Câu 6.Gọi BE, CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc B và C của tam giác ABC.. Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF.[r]
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO SỐ 01 MÔN: To¸n
Thời gian làm bài: 180 phút Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y x 3 6 x2 9 x 3 có đồ thị là (C) và hai điểm A( 1;3), B(1; 1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tam giác ABM cân tại M
Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình
2
2sin cos cos cos2 1
4
x x x x
2 Giải bất phương trình: x3 3x2 2 x 2 3 6x 0 (x )
3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:
x 12x y 6y 16 0
(x, y ) 4x 2 4 x 5 4y y m 0
Câu III (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a;
SA SB SC 2a Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường thẳng SD và mặt phẳng (MBC) Gọi V, V1 lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.BCNM
a) Tính tỷ số
1
V
V . b) Chứng minh V 2a 3.
Câu IV (1 điểm) Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz và x > 1, y > 1, z > 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2
x 1 y 1 z 1 P
.
Câu V (1 điểm) Tìm hệ số của x6 trong khai triển thành đa thức của
2
( ) 2 1 3 3 1 2
P x x x x x
Câu VI (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1) Đường phân giác trong của các góc B và C lần lượt có phương trình x 2y 1 0 ;
x y 3 0 Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu VII (1 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P)
x+ y − z +1=0 và đường thẳng: d: x −21 =y − 1
z −1
−3
Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng Δ nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến Δ bằng 3√2
Câu VIII.(1 điểm) Giải phương trình 42x x2 2x3 16.2 4x8 2x34x4 (x )
============== Hết =============
Trang 2Câu 1.Tam giác ABM cân tại M suy ra MA = MB M thuộc đường trung trực của đoạn AB
Pt trung trực của đoạn AB là
2
2
x
x y y
Do M thuộc (C) nên tọa độ M thỏa mãn hệ pt
2
2
x
x
y
Câu 2 1
2
1
2 2
2
x k
Câu 2 2.Điều kiện xác định: x 2 Đặt y x 2 , điều kiện y 0
Bất phương trình trở thành: x3 3xy2 2y3 0 x y 2 x 2y 0 x y
x 2y 0
Với x = y thì
2
x 0
x 2 x
Với x + 2y ≥ 0 thì
2
x 0
x 0
x 0
2 x 2 x
2 2 3 x 0 4(x 2) x
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T 2 2 3;
Câu 2.3Ta có hệ:
4x 2 4 x 5 4y y m 0 (2)
Điều kiện xác định:
2 x 2
0 y 4
Ta có (1) x3 12x y 2 3 12 y 2
Xét hàm số f (t) t 3 12t, t 2;2
f '(t) 3t 12 3 t 4 0, t 2;2
Suy ra hàm số f (t) nghịch biến trên 2;2 (3)
Ta có x và y 2 cùng thuộc đoạn 2;2 và f (x) f (y 2) nên kết hợp (3) suy ra x y 2 Thay vào (2) ta có phương trình 3 4 x 2 4x2 m (4)
Do đó hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (4) có nghiệm x thuộc đoạn [-2;2] Đặt g(x) 3 4 x 2 4x , x [ 2;2]2
Trang 32 2
g '(x) 0 x 0 g(0) 6; g( 2) g(2) 16
x [ 2;2]min g(x) 16; max g(x) 6x [ 2;2]
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 16 m 6
Câu 3 1 S.ABC S.ACD
V
2
=>
S.MBC
S.MBC S.ABC
V
=>
S.MCN
S.MCN S.ACD
V SA SD 8 Suy ra 1 S.MBC S.NCM
3V
8
Vậy
1
V 3
V 8.
2 Gọi O là giao điểm của AC và BD
Dễ thấy SOC BOA SO BO BSD vuông tại S
Do đó
2
Mà OA BC2 OB2 Suy ra 2 1 2 2
4
Vì AO (SBD) nên
S.ABCD S.ABD SBD
Mà
SD 12a SD
2
=6a2 Vậy V 2a 3
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
P
x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Từ giả thiết ta có
1
1
x y z xy yz zx (5).
2
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra P 3 1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z 3
Trang 4Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3 1
Câu 6.Gọi BE, CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc B và C của tam giác ABC
Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của A qua BE và CF
Đường thẳng AM có phương trình 2x y 3 0
Tọa độ giao điểm I của AM và BE là nghiệm của hệ phương trình
2x y 3 0 x 1
x 2y 1 0 y 1
Do đó I(1;1) Vì I là trung điểm của đoạn thẳng AM nên M(0;3) Tương tự N(-2;-5)
Đường thẳng BC đi qua M và N nên có phương trình 4x y 3 0
Câu 5.Số hạng tổng quát của 1 3x 5
là C5k( 3) k x k
Số hạng tổng quát của 1 2x 7
là C7m2m x m
Số hạng chứa x6 trong P x( ) là 2x C2 54( 3) 4x4 3xC75 52 x5
Suy ra hệ số của x6 trong P x( ) là 2C54( 3) 4 3 2C75 51206
Câu 7.• (P) có véc tơ pháp tuyến ⃗n(P )=(1;1 ;−1) và d có véc tơ chỉ phương ⃗.u=(1;−1 ;−3)
I=d ∩(P)⇒ I (1 ;2 ;4)
• vì Δ⊂(P); Δ⊥ d ⇒ Δ có véc tơ chỉ phương ⃗u Δ=[⃗n(P) ; ⃗u]=(− 4 ;2 ;−2)
• Gọi H là hình chiếu của I trên Δ ⇒ H ∈mp(Q) qua I và vuông góc Δ
Phương trình (Q): −2(x −1)+( y −2)−(z −4 )=0 ⇔− 2 x+ y − z+4=0
Gọi d1=(P)∩(Q) ⇒d1 có véctơ chỉ phương
[⃗n(P) ;⃗ n(Q)]=(0 ;3 ;3)=3(0;1 ;1) và d1 qua I
⇒ ptd1:
x=1 y=2+t
z =4+t
¿{ {
Ta có H ∈ d1⇒ H (1;2+t ;4+t)⇒ ⃗ IH=(0 ;t ;t)
•
IH=3√2⇔√2 t2=3√2⇔
t=3
¿
t=−3
¿
¿
¿
¿
¿
• TH1: t=3 ⇒ H (1 ;5;7)⇒ pt Δ: x −1
y − 5
1 =
z −7
− 1
TH2: t=−3 ⇒ H (1 ;−1 ;1)⇒ pt Δ: x −1
y +1
1 =
z −1
−1
Câu 8. Với x 2 PT
3
4 x (2 x 1) 2 (2x x 1) 0
3
(2 x 1)(4 x 2 ) 0x
TH1: 24x4 1 4x 4 0 x1
TH2: 24 2 x2 2x3 x32 x 2 4x3 8 2( x 2 2)
2 2
x
x
Trang 5 x=2 Vậy nghiệm của PT là: x = 1; x = 2