CHUỖI SỐ DƯƠNG potx

Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên a Tiêu chuẩn tích phân f Chuỗi số dương là chuỗi Chuỗi... Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi Hoặc nếu

k, ),

[

2 Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương

liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên

a) Tiêu chuẩn tích phân

f ) (

Chuỗi số dương là chuỗi

Chuỗi

hội tụ nếu

),

1[ +∞

| ln

2

Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi

Hoặc nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.

thoả điều kiện ∃ N: 0< un ≤ vn, ∀ n ≥ N

Cho hai chuỗi số dương

n ≤     +

<

5

2 5

2 0

2 ( q = <

Mà chuỗi phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn

Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi ∑∞

k v

• k = 0 nếu chuỗi

• 0 < k < +∝ hai chuỗi

hội tụ hội tụ.Cho hai chuỗi số dương

2 4

2

1

~ 1

1

n n

VD1: Xét chuỗi số

Mà chuỗi

Nên chuỗi

có cùng tính chất là hội tụ.hội tụ

c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)

5 4

3 4

) 1 1

(

2 1

1

n n

n n

lim→∞ = →∞ n =

n n

này

Mà chuỗi

Nên chuỗi

cũng phân kỳ

c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt)

phân kỳ

1 1 ln(

2 1

2 1

1

1

~

1 arctg

3 2

n n

n n

d) Tiêu chuẩn D’Alembert:

Giả sử tồn tại giới hạn

∗ Nếu D> 1 thì

Cho chuỗi số dương

∗ Nếu D<1 thì

phân kỳ

∗ Nếu D= 1 thì chưa có kết luận

hội tụ

n u

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được

thì lúc này ta kết luận phân kỳ.

d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

∑∞

= 1

!

3

n n

n

n n

n n

3

n n

n

n n

Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi phân kỳ

n u

V

n n

u u

n

n

u u

VD3: Xét chuỗi số

Ta có

Tuy nhiên ta có nên

Vậy chuỗi phân kỳ

d)Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

= 1

n n

u c u

∗Nếu c = 1 thì chưa có kết luận

Cho chuỗi số dương

hội tụ

∗Nếu c > 1 thì phân kỳ

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ.

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được n u n N

n > 1 , ∀ ≥

thì ta kết luận chuỗi phân kỳ

∑∞=1 + 2

2

) 1 (

2

.

n n

n n

1

2 )

1 ( 21 → <

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy hội tụ

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

1 1

Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy phân kỳ

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)