có một số  0; 2 sao cho:

x a sin ,  y a cos  

+ Đặc biệt a 1 thì ta có thể đặt

x sin

y cos





 với  0; 2

- Nếu x a,a 0 

thì có một số

;

2 2

 

  sao cho: x a sin ,  và một số  0;

sao cho

x a cos 

+ Đặc biệt: a 1 thì ta có thể đặt x sin ,  2 2;

 

  hoặc x cos ,   0;

- Nếu 0 x 1  thì có một số 0;2



  sao cho: x sin ,  và một số 0;2



  sao cho: x cos 

- Nếu x m,m 0 hoặc các bài toán có chứa biểu thức x2 m2 thì đặt

m

cos x



3

+ Đặc biệt: m 1 thì ta có thể đặt

1

cos x

- Nếu không ràng buộc điều kiện cho biến số và bài toán có chứa biểu thức x2m2 thì đặt

x m.tan ,  2 2;

 

+ Đặc biệt: m 1 thì ta có thể đặt x tan  , 2 2;

 

2 Một số ví dụ minh họa.

Ví dụ 1 Giải phương trình 1 x 2 4x3 3x.

- Phân tích Phương trình trên thuộc dạng cơ bản, nhưng nếu sử dụng phương pháp nâng lũy thừa sẽ cho

ta một phương trình bậc cao Tuy nhiên, ta để ý rằng trong phương trình có chứa biểu thức 1 x 2 nên điều kiện ban đầu của phương trình là x 1. Do đó, ta sử dụng một trong hai phép đặt ẩn x sin  hoặc

x cos  Tiếp tục quan sát phương trình, ta có thể thấy ngay biểu thức 4x3 3x làm ta liên tưởng đến một công thức trong lượng giác đó: 4cos3  3cos cos3  Ta có lời giải như sau:

Lời giải

Điều kiện 1 x 2  0     1 x 1.

Đặt x cos  ,  0;, khi đó phương trình đã cho trở thành:



2

2





     









       



k

8 2 k

4 2



  



 

   

Do  0; ,

k   nên

Vậy tập nghiệm của phương trình:

- Bình luận Để có thể sử dụng được phương pháp lượng giác hóa khi giải phương trình vô tỷ thì trước

hết ta cần nắm vững các công thức lượng giác và những dạng biến đổi của nó Như vậy, vệc quy về giải một phương trình lượng giác đã giúp ta giải quyết phương trình vô tỷ một cách nhẹ nhàng hơn

Ví dụ 2 Giải phương trình 1 x 2x2 1 2x 1 x  2

- Phân tích Để ý rằng trong phương trình có chứa biểu thức 1 x và 1 x 2 nên điều kiện ban đầu của phương trình là x 1. Sử dụng phép đặt ẩn x cos  ta có lời giải:

Lời giải

Điều kiện

2

1 x 0

1 x 0

  



 

     1 x 1

Đặt x cos  ,  0;

, khi đó phương trình đã cho trở thành:

1 cos  2cos   1 2cos 1 cos 

2

2sin cos 2 2cos sin 2



4 2

 



    



 

      



k4

3 k4

10 5



  



 

   

Do  0;, k   nên

3 10



x cos

10



Vậy nghiệm của phương trình là:

3

x cos

10



4





- Bình luận Trong lời giải trên giáo viên cần lưu ý cho học sinh ở phép biến đổi:

2

2sin 2 sin



Nếu trong lời giải trên ta sử dụng phép đặt x sin ,  2 2;

 

  thì ta có

2

Ví dụ 3 Giải phương trình 2

12



- Phân tích Với điều kiện ban đầu của bài toán x2  1 0  x 1 x    ta có thể sử dụng phép đặt ẩn1

phụ

1

cos





3

    Khi đó, ta có

2

2

1

cos

 Tuy nhiên, để giải quyết vấn đề tạo ra một phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta chú ý rằng nếu x 0 thì phương trình trên sẽ không có nghiệm thực Từ đó ta có lời giải cho bài toán như sau:

Lời giải

Đều kiện ban đầu: x2 1 0  x 1 x    1

Để ý rằng nếu x  thì phương trình đã cho vô nghiệm Cho nên ta chỉ cần xét x 11  Khi đó, ta đặt

1

cos





0;

2



  và phương trình đã cho trở thành:

2

1

1 cos







Đặt t sin  cos , t1; 2



2

t 1 sin cos

2



Khi đó

2

t 1

12t 35

2

  

  35t2 24t 35 0 

 

5

t

7

7

t

5

loại







 

 



12 sin cos

25

sin cos 12

sin cos 12



 



Suy ra

;

sin cos là 2 nghiệm của phương trình: 12u2 35u 25 0 

5 u 3 5 u 4







 

 



Do đĩ,

cos 3

cos 4





 



 



5 x 3 5 x 4







 

 

 (thỏa mãn phương trình ban đầu).

Vậy

là 2 nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 4 Giải phương trình 64x6112x456x2 7 2 1 x   2

- Phân tích Sử dụng cơng thức cos n 1 a cos n 1 a 2cos a.cos na       

Suy ra: cos3a 4cos a 3cos a 3 

cos 4a 8cos a 8cos a 1  

cos 5a 16cos a 20cos a 5cos a  

cos 6a 32cos a 48cos a 18cos a 1   

cos 7a 64cos a 112cos a 56cos a 7 cos a   

Từ đĩ ta cĩ lời giải như sau:

Lời giải

Đặt x cos ,   0;

, phương trình đã cho trở thành:

 

64cos  112cos  56cos   7 2 1 cos   1

Nhận thấy cos  khơng thỏa phương trình (1), nên nhân hai vế phương trình (1) với cos0   ta cĩ0

64cos  112cos  56cos   7 cos 2sin cos 

cos 7 sin 2

2



2k

18 9 2k

10 5



  



 

   

Do  0;

nên

18 18 18 18 18 10 10

Vì cos  nên 0

9

Vậy phương trình đã cho cĩ 6 nghiệm là:

18 18 18 18 18 10 10

- Bình luận Phương trình trên thực sự rất khĩ Khĩ bởi các biểu thức trong phương trình cĩ bậc cao Vì

thế để sử dụng được phương pháp lượng giác hĩa khơng phải đơn giản, ta cần cĩ một cách nhìn tổng quát phương trình

Ví dụ 5 Giải phương trình

2

2

5

- Phân tích Phương trình trên khơng cĩ điều kiện ràng buộc của ẩn x Sự xuất hiện của biểu thức

2

1 x trong phương trình định hướng cho ta phép đặt x tan ,  2 2;

 

Lời giải

Đặt x tan ,  2 2;

 

 , phương trình đã cho trở thành:

2

2

5

2

5cos 2sin 2 0

       5sin2 2sin   3 0

sin 1

3 sin

5

 







  



Do 2 2;

 

  sin  Cho nên 1

3 sin

5

x tan

4

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm

3

4



- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.

Bài 1 Giải phương trình 1 1 x 2 x 1 2 1 x   2

Hướng dẫn: Đặt x cos ,   0;

Bài 2 Giải phương trình

2

2

1 2x 1 x

1 2x 2

 

Hướng dẫn: Đặt x cos ,   0;

Bài 3 Giải phương trình

1 1 x 1   1 x  1 x

Hướng dẫn: Đặt x cos ,  0; \ 2 .



 

 

Bài 4 Giải phương trình  1 x 1    1 x 1  2x

Hướng dẫn: Đặt x cos ,   0;

Bài 5 Giải phương trình 1 x  2 2x 21 

Hướng dẫn: Đặtx cos ,

0;

2



   

Bài 6 Giải phương trình 2x 1 4x 2  2 8x 21

Hướng dẫn: Đặt 2x sin ,  2 2;

 

Bài 7 Giải phương trình 1 1 x 2  1 x 3  1 x 3  2 1 x  2

Hướng dẫn: Đặt x cos ,   0; Đáp số:

1

2



Bài 8 Giải phương trình 3  23  2

Hướng dẫn: Đặt x sin ,  2 2;

 

  Đáp số:

1

2

2



Bài 9 Giải phương trình 2

3x

 Hướng dẫn: Đặt x 3 tan ,

;

2 2

 

Bài 10 Giải phương trình

2 2 2

2

2

x 1

x 1

2x 2x 1 x







Hướng dẫn: Đặt x tan ,  2 2; \ 4;0