XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ P - ADIC
Các khái niệm cơ bản
Giá trị tuyệt đối trên K, ký hiệu là | |, là một ánh xạ từ tập K vào tập các số thực không âm, và nó phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1
1.1.2 Ví dụ về giá trị tuyệt đối trên trường
Ví dụ 1 Trường các số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa
Ví dụ 2 Cho K là một trường tùy ý Anh xạ là một giá trị tuyệt đối trên trường K và được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường
Giả sử | | là một giá trị tuyệt đối trên trường K, hàm d từ K x K vào tập các số thực không âm được xác định bởi d(x,y) = |x - y| là một mêtric trên trường K Mêtric này được gọi là mêtric tương ứng với giá trị tuyệt đối | | Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của giá trị tuyệt đối.
Hai giá trị tuyệt đối | | 1 và | | 2 trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô tương ứng của chúng là nhƣ nhau Kí hiệu | |1 ~ | | 2
Giả sử | | 1 , | | 2 là hai giá trị tuyệt đối trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương: với mọi với mọi x K với mọi với mọi x K
3 Tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho |x| 1 = | | với mọi x K
4 (x n ) là dãy Cauchy đối với | |1 ⟺ (x n ) là dãy Cauchy đối với | | 2
Với mọi x K, giả sử |x| 1 ≤ 1 ta cần chứng minh |x| 2 ≤ 1
Giả sử ngƣợc lại, tức là |x| 2 > 1 Ta có suy ra Điều này vô lý vì |x|1 ≤ 1 Vậy |x|2 ≤ 1
2) ⇒ 1) Chứng minh tương tự như trên
• Nếu chuẩn | |1 tầm thường thì chuẩn | |2 cũng tầm thường
Thật vậy, với mọi x K, x ≠ 0 ta giả sử |x| 1 = 1 Nếu |x| 2 ≠ 1 thì ta xét hai trường hợp sau
Do đó |x|2 = 1 hay chuẩn | |2 là tầm thường Vậy | |1 ≡ | |2
• Nếu chuẩn | |1 không tầm thường thì tồn tại x 0 K sao cho |x0| 1 > 1, do đó |x0|1 > 1 Đặt |x0|1 = a và |x0|2 = b
Khi đó, với mọi x K ta viết |x|1=a α , a = logα |x| 1 Ta chứng minh |x| 2 = b α
Thật vậy, xét m n > α ta có do đó suy ra |x|2 <
Khi m n → α ta có |x| 2 ≤ b α Tương tự nếu lấy α > m n Ta có |x| 2 ≥ b α
Giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |1 , nghĩa là
|x n - x m | 2 → 0 khi m,n → ∞ Vậy {x n } là dãy Cauchy đối với chuẩn | | 2
Giả sử |x| 1 < 1 ta cần chứng minh |x| 2 < 1
Từ giả thiết |x| 1 < 1 suy ra x n → 0 đối với chuẩn | | 1 Do đó {x n } là dãy Cauchy đối với
| | 1 hay là dãy Cauchy đối với | | 2 Điều này có nghĩa là x n+1 - x n → 0 đối với chuẩn | | 2 hay x n (x - 1) → 0 đối với chuẩn | |2
Do đó |x n |2 |1-x|2 → 0 Mà |1 - x|2 ≠ 0 suy ra |x n |2 → 0 hay |x|2 n 0 ⇒ |x n | = |x| Một dãy hội tụ thì dãy các giá trị tuyệt đối tương ứng là dãy dừng
Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:
1 | | là giá trị tuyệt đối phi Archimede
Xây dựng trường số p-adic
Giả sử p là một số nguyên tố nào đó Với mỗi a Z, a ≠ 0 ta gọi ordpa là số mũ của p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố
Nếu a = 0 thì ta quy ước ord p a = ∞
Giả sử p là một số nguyên tố nào đó Với mỗi x Q, ta giả sử x = a b trong đó a, b
Z, (a, b) = 1 Ta định nghĩa ord p x = ord p a - ord p b
Trên trường Q nếu ta định nghĩa ánh xạ | | P như sau thì | | P là một giá trị tuyệt đối phi Archimede
Tất cả giá trị tuyệt đối không tầm thường trên trường Q đều tương đương với |P|, trong đó p là một số nguyên tố, hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q.
1 Nếu ||2|| > 1 thì || || là chuẩn Archimede
Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + +as2 s , trong đó
≤ 2 sα C ( Vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ) ≤ n α C
Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≤ n α Mặt khác, do 2 S ≤ n < 2 S+1 nên ta có
Cho k → ∞ ta đƣợc ||n|| ≥ n α Vậy ||n|| = n α với mọi n
2 Nếu ||2|| ≤ 1 thì || || là chuẩn phi Archimede
Từ giả thiết ||2|| ≤ 1, suy ra ||n|| ≤ 1 với mọi n thuộc N Do || || là chuẩn không tầm thường, tồn tại n thuộc N sao cho ||n|| < 1 Gọi p là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn ||p|| < 1, khi đó p là số nguyên tố Gọi q là số nguyên tố khác p, và chúng ta sẽ chứng minh rằng ||p|| = 1.
Giả sử ||p|| < 1 vì (q k ,p k ) = 1 nên tồn tại m,n Z sao cho mp k + nq k = 1
Cho k → ∞ ta đƣợc 1≤ 0 , điều này vô lý Vậy ||q|| = 1
Lấy n N, giả sử x = p α p 1 α1 p k αk Ta có
1.2.5 Xây dựng trường số số p-adic Q p
Theo định lý Oxtropxki, giá trị tuyệt đối trên Q có hai loại: giá trị tuyệt đối thông thường | | và giá trị tuyệt đối phi Archimede | |p Khi làm đầy đủ Q theo | |, ta thu được trường số thực R Tương tự, khi làm đầy đủ Q theo | |p, ta sẽ hình thành một trường mới, được gọi là trường các số p-adic Qp.
Cụ thể cách xây dựng nhƣ sau:
Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo | | Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau
Ta gọi Q p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và ta trang bị cho
Q p hai phép toán cộng và nhân nhƣ sau:
Trường số p-adic Qp được hình thành từ Qp với phép toán cộng và phép toán nhân Trong đó, trường Q được coi là một trường con của Qp thông qua ánh xạ i: Q → Qp, với a được biểu diễn dưới dạng { ̅}.
Giá trị tuyệt đối trên Qp xác định nhƣ sau
1.2.6 Định nghĩa đổng dƣ trong Q
Với a, b Qp ta nói a = b (mod p N ) nếu |a-b| p < p -N
Từ định nghĩa ta có nhận xét: Nếu a, b Z thì định nghĩa đồng dƣ trong Qp sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số nguyên Z
1.2.7 Vành các số nguyên p-adic
Tập hợp Z p = {a Q p / |a| p ≤ 1} cùng với phép toán cộng và nhân trong Q p lập thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Z p là
Biểu diễn p-adic của số α trong Q p
Ta biết rằng nếu α Qp thì ta có thể viết α = { ̅} với {ai} là dãy Cauchy nào đó trong
Q Tuy nhiên nếu| α |p ≤ 1 thì ta có thể chọn {ai} thỏa mãn định lý sau đây
Với mỗi dãy α Qp mà | α |p ≤ 1 có duy nhất một đại diện là dãy Cauchy các số tự nhiên {a i } thỏa mãn:
Do {ai} là dãy Cauchy trong Q nên với mọi > 0 tốn tại N sao cho với moi i, i'>
Chọn n > N, khi đó với mọi i > N sao cho |ai- an|p < ε
1.3.3 Biểu diễn p-adic của số a trong Qp i) Với các {ai} thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.3.1, ta có thể viết ai=b0+b1p + + bi- 1 p i-1 đó 0 ≤ bi ≤ p - 1 với i=1,2,3, Khi đó với mỗi α Z p ta có
Theo bổ đề 1.3.2 ta có thể viết a dưới dạng
Biểu diễn p-adic của a trong Zp là công thức quan trọng trong lý thuyết số Nếu α ∈ Qp không thỏa mãn điều kiện |α|p ≤ 1, chúng ta cần nhân α với một số pm thích hợp để tạo ra α’ = α pm sao cho |α’| ≤ 1 Theo định lý 1.3.1, từ đó chúng ta có thể chọn một dãy {bi} phù hợp.
Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng
Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp.
Bổ đề Hensel
Các phép toán số học như cộng, trừ, nhân và chia trong Qp thực hiện khá dễ dàng Tuy nhiên, việc khai căn số nguyên và tìm nghiệm cho một phương trình trong Qp thường gặp khó khăn Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng sẽ hỗ trợ chúng ta trong việc giải quyết những vấn đề này.
Cho F(x) = c0 +C1x + + cnx n Zp có đạo hàm
Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p) Khi đó, tồn tại duy nhất a
Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p)
Nếu x Q và |x|p ≤ 1 thì với mọi i N, tồn tại α Z sao cho |α - x|p ≤ p -i Hơn nữa, số α có thể chọn trong tập {0, 1, 2, , p i - 1}
Giả sử x = a b Q, (a,b) =1 Do |x|p ≤ 1 nên (b,p) =1 từ đó ta thấy b và p i là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó tồn tai m,n Z sao cho mb +np i =1 Đặt α = am Z, khi đó:
Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2, , p i - 1} Thật vậy, ta viết α dưới dạng α
Vậy ta có thể tìm đƣợc r {0,1,2, , p i -1} sao cho | α - x| p ≤ p i
1.4.3 Bổ đề Hensel mở rộng
Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a 0 trong Z P thỏa thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và
Trước hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2, , an thỏa
Ta xây dựng bằng quy nạp theo n
Ta chọn ̃ {0,1, , p m+1 -1 } sao cho ̃ ≡ a 0 (mod p m+1 ) khi đó ̃ thỏa (1),(2) và (3), tức là : Đặt a1 = ̃ +b 1 p m+1 , trong đó b1 {0,1, , p-1} Khi đó:
Hiển nhiên a1 ≥ 0 và a1 < p m+2 vì nếu a1 ≥ p m+2 thì ̃ +b1p m+1 ≥ p m+2 hay ̃ ≥ p m+2 - (p - 1) p m+1 = p m+1 > p m+1 - 1 Điều này trái với giả thiết về cách trọn ̃
Từ giả thiết suy ra theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại α {0,1 , ,p-1} sao cho do đó
Mặt khác, từ giả thiết bằng cách lý luận tương tự như trên ta cũng có suy ra
Từ giả thiết suy ra do đó theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b 1 {0, 1, , p-1} sao cho từ đó ta có đồng dƣ thức sau
Giả sử chúng ta đã chọn a1, a2, , a n-1 thỏa mãn các điều kiện (1), (2) và (3) Để tìm giá trị an thỏa các điều kiện này, ta đặt an = a n-1 + b n p m+n Với cách đặt này, chúng ta có thể thấy an thỏa mãn (1) và (2), và cần chứng minh rằng an cũng thỏa (3), tức là F(an) ≡ 0 (mod p 2m+n+1) Từ cách đặt an, chúng ta có thể tiếp tục phân tích.
Mặt khác, vì ,suy ra
Theo giả thiết quy nạp, ta có
Bằng cách lý luận tương tự như phần chứng minh trong trường hợp n = 1 thì tồn tại duy nhất α’ {0,1 , p-1} sao cho
Mặt khác, từ Áp dụng bổ đề 1 4.2, tồn tại duy nhất β {0,1, , p-1}sao cho hay
Từ giả thiết suy ra Áp dụng bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất bn {0, 1, , p-1} thỏa hay
Từ đó bằng cách chọn
Khi đó, a là duy nhất vì ̃ và b i ,i =1,2 đƣợc chọn là duy nhất và
Vậy F (an) = 0 Từ cách chọn a ta có a ≡ ̃ ≡ a0 (mod p m+1 )
Ta thấy rằng với m = 0 thì cách chứng minh bổ đề Hensel mở rộng trùng với cách chứng minh bổ đề Hensel
1.4.4 Ứng dụng của bổ đề Hensel Áp dụng bổ đề Hensel mở rộng ta có thể tìm √ trong Q2
Chọn ̃ {0,1, , 2 2 -1 } sao cho ̃ ≡ 1 (mod 2 2 ) Ta có ̃ =1 và đặt a1 = ̃ + b1p m+1 = 1 + b 1 2 2, với b 1 {0,1} dẫn đến b 1 = 1 thỏa mãn điều kiện Tiếp theo, đặt a2 = a1 + b2 2 3 và chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 2 5 ), từ đó tìm được b2 = 0 Cuối cùng, đặt a3 = a2 + b3 2 4 và chọn b3 {0,1} sao cho F(a3) ≡ 0 (mod 2 6 ), dẫn đến b3 = 1.
Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được nghiệm của phương trình
Vậy giá trị của √ trong Q2 chính là a
PHÂN PHỐI P-ADIC
Hàm hằng địa phương
Chúng tôi giới thiệu khái niệm hàm hằng địa phương trong không gian tô pô bất kỳ, một khái niệm quan trọng trong lý thuyết độ đo và tích phân trên trường số p-adic.
Cho X và Y là các không gian tôpô Ánh xạ f: X → Y được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi x X thì tồn tại một lân cận U của x sao cho f(U) là một một điểm của
Từ định nghĩa hàm hằng địa phương chúng ta rút ra được nhận xét sau
1 Nếu f là hàm hằng địa phương thì f là hàm số liên tục Điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa hàm hằng địa phương
2 Nếu Y là T1 không gian và f: R → Y là hàm hằng địa phương thì f là hàm hằng trên
Thật vậy, lấy a f(R) Ta chứng minh f -1 (a) là tập mở trong R
Từ f -1 (a) suy ra f(x) = a, cho thấy f là hàm hằng địa phương Tồn tại lân cận Ux của x sao cho f(Ux) = {a}, dẫn đến Ux ⊂ f -1 (a), tức là f -1 (a) là tập mở Đồng thời, vì Y là không gian T1 và f là hàm liên tục, nên f -1 (a) cũng là tập đóng Kết hợp lại, ta có ∅ = f -1 (a) ⊂ R, suy ra f -1 (a) = R, từ đó khẳng định rằng f là hàm hằng trên R.
Trên trường số thực R, không tồn tại hàm hằng địa phương; nếu có, chúng chỉ là hàm hằng thông thường Ngược lại, trong trường số P-adic Q p, có nhiều ví dụ về hàm hằng địa phương Dưới đây là một ví dụ minh họa cho điều này.
Cho U là tập mở compact của Z p và f : Z p → Q p là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi khi đó f là hàm hằng địa phương
Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U Ta chọn Ux = U, khi đó f(U x ) ={1}
Nếu f(x) = thì x X\U Đặt Ux = X \U Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f -1 (Ux)
= {0} Vậy f là hằng địa phương
Hàm đặc trưng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phương Nhờ vào các hàm đặc trưng này, chúng ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phương trên không gian này.
Z p Cụ thể ta có mệnh đề sau
Giả sử X là một tập mở compact trong Qp, hàm f: X → Qp được coi là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact nằm trong X.
Giả sử f là hàm hằng địa phương, với mọi điểm x trong không gian X, ta có thể chọn một lân cận Ux của x sao cho f(Ux) chỉ chứa một điểm duy nhất Điều này dẫn đến việc X có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các lân cận Ux.
X là tập compact nên ta có thể viết X dưới dạng hợp hữu hạn của các Ux Do đó f(X) là tập hữu hạn
Giả sử f(X) = {a1, a2, , an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j Đặt U i = f -1 (a i ) với mọi i = ̅̅̅̅̅ Do f là hàm số liên tục nên U i là tập mở compact với mọi i = ̅̅̅̅̅ và U i ∩ U j = ∅ nếu i ≠ j
Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2, ,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui với mọi i ≠ k
Ngƣợc lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X ,
Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2, , n} thì
Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}
Nếu tồn tại i sao cho x thuộc Ui, ta giả sử {1,2, ,n} = I ∩ J với x thuộc Ui (i ∈ I) và x không thuộc Ui (i ∈ J) Do đó, x không thuộc ⋂ Đặt U’ = X \ ⋂, khi đó U’ là tập mở Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i.
Vậy f là hàm hằng địa phương.
Phân phối p-adic
Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối p- adic
Một phân phối p-adic trên không gian X là một ánh xạ cộng tính từ tập hợp tất cả các tập mở compact trong X vào Qp Cụ thể, nếu U là một tập con của X và có thể được biểu diễn dưới dạng hợp của các tập mở compact rời nhau, tức là U = ⋃ Ui (với i = 1, 2, , n), thì giá trị của phân phối tại U được tính bằng tổng của các giá trị phân phối tại từng tập hợp Ui, tức là μ(U) = ∑ μ(Ui).
Cho μ là một phân phối p-adic trên không gian X, và với mọi tập mở compact U trong X, ta có μ(U) Khi đó, μ là một hàm tuyến tính Qp từ không gian véctơ Qp của các hàm hằng địa phương trên X đến Qp Ngược lại, μ cũng có thể được xem như một hàm tuyến tính Qp.
Q p -không gian véctơ của các hàm hằng địa phương trên X đến Q p và với mọi tập mở compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X
• Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X Ta cần chứng minh: trong đó f, g là các hàm hằng địa phương trên X và a Qp
Trước tiên, chúng ta chứng minh: Nếu A1, A2 và B là các tập con mở compact trong
X, A 1 ∩ A 2 = ∅ và với mọi α Qp thì
Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: μ( ) = αμ( )
Tổng quát: Nếu A1, A2, A3, , Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau trong X thì
Do f và g là các hàm hằng địa phương trên không gian X, chúng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hợp của các hàm trong các tập con mở compact A1, A2, ,Am và B1, B2, ,Bn, với các tập này là rời nhau Khi đó, với α thuộc Q và P, ta có thể áp dụng các tính chất của các hàm này trong bối cảnh nghiên cứu.
Tiếp theo ta chứng minh μ (f + g) = μ(f) + μ(g)
Mặt khác, do và do tính chất cộng tính của μ, ta có
Lý luận tương tự, ta cũng có
Ngược lại, giả sử μ là một hàm tuyến tính Qp-phiếm từ không gian véctơ của các hàm hằng địa phương trên X đến Qp Đối với mọi tập mở compact U trong X, chúng ta chứng minh rằng μ là một phân phối trên X Cụ thể, nếu U ⊂ X và U_i là các tập con mở compact không giao nhau trong X.
Hiển nhiên ta có do đó
Theo định nghĩa về phân phối, để xác định phân phối μ trên tập compact X ⊂ Zp, cần biết giá trị μ(U) cho mọi tập mở compact U ⊂ X Tuy nhiên, thực tế chỉ cần biết giá trị μ(a + (pN)) là đủ Mệnh đề này cho thấy sự đơn giản trong việc xác định phân phối trên các tập hợp này.
Mọi ánh xạ μ từ tập các khoảng a +(p N ) ⊂ X đến Q p thỏa có thể thác triển một cách duy nhất đến một phân phối p-adic trên X
Mọi tập mở compact U ⊂ X có thể được biểu diễn dưới dạng hợp hữu hạn các khoảng Ii, với U = ∪ Ii Dựa trên định nghĩa này, chúng ta có thể xác minh rằng giá trị μ(U) không phụ thuộc vào cách phân chia U thành các khoảng.
Thật vậy, giả sử U = ∪ Ii và U = ∪
Lý luận tương tự như trên, ta cũng có
Nếu I i = a + (p N ) thì I ij =a’ +(p N ) , trong đó N' là một số tự nhiên cố định N'> N và a’
≡ a(mod p N ) Vì vậy, bằng việc áp dụng nhiều lần đẳng thức đƣợc cho trong mệnh đề, ta đƣợc do đó
Để kết thúc chứng minh, cần chứng minh rằng μ có tính chất cộng tính Giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng U_i, ta có thể viết U_i là hợp rời nhau của các khoảng con.
Một số phân phối p-adic thường dùng
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số phân phối p-adic thường dùng như: Phân phối Haar, phân phối Dirac và phân phối Mazur
Cho một khoảng bất kỳ trong Zp, định nghĩa ánh xạ μHaar là μHaar = (a + (p N )) = 1 p N Ánh xạ này được mở rộng thành một phân phối trên ZP và được gọi là phân phối Haar.
Với a Zp cố định, ta định nghĩa ánh xạ μα trên tập mở compact U ⊂ Zp nhƣ sau:
Ta thấy μα có tính chất cộng tính, do đó μα là một phân phối và đƣợc gọi là phân phối Dirac
Cho (a + (p N )) là một khoảng bất kỳ trong Zp Ta định nghĩa ánh xạ μMazur nhƣ sau:
Khi đó μMazur có tính chất cộng tính trong mệnh đề 2.2.3 vì
Vậy μMazur là một phân phối và dƣợc gọi là phân phối μMazur
Sau đây chúng ta sẽ dùng mệnh đề 2.2.3 để khẳng định ánh xạ μ trong mệnh đề 2.3.4 dưới đây lầ một phân phối trên Zp
Với a Z p , giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + + a k p k + nghĩa hàm μ trên khoảng a + (p N ) như sau trong các trường hợp còn lại
Khi đó, μ là một phân phối p-adic trên Z p
Chứng minh Để chứng minh μ thác triển tới một phân phối p-adic trên Zp, theo mệnh đề 2.2.3 ta cần chỉ ra:
Xét hai khả năng sau:
Khả năng 1 Tồn tại ak ≠ 0 trong [N/2] hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của a ứng với p mũ lẻ Theo dịnh nghĩa μ, ta có do đó,
Khả năng 2 Trong khai triển p-adic của a các hệ số
Ta xét hai trường hợp sau
• Trường hợp 1 Xét N là số chẩn, giả sử N = 2M Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng:
Từ giả thiết của mệnh đề ta có: và
2 ] = M và ta thấy trong khai triển p-adic của a + bp N có M hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu, vì vậy theo định nghĩa μ ta có do đó,
• Trường hợp 2 Xét N là số lẻ, giả sử N = 2M + 1 Khi đó, khai triển p-adic của a có dạng: trong đó có M số ak đầu tiên triệt tiêu với k-lẻ Do đó:
Với 0 ≤ b < p - a2M+l ta luôn có 0 < a2M+1 ≤ a2M+1 +b < p.Do đó,
Với b = p- a2M+l, suy ra a2M+l + b = p Do đó, hệ số của p 2M+1 trong khai triển p-adic của a + bp N bằng 0
Khi xét điều kiện p - a2M+1 < b ≤ p - 1, ta có a2M+1 + b > p Giả sử a2M+1 + b = pq + r với 0 ≤ r < p Nếu r = 0, thì a2M+1 + b sẽ chia hết cho p, dẫn đến a2M+1 + b bằng 0 hoặc p, điều này mâu thuẫn với giả thuyết a2M+1 + b > p Do đó, hệ số của p2M+1 trong khai triển p-adic của a + bpN sẽ là r ≠ 0 cho mọi b thỏa mãn điều kiện p - a2M+1 < b ≤ p - 1.
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƯỜNG SỐ P-ADIC
Khái niệm về độ đo và tích phân trong Q p
Một phân phối μ trên không gian X được coi là một độ đo nếu giá trị của nó trên các tập mở compact U ⊂ X bị giới hạn bởi một hằng số B nào đó Cụ thể, điều này có nghĩa là |μ(U)| p ≤ B cho mọi tập mở compact U.
Tổng hai độ đo là một độ đo và nhân một số khác 0 trong Qp với một độ đo cũng là một độ đo Điều này cho thấy tập hợp tất cả các độ đo trên X, cùng với hai phép toán cộng và nhân, tạo thành một không gian véc tơ trên Qp Hơn nữa, nếu μ là một độ đo, thì có thể tìm thấy a trong Zp, với a khác 0, sao cho aμ thuộc Zp.
Một phân phối p-adic μ là độ đo nếu và chỉ nếu tồn tại a Z p , a ≠ 0 sao cho aμ lấy giá trị trong Z p
Giả sử n là một độ đo trên X và U là một tập mở compact bất kỳ trong X Do μ là một độ đo nên tồn tại B R sao cho | μ (U)| p ≤ B
Nếu chọn a Zp, a ≠ 0 sao cho |a|p ≤ 1
Ngƣợc lại, giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong X và aμ lấy giá trị trong Z p Khi đó,
Vậy μ là một độ đo trên X
Để định nghĩa tích phân trong trường số thực R, ta sử dụng giới hạn của tổng Riemann Tương tự, trong trường số p-adic Qp, tích phân cũng được xây dựng dựa trên ý tưởng này.
Cho hàm f và μ là một phân phối trên Zp Đối với mọi N, chúng ta chia Zp thành các đoạn, giả sử xa,N là một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (p N ) Từ đó, chúng ta định nghĩa tổng Riemann thứ N của hàm f tương ứng với {x a,N }.
Chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về hàm liên tục và phân tích tổng Riemann của nó bằng cách chọn điểm xa, N, theo hai phương pháp khác nhau Giả sử μ = μHaar và xem xét hàm đơn giản f: Zp →
Zp đƣợc cho bởi f(x) = x Trong thí dụ này ta có tổng Riemann
* Nếu chúng ta chọn điểm xa,N = a a+(p N ) thì chúng ta thu đƣợc tổng này có giới hạn bằng - 1
* Nhƣng nếu chúng ta chọn điểm xa,N =a +a0p N a+(p N ) trong đó a0 Zp cố định thì chúng ta thu đƣợc tổng này có giới hạn bằng a0 - 1
Trong trường hợp tổng Riemann, không tồn tại một giới hạn duy nhất mà nó phụ thuộc vào việc chọn điểm x a,N trong khoảng a + (p N ) Vấn đề quan trọng là xác định khi nào tổng Riemann có duy nhất một giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn điểm xa,N trong khoảng này Định lý sau đây sẽ cung cấp tiêu chuẩn để nhận biết tổng Riemann có duy nhất một giới hạn.
Giả sử n là một độ đo p-adic trên X và f : X → Q p là một hàm liên tục Tổng Riemann sẽ hội tụ đến một giới hạn trong Q p khi N tiến tới vô cực, và giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa.N thuộc khoảng a+(p N ).
Do μ là độ đo nên với mọi tập mở compact U ⊂ X ta luôn có | μ(U)|p ≤ B, với B Trước tiên, với mọi M > N chúng ta ước lượng
Chúng ta xem xét tập hợp X là hợp hữu hạn của các khoảng, chọn N đủ lớn để đảm bảo rằng mỗi khoảng a + (pN) hoặc là tập con của X hoặc là rời với X Sử dụng tính chất cộng tính của μ, chúng ta có thể viết lại tổng Riemann SN,{a,N}(f) theo cách mà ̅ ≡ a (mod pN) với điều kiện 0 ≤ ̅ < pN.
Với mọi x, y trong không gian X, nếu x ≡ y (mod p N), thì với bất kỳ ɛ > 0 nào, chúng ta có thể chọn N đủ lớn Điều này cho thấy rằng, do X là không gian compact, tính liên tục của hàm f dẫn đến tính liên tục đều của f.
Khi đó, vì ̅ ≡ xa,M (mod p N ), ɛ > 0 bé tùy ý và B là hằng số cố định
Vậy tổng Riemann có duy nhất một giới hạn, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {xa,N} vì lý luận tương tự như trên ta có
Tổng Riemann và giới hạn của nó được chứng minh là duy nhất trong định lý 3.1.4, tạo nền tảng cho tính hợp lý của định nghĩa sau đây.
Nếu f: X → Q p là một hàm liên tục và μ là một độ đo trên X thì theo định lý 3.1.4 tổng
Tích phân p-adic của hàm f, ký hiệu ∫, được định nghĩa là giới hạn của tổng Riemann, và Riemann S N{xa,N} (f) có duy nhất một giới hạn trong không gian Q p.
Từ định nghĩa ta có nhận xét 3.1.6 sau
1 Ta đã biết, với mọi tập mở compact U trong X thì hàm đặc trƣng χU là hàm liên tục
Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của χU bằng μ(U) Vậy
2 Nếu f là hàm hằng địa phương trên X thì theo mệnh đề 2.1.4 ta có thể viết f dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trƣng của các tập mở compact trong X Giả sử
, trong đó Ui là các tập mở compact trong
X Khi đó, với mọi phân phối p-adic μ ta thấy giới hạn của tổng Riemann của hàm f bằng
Nhận xét 3.1.6 cho phép tính tích phân của hàm hằng địa phương theo phân phối p-adic Dưới đây là một ví dụ minh họa cho điều này.
Cho f: Z P → Q P xác định bởi f(x) = i với i là hệ số đầu tiên trong khai triển p-adic của x, x Zp Khi đó,
Giả sử khai triển p-adic của x có dạng: x = i +a1p +a2p 2 + trong đó i {0,1, , p-1} và x ≡ i (mod p) hay x i +(p)
Khi đó, ta có thể viết f dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact A i trong Z P nhƣ sau:
Theo nhận xét 3.1.6, ta có
3 Nếu μ = μ Mazur thì Đây là điều cần chứng minh
Cho p là một số nguyên tố lẻ và với mọi a thuộc tập hợp {0, 1, , p^N - 1} Ký hiệu S_a là tổng tất cả các hệ số trong khai triển p-adic của a Ta định nghĩa ánh xạ μ trên khoảng a + (p^N) như sau: μ(a + (p^N)) =
1 μ là một độ đo trên Z p
2 là hàm chẵn liên tục
1 Trước tiên, chúng tôi chứng minh μ là một độ đo trên Zp, tức là
Thật vậy, với mọi a {0,1, , p N -1} ta có thể giả sử khai triển p-adic của a có dạng do đó
Theo giả thiết của mệnh đề ta rút ra đƣợc
(do p là số nguyen tố lẻ)
Cuối cùng, ta chỉ ra μ là một độ đo trên Z p Giả sử U là tập mở compact bất kỳ trong
Z p , ta có thể giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng I i , tức là U = ∪ I i
Vậy μ là một độ đo trên Zp
Nếu chúng ta chọn thì tổng Riemann đƣợc viết lại nhƣ sau nhƣng do đó hay
Từ định nghĩa tích phân ta có kết quả sau
Cho f : X → Q p là hàm liên tục và | f(x)| p ≤ A với mọi x X Nếu với mọi tập mở compact U ⊂ X thỏa |μ(U)| p ≤ B thì |∫ | p ≤ A.B
Theo định nghĩa tích phân, ta có trong đó suy ra do đó
Hệ quả sau đƣợc suy ra trực tiếp từ từ mệnh đề 3 1 9
Nếu f,g: X → Q p là hàm liên tục thỏa |f(x) - g(x)| p ≤ ɛ với mọi x X và|μ(U)| p ≤ B với mọi tập mở compact U ⊂ X thì
Theo mệnh đề 3.1.9, ta đƣợc hay
Sau đây, chúng tôi xây dựng một số mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo.
Mở rộng khái niệm tích phân
Một phân phối μ trên X được gọi là "boundedly increasing" nếu
Giả sử μ là một phân phối "boundedly increasing" trên X và f là hàm từ X đến Q p thỏa điều kiện Lipshitz, tức là với mọi x,y X thì tồn tại A R sao cho
Khí đó, tổng Riemann hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N → ∞ mà nó không phụ thuộc vào việc chọn điểm x a,N thuộc khoảng a+(p N )
Với mọi M >N chúng ta ƣớc lƣợng
Ta viết tổng Riemann SN,{xa,N} (f ) nhƣ sau trong đó ̅ ≡ a(mod p N ) và 0 ≤ ̅ < p N
Do f thỏa điều kiện Lipshitz nên tồn tại A R sao cho
Vậy Điều này có nghĩa là tổng Riemann có duy nhất một giới hạn Hơn thế nữa, giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn {x a,N }
Thật vậy, lý luận tương tự như trên ta cũng có
Sau đây là một ví dụ về phân phối "boudedly increasing" và tích phân ứng với phân phối này
Giả sử μ là phần phối trong mệnh đề 2.3.4 Khi đó, μ là phân phối "boudedly increasing" và nếu hàm f :Z p → Z p được cho bởi f(x) = x với mọi x Z p thì
Khai triển p-adic của a có dạng a = a0 + a1p + + akpk + và để chứng minh, chỉ cần xem xét trường hợp trong khai triển p-adic của a có [N/2] hệ số đầu tiên ứng với p mũ lẻ triệt tiêu Điều này có nghĩa rằng, với N = 2M hoặc N = 2M + 1, ta luôn có kết quả nhất định.
Vậy μ là phân phối "boudedly increasing"
Xét trường hợp N chẩn với N = 2M, ta khai triển p-adic của a và nhận thấy rằng trong khoảng [N/2], hệ số đầu tiên tương ứng với p mũ lẻ phải có ít nhất một hệ số khác 0 Điều này được xác định theo định nghĩa tích phân.
Cho r là một số thực dương Hàm f :Z p → Q p được gọi là kiểu r nếu tồn tại A R sao cho với mọi x, y Z p thì
Nếu f là hàm kiểu r, thì f sẽ là hàm liên tục đều và nếu r ≥ 1, f sẽ thỏa mãn điều kiện Lipshitz Cụ thể, với mọi ɛ > 0 và mọi x, y thuộc Zp, do f là hàm kiểu r, nên tồn tại một hằng số A thuộc R sao cho
Nếu chúng ta chọn thì với mọi x,y Zp :|x -y|p < δ ta luôn có
Vậy f là hàm liên tục đều
Bây giờ, ta chứng minh nếu r ≥ 1 thì f thỏa điều kiện Lipshitz
Do f là hàm kiểu r nên
Mặt khác, vì x,y Zp suy ra | x -y|p ≤ 1 do đó với r ≥ 1 ta luôn có
Vậy f thỏa điều kiện Lipshitz
Giả sử μ là một phân phối trên Zp với s là số thực dương và f là hàm kiểu r (r ≥ s) Khi đó, tổng Riemann sẽ hội tụ đến một giới hạn trong Qp khi N tiến đến vô cực, và giới hạn này không phụ thuộc vào việc chọn điểm xa, N thuộc khoảng a + (pN).
• Ta viết Zp là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng a + ( p N ), tức là:
Khi đó, với mọi M > N, dùng tính chất cộng tính của μ ta viết lại tổng Riemann { } (f) nhƣ sau: trong đó
Mặt khác, do f là hàm kiểu r nên tồn tại A R sao cho nhƣng vì hay
Vậy với mọi số thực dương s < r, ta luôn có
Tổng Riemann có một giới hạn duy nhất, và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn tập hợp {x a,N} Bằng cách áp dụng lý luận tương tự, ta có thể khẳng định điều này.
Độ đo và tích phân Bernoulli
Phân phối Bernoulli μB,0 tương đương với phân phối Haar μHaar, nhưng μHaar không phải là một độ đo trên Zp Do đó, không phải mọi phân phối Bernoulli đều có thể coi là độ đo Để chuyển đổi phân phối Bernoulli thành độ đo, có một phương pháp chuẩn được gọi là sự chính quy hóa (regularizations).
Chúng ta đƣa ra một số kí hiệu đƣợc dùng trong mục này: Với α Zp ta kí hiệu { α } N là số nguyên thỏa
Giải sử α ≠ 1 là một số nguyên bất kỳ không chia hết cho p Ta định nghĩa ánh xạ μB,k,a (viết tắt là μk,a) nhƣ sau
Ta đã xác định rằng μ Bk là một phân phối trên Z p, do đó μ k,a cũng là một phân phối trên Z p Hơn nữa, chúng ta sẽ chứng minh rằng μ k,a là một độ đo Để làm rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét một số trường hợp cụ thể.
Từ đó, ta có thể chứng minh trực tiếp μ1, α là một độ đo trên Zp
3.3.3 Mệnh đề với mọi tập mở compact U ⊂ Z p Chứng minh
Theo nhận xét 3.3.2, ta có trong đó do đó
Mặt khác, với mọi tập mở compact U ⊂ Z p đều là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii, U = ∪ Ii Từ đó suy ra
Từ mệnh đề 3.3.3, ta nhận thấy rằng độ đo μ1, α trên Z p tương tự như "dx" trong tích phân trên trường số thực Định lý 3.3.4 sẽ trình bày mối quan hệ giữa μ1, α và μ k, α Để minh họa cách chứng minh định lý, chúng ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể, trong đó chúng ta cần tính tích phân ∫ (√) trên trường số thực R Phương pháp đơn giản để giải quyết là thực hiện phép đổi biến x ⟼ x k, giúp thu được tích phân đơn giản hơn ∫.
Thực ra, chúng ta có thể hiểu d(xk) như là "độ đo" μk trên đường thẳng thực được định nghĩa bởi μk ([a,b]) = b k - a k Khi đó, μ1 là khái niệm độ dài thông thường
Tỷ số có nghĩa là
Vì vậy, trong tổng Riemann trong giới hạn khi tất cả các I i trở nên nhỏ chúng ta có thể thay μ k (I i ) bởi kx k-1 μ 1 ( I i )và ta nhận đƣợc
Thực sƣ, việc chứng minh là dùng khai triển nhị thức (a + h) k trong đó h=b-a cụ thể là
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức (a + h) k = a k + kha k-1 và tương tự với trường hợp số p-adic, nơi μk,α(I) ~ ka k-1 nếu I là một khoảng nhỏ chứa a Chúng ta áp dụng khai triển nhị thức để minh chứng cho điều này Định lý 3.3.4 được hiểu tương tự như định lý (d/ dx) (x k ) = kx k-1 từ tính toán trên trường số thực Lưu ý rằng khi chia dk hai vế của đồng dư thức trong định lý 3.3.4, chúng ta cần thay thế p N.
, trong đó ordpd k là một hằng số mà không có ý nghĩa khi N đủ lớn
Giả sử d k là mẫu số chung nhỏ nhất của các hệ số của đa thức Bernoulli B k (x) Khi đó,
(mod p N ) trong đó hai vế của đồng dư thức nằm trong Z p
Theo mệnh đề 2.4.3, ta có do đó
Lưu ý rằng: αa ≡ { αa }( mod p N ) và {αa } N p N = αa p N - [ ] nên ta có đồng nhất thức sau
Mệnh đề sau là một hệ quả trực tiếp của định lý Mệnh đề khẳng định μk,a là độ đo trên
Phân phối μ k,a là một độ đo với k {1,2,3, } và α Z, α ≠ 1, α ∉ pZ
Ta chỉ cần chứng minh μ k,α (a + (p N )) bị chặn
Thật vậy, theo định lý 3.3.4 ta có phương trình đồng dư sau Điều này có nghĩa là do đó hay
Vì và dk cố định nên bị chặn
Sau đây là một ví dụ cụ thể về tích phân ứng với độ đo Bernoulli 3.3.6.Ví dụ
Theo nhận xét 3.3.2, ta có
Với mọi x Z * p giả sử khai triển p -adic của x có dạng x = a0 + a1p + + aNp N +
Do x Z * p nên a 0 ≠ 0 Khi đó, đặt g(x) = 1 a 0 , ta có suy ra
Ta đã biết với mọi tập mở compact U trong Zp *
, ta luôn có do đó điều này có nghĩa là
Mặt khác, ta viết Zp * dưới dạng và nếu x Zp * thì tồn tại a
{1,2, , p-1} sao cho x a +(p) hay x ≡ a (mod p), do đó g(x) = 1 a Vậy ta có thể viết hàm g dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng
Từ đó ta tính đƣợc tích phân cụ thể là
2 Nếu p = 2, α = 5 thì và với mọi x Z 2 * ta giả sử khai triển p-adic của x có dạng: x = a0 + a12 + a22 2 + Đặt do suy ra
Tương tự như trong (1), ta cũng có
Ta viết Z * 2 dưới dạng: và với x Z * 2 , ta luôn có x ≡ a (mod 2 2 ) suy ra
Giả sử f: Z p → Z p là hàm số xác định bởi f(x) = x k-1 , trong đó k là một số nguyên dương cố định và giả sử X là tập mở compact của Z p Khi đó,
Từ định lý 3.3.4, ta có do đó suy ra
Do đó, theo định nghĩa tích phân ta nhận đƣợc
Nếu ta chọn / là hàm x k'-1 thỏa (mod (p -1)p N ) thì ta có
Theo hệ quả 3.1.10, ta đƣợc
Kết luận rằng với bất kỳ s 0 cố định trong tập {0,1,2, , p-2}, nếu ta đặt một giá trị thích hợp, ta có thể mở rộng hàm k được cho bởi thành một hàm liên tục của số nguyên p-adic.
Vậy trong đó tích phân ở vế phải đƣợc tính nhƣ sau
Nếu thay thế vào biểu thức, ta sẽ có mối quan hệ giữa các tích phân Từ đó, chúng ta có thể áp dụng công thức này để tính toán các tích phân cụ thể.