Đồng thời nhận biết được số hạng tổng quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số trong các bài tiếp theo: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kỳ đ[r]
Trang 1Bài soạn
Chuỗi số
A Mục đích, yêu cầu
Mục đích: Trang bị cho sinh viên các kiến thức về chuỗi: chuỗi phân kỳ, chuỗi hội tụ,
các tính chất
Yêu cầu: Sinh viên cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Luôn ghi
nhớ điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết về khả năng phân kỳ của chuỗi số
B Nội dung bài giảng
1 Khái niệm
Giả sử{a n } là một dãy số
Tổng vô hạn a1+ a2+· · · + a n+· · · = ∑∞
n=1
a n gọi là một chuỗi số
a n được gọi là số hạng tổng quát của chuỗi
S n = a1+ a2+· · · + a n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi.
Nếu tồn tại lim
n →∞ S n = S( |S| < +∞) thì S được gọi là tổng của chuỗi ∑∞
n=1
a n
Khi đó chuỗi số được gọi là hội tụ Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ
Ví dụ 1. a) ∑∞
n=0
q n (q ̸= 1)
Ta có S n = 1 + q + · · · + q n= 1− q n+1
1− q
Nếu |q| < 1 thì lim
n →∞ S n=
1
1− q(Chuỗi hội tụ)
Nếu |q| > 1 thì @ lim
n →∞ S n(Chuỗi phân kỳ)
b) ∑∞
n=1
1
n(Chuỗi điều hòa)
Ta có 1 + 1
2 +
1
3 +
1
4 +· · · + 1
n +· · ·
= 1 +1
2 +
( 1
3+
1 4
) +
( 1
5 +
1
6 +
1
7 +
1 8
) +· · ·
> 1 +1
2 +
( 1
4+
1 4
) +
( 1
8 +
1
8 +
1
8 +
1 8
) +· · ·
=1 + 1
2+ 2.
1
4 + 4.
1
8+· · · + 2 n 1
2n+1 +· · ·
= 1 +1
2 +
1
2 +
1
2 +· · · +1
2 +· · ·
= 1 + lim
n →∞ n.
1
2 = +∞
Vậy @ lim
n →∞ S n(Chuỗi phân kỳ)
Trang 2c) ∑∞
n=1
1
n2 = 1 + 1
22 + 1
32 +· · · + 1
n2 +· · ·
S n = 1 + 1
22 + 1
32 +· · · + 1
n2
{S n } là dãy tăng
Mặt khác 1
n2 < 1 (n − 1)n ∀n > 1
=⇒ S n < 1 + 1
1.2 +
1
2.3 +· · · + 1
(n − 1).n = 2−
1
n < 2
=⇒ {S n } tăng và bị chặn trên =⇒ ∃ lim
n →∞ S n < + ∞(Chuỗi hội tụ)
2 Tính chất của các chuỗi hội tụ
a) Nếu chuỗi ∑∞
n=1
a n, ∑∞
n=1
b nhội tụ thì chuỗi ∑∞
n=1
c.a n (α là hằng số ) và ∑∞
n=1
(a n ± b n) cũng hội tụ
∞
∑
n=1
c.a n = c. ∑∞
n=1
a n
∞
∑
n=1
(a n ± b n) = ∑∞
n=1
a n ± ∑∞
n=1
b n
b) Nếu chuỗi ∑∞
n=1
a n hội tụ, ∑∞
n=1
b n phân kỳ thì ∑∞
n=1
(a n ± b n) phân kỳ
c) Nếu chuỗi ∑∞
n=1
a nphân kỳ, ∑∞
n=1
b nphân kỳ thì không có kết luận cho chuỗi ∑∞
n=1
(a n ± b n)
Tuy nhiên nếu u n ≥ 0, v n ≥ 0 thì chuỗi ∑∞
n=1
(a n + b n) phân kỳ
Ví dụ 2 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi
∞
∑
n=0
(
1
3n + 1
5n
)
Ta có chuỗi ∑∞
n=0
1
3n hội tụ
∞
∑
n=0
1
5n hội tụ
Do đó ∑∞
n=0
( 1
3n + 1
5n
) hội tụ và
∞
∑
n=0
( 1
3n + 1
5n
)
= ∑∞
n=0
1
3n + ∑∞
n=0
1
5n = 1
1− 1 3
1−1 5
= 11 4
3 Phần dư của chuỗi hội tụ
Giả sử ∑∞
n=1
a n hội tụ, có tổng = S
r n = S − S n gọi là phần dư thứ n của chuỗi Ta có ngay lim
n→∞ r n = 0
Nhận xét.
Trang 3a) Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không thay đổi khi ta thêm hoặc bớt một số hữu hạn các số hạng của chuỗi
b) Tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi không đổi khi ta thay đổi vị trí của một số hữu hạn phần tử
4 Điều kiện để một chuỗi hội tụ
a) Điều kiện cần: Nếu ∑∞
n=1
a n hội tụ thì lim
n →∞ a n= 0
Chứng minh Ta có a n = S n − S n −1 ∀n > 1
Vì lim
n →∞ S n = limn →∞ S n −1 = S
Nên lim
n →∞ a n = 0
Chú ý.
+ Điều ngược lại nói chung không đúng
Ví dụ xét chuỗi điều hòa ∑∞
n=1
1
n phân kỳ, nhưng vẫn có limn →∞ a n= limn →∞
1
n = 0
+ Ta thường dùng mệnh đề tương đương với mệnh đề trên: Nếu lim
n→∞ a n ̸= 0 hoặc
@ lim
n →∞ a n thì chuỗi
∞
∑
n=1
a n phân kỳ
Ví dụ 3 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau
1) ∑∞
n=1
(−1) n phân kỳ vì a n = (−1) n9 0
2) ∑∞
n=1
q n , |q| ≥ 1 phân kỳ vì q n 9 0
3) ∑∞
n=1
cos n
Ta có lim
n →∞ a n= limn →∞ cos n = 0
b) Điều kiện cần và đủ(Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi ∑∞
n=1
a n hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0, ∀p ∈ N ta có
|a n+1+· · · + a n+p | < ε Chứng minh Xét {S n }, S n = a1+ a2+· · · + a n
Theo tiêu chuẩn Cauchy về dãy số, dãy S nhội tụ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥, ∀p ∈ N
ta có
|S n+p − S n | < ε
Điều phải chứng minh
Trang 4Ví dụ 4 Xét ∑∞
n=1
1
n
Ta có|S 2n − S n | = 1
n + 1+· · · + 1
2n >
1
2n+· · · + 1
2n =
1
2 = ε0 Chuỗi phân kỳ theo tiêu chuẩn Cauchy
C Bài tập luyện tập
Bài 1 Tìm tổng của các chuỗi sau đây( nếu có )
a) ∑∞
n=2
1
n2− n
b) ∑∞
n=1
2n − 3 n
5n
c) ∑∞
n=1
1
2n + 1
3n
Bài 2 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:
a) ∑∞
n=1
n + 1
2n − 1
b) ∑∞
n=0
cos n
c) ∑∞
n=1
1
√
n + 1 − √ n
d) ∑∞
n=1
1
nsin
1
n
Củng cố
Trong phần đầu tiên này cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ của chuỗi số Điều kiện cần của sự hội tụ để nhận biết khả năng phân kỳ của chuỗi số Đồng thời nhận biết được số hạng tổng quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số trong các bài tiếp theo: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kỳ để từ đó
sử dụng tiêu chuẩn thích hợp để kết luận về sự hội tụ của nó