Độ đo véc tơ và độ đo ngẫu nhiên

Ngày nay, lý thuyet xác suat đã đưoc phát trien manh me ch¾t che trong lýthuyet và có úng dung sâu r®ng trong khoa HQc tn nhiên, khoa HQc xã h®i, côngngh¾, kinh te và nhieu ngành khoa HQ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TÔ LÊ DIỄM HẰNG

ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-TÔ LÊ DIỄM HẰNG

ĐỘ ĐO VECTOR VÀ ĐỘ ĐO NGẪU NHIÊN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Mã số: 60 46 01 06

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG

Hà Nội – Năm 2017

Lài cam ơn

Lu¾n văn này đưoc hoàn thành vói sn hưóng dan t¾n tình và cũng het súcnghiêm khac cna GS.TSKH Đ¾ng Hùng Thang Trưóc khi trình bày n®idung chính cna lu¾n văn, tác gia muon bày to lòng biet ơn chân thành vàsâu sac tói ngưòi thay đáng kính cna mình Thay đã luôn t¾n tình hưóngdan cũng như giai đáp các thac mac cna tác gia trong suot quá trình làmlu¾n văn

Tác gia cũng muon gui tói toàn the các thay cô Khoa Toán - Cơ - Tin HQctrưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, các thay cô đãđam nh¾n giang day khóa Cao HQc 2014 - 2016, đ¾c bi¾t là các thay cô thamgia giang day nhóm xác suat thong kê 2014 - 2016 lòi cam ơn chân thành đoivói công lao day do trong suot thòi gian cna khóa HQc

Tác gia xin cam ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p và các anh ch% em trongnhóm Xác suat thong kê 2014 - 2016 đã quan tâm, giúp đõ, tao đieu ki¾n vàđ®ng viên tinh than đe tác gia có the hoàn thành đưoc khóa HQc này

Tác gia xin chân thành cam ơn!

Hà N®i, ngày tháng năm 2017

HQc viên

Mnc lnc

Lài cam ơn 1

Lài ma đau 2

1 Đ® đo vector 4

1.1 Các tính chat cơ ban cna đ® đo vector 4

1.2 Đ® đo vector c®ng tính đem đưoc 16

2 Tích phân Bochner và tích phân Bartle 22 2.1 Các hàm đo đưoc 22

2.2 Tích phân Bochner 24

2.3 Tích phân Bartle 34

3 Đ® đo vector ngau nhiên 36 3.1 Các dang h®i tu cna dãy bien ngau nhiên X -giá tr% 36

3.2 Đ® đo vector ngau nhiên và tích phân ngau nhiên 37

3.3 H®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên 43

3.4 H®i tu theo phân phoi cna đ® đo vector ngau nhiên 48

3.5 H®i tu yeu cna đ® đo vector ngau nhiên 52

Tài li¾u tham khao 58

4

Lài ma đau

Lý thuyet xác suat là m®t chuyên ngành cna Toán HQc, nghiên cúu cáchi¾n tưong ngau nhiên và quy lu¾t ngau nhiên Tù nhung úng dung cna trò chơimay rni, lý thuyet xác suat đã đưoc phát trien thành m®t ngành HQc có vai tròquan TRQNG trong cu®c song

Ngày nay, lý thuyet xác suat đã đưoc phát trien manh me ch¾t che trong lýthuyet và có úng dung sâu r®ng trong khoa HQc tn nhiên, khoa HQc xã h®i, côngngh¾, kinh te và nhieu ngành khoa HQc khác

Xuat phát tù van đe đo đ® dài, tính di¾n tích và the tích Lý thuyet đ® đo đã

ra đòi và tro thành m®t trong nhung lí thuyet quan TRQNG b¾c nhat cna toánHQc là nen tang toán HQc cho sn phát trien cna Xác suat và Thong kê Sn pháttrien cna lí thuyet đ® đo đã dan đen khái ni¾m đ® đo vector đó là đ® đo màgiá tr% cna nó không nhat thiet là so thnc không âm nua mà là m®tvector hay là phan tu cna m®t không gian Banach tőng quát Lý thuyet nàythu đưoc nhieu ket qua hay và bat ngò, có nhieu úng dung trong các lĩnh vnccna Toán HQc

Muc tiêu cna lu¾n văn là tù cuon sách chuyên khao ve đ® đo vector và bàibáo cna GS TSKH Đ¾ng Hùng Thang tác gia tìm hieu, tőng ket, h¾ thonghóa lai m®t so ket qua chính ve đ® đo vector tat đ%nh và ngau nhiên, chitiet các chúng minh vói mong muon lu¾n văn tro thành m®t tài li¾u chuyênkhao cho van đe này

Trên cơ so đó lu¾n văn đưoc chia thành 3 chương

Chương 1 Đ® đo vector

Trong chương này, tác gia giói thi¾u khái ni¾m đ® đo vecto, các tính chat

cơ ban cna đ® đo vector, đ® đo vector c®ng tính đem đưoc.

Chương 2 Tích phân Bochner và tích phân Bartle

Trong chương này, tác gia trình bày khái ni¾m ve các hàm đo đưoc, đ

%nh nghĩa tích phân Bochner và tích phân Bartle cùng các tính chat có liênquan

Chương 3 Đ® đo vector ngau nhiên

Trong chương này, tác gia trình bày ve đ® đo ngau nhiên, tích phânngau nhiên, h®i tu cna đ® đo vector ngau nhiên, h®i tu theo phân phoi cnađ® đo vector ngau nhiên, h®i tu yeu cna đ® đo vector ngau nhiên Rút raket lu¾n ve moi liên h¾ cna ba loai h®i tu trên

Đe nghiên cúu ve đe tài “Đ® đo vecto và đ® đo ngau nhiên”, tác gia đã

tham khao m®t so tài li¾u trong và ngoài nưóc ve lý thuyet xác suat Trongđó

• N®i dung chính chương 1 cna lu¾n văn tham khao tài li¾u [1], [3], [4], [6]

• N®i dung chính chương 2 cna lu¾n văn tham khao tài li¾u [1], [2], [3], [5], [6]

• N®i dung chính chương 3 cna lu¾n văn tham khao tài li¾u [1], [3], [4], [7]

Chương 1

Đ® đo vector

Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho F là trưòng cna các t¾p con Ω, X là không gian nach F : F → X đưoc GQI là đ® đo vector c®ng tính huu han hay GQI là đ®

Ba-đo vector, neu E1, E2 là hai t¾p ròi nhau cna F thì:

F (E n) ∀ E i là các t¾p ròi nhau cna F sao cho

Ví dn 1.1.1 Đ® đo vector c®ng tính huu han.

Cho T : L ∞ [0, 1] → X là toán tu tuyen tính liên tuc Cho E ⊆ [0, 1] là t¾p

Lebesgue đo đưoc Đ%nh nghĩa

trong đó χ E

F (E) = T (χ E ), (x) = 1 neu x ∈ E

0 neu x ∈/ E

Do T là toán tu tuyen tính suy ra F là đ® đo vector c®ng tính huu han.

.SS

Σ



Ví dn 1.1.2 Đ® đo vector c®ng tính đem đưac.

Cho T : L1[0, 1] → X là m®t toán tu tuyen tính liên tuc Cho E ⊆ [0, 1] là t¾p

Lebesgue đo đưoc Đ¾t

F (E) = T (χ E)

Hien nhiên F là đ® đo vector c®ng tính huu

han M¾t khác, vói E ⊆ [0, 1], ta có:

ǁF (E)ǁ ≤ λ(E) ǁTǁ Khi đó, neu (E n)∞

n=1 là dãy các t¾p con Lebesgue đo đưoc ròi nhau thu®c [0, 1]

F (E n ) hay F là đ® đo vector c®ng tính đem đưoc.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho F : F → X là m®t đ® đo vector M®t bien phân cna

F là hàm không âm |F |, giá tr% cna |F | trên t¾p E ∈ F đưoc cho boi:

|F | (E) = sup Σ ǁF (A)ǁ

trong đó c¾n trên đúng đưoc lay trên tat ca các phân hoach π cna E thành m®t

so huu han các t¾p ròi nhau cna F Neu |F | (Ω) < ∞ thì F đưoc GQI là đ®

đo bien phân b% ch¾n

Bán bien phân cna F là hàm không âm ǁFǁ, giá tr% cna ǁFǁ trên t¾p hop E ∈ F

cho boi:

ǁF ǁ (E) = sup {|x ∗ F | (E) : x ∗ ∈ X ∗; ǁx ∗ ǁ ≤ 1}

trong đó |x ∗ F | là bien phân cna đ® đo có giá tr% thnc x ∗ F

Neu ǁF ǁ (Ω) < ∞ thì F đưoc gQI là đ® đo bán bien phân b% ch¾n.

De thay bien phân cna F là hàm c®ng tính huu han, đơn đi¾u trên F, bán bien phân cna F là hàm c®ng tính dưói, đơn đi¾u trên F.

Hơn nua, ∀E ∈ F : ǁFǁ (E) ≤ |F | (E).

Ví dn 1.1.3 Đ® đo bien phân b% ch¾n.

Cho F là m®t đ® đo o Ví du1.1.2

Vì ǁFǁ (E) ≤ ǁTǁ λ(E) suy ra |F | (E) ≤ ǁTǁ λ(E)

V¾y F là bien phân b% ch¾n.

Ví dn 1.1.4 Đ® đo bán bien phân b% ch¾n nhưng không phai là bien phân b% ch¾n

Cho là σ-trưòng các t¾p con đo đưoc Lebesgue trên [0;

V¾y |F | (E) không b% ch¾n.

Ví dn 1.1.5 Đ® đo vector bán bien phân b% ch¾n.

Cho T : L ∞[0; 1] −→ X là m®t toán tu tuyen tính liên tuc, E ∈ [0; 1] là t¾p đo

V¾y F là bán bien phân b% ch¾n.

A∈π

Ví dn 1.1.6 Đ® đo bán bien phân không b% ch¾n

Can lưu ý rang đ® đo vector (đ® đo có giá tr% thnc) không can phai là bánbien phân b% ch¾n

Th¾t v¾y, cho F là trưòng các t¾p con cna N (t¾p các so nguyên dương)

bao gom các t¾p huu han ho¾c t¾p có bő sung huu han

Đ® đo F : F −→ R đ%nh nghĩa như sau:

F (E) = lnc lưong cna E, neu E huu han

− lnc lưong cna N\E, neu N\E huu han Khi đó F là đ® đo có giá tr% thnc vói bán bien phân không b% ch¾n.

De dàng chúng minh đưoc F : F −→ X là đ® đo vector bien phân b% ch¾n thì đ® đo không âm µ trên F là bán bien phân |F | cna F neu và chi neu µ

thoa mãn:

i) |x ∗ F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈ F và ∀x ∗ ∈ X ∗ : ǁx ∗ ǁ ≤ 1

ii)Neu λ : F −→ R là đ® đo bat kì thoa mãn: |x ∗ F | (E) ≤ λ(E), ∀E ∈ F và

∀x ∗ ∈ X ∗ : ǁx ∗ ǁ ≤ 1 thì µ(E) ≤ λ(E), ∀E ∈ Σ .

M¾nh đe 1.1.1 M®t đ® đo vector bien phân b% ch¾n là c®ng tính đem đưac

neu và chs neu bien phân cua nó là c®ng tính đem đưac.

Chúng minh Gia su: F : F −→ X là đ® đo vector bien phân b% ch¾n, suy ra

ǁF (E)ǁ ≤ |F | (E) vói E ∈ F

V¾y neu |F | là c®ng tính đem đưoc thì F là c®ng tính đem đưoc.

Ngưoc lai, gia su F : F −→ X là đ® đo vector c®ng tính đem đưoc có bien

phân b% ch¾n

Vói (E n) là dãy các thành phan đôi m®t ròi nhau cna F sao cho S E n ∈ F và

π là m®t phân hoach cna S E n thành các t¾p ròi nhau cna F thì

F | (E n)

Đieu này đúng vói MQI phân hoach π

H¾ qua 1.1.1 Cho là σ-trưàng sinh bái trưàng con

Neu F : −→ X là m®t đ® đo vector c®ng tính đem đưac có bien phân b% ch¾n Và F | F là han che cua F lên F thì vái MQI E ∈ F ta có:

| F| F | (E) = |F | (E) nghĩa là F là má r®ng Carathéodory- Hahn cua | F| F | lên Σ.

Chúng minh Gia su µ là đ® đo c®ng tính, đem đưoc, là mo r®ng

Carathéodory- Hahn cna | F| F | lên

Vói moi E ∈ F và vói moi x ∗ ∈ X ∗ sao cho ǁx ∗ ǁ ≤ 1 ta có:

Hơn nua, x ∗ F và µ là c®ng tính đem đưoc trên và sinh ra nên

|x ∗ F | (E) ≤ µ(E) ∀E ∈ Σ, ∀x ∗ ∈ X ∗ sao cho ǁx ∗ ǁ ≤ 1.

Theo phan chúng minh cna M¾nh đe 1.1.1,

M¾t khác:

Suy ra:

| F| F | (E) ≤ |F | (E) ∀E ∈

F.

µ(E) ≤ |F | (E) ∀E ∈ F

Ket hop vói Σ là mo r®ng cna F, ta có

Tù (1.5) và (1.6) suy ra: µ = |F | (đpcm). Q

M¾nh đe 1.1.2 Cho F : F −→ X là m®t đ® đo vector

Vái mői E ∈ F, ta có:

i) ǁFǁ (E) = sup . Σ

ε n F (A n) Σ trong đó c¾n trên đúng đưac lay trên tat

ca các phân hoach π cua E thành các t¾p rài nhau huu han cua F và MQI

t¾p huu han {ε n } thóa mãn |ε k | ≤ 1.

ii) sup {ǁF (H)ǁ : E ⊇ H ∈ F} ≤ ǁFǁ (E) ≤ 4 sup {ǁF (H)ǁ : E ⊇ H ∈ F}

Do v¾y, m®t đ® đo vector là bán bien phân b% ch¾n trên Ω neu và chs neu mien giá tr% cua nó b% ch¾n trên X.

|x ∗ F (E n)| : x ∗ ∈

X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1Σ

≤ ǁFǁ (E)

Ngưoc lai, lay x ∗ ∈ X ∗ sao cho ǁx ∗ ǁ ≤ 1, π = {E1, ,

E m } là m®t phân hoach cna E ∈ F thành các t¾p

=

Σn

=1

n= 1

(sgn x ∗ F (E n

= sup {sup {|x ∗ F (H)| : x ∗ ∈ X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1} : E ⊇ H ∈ F} ≤ ǁF ǁ (E)

Hơn nua, neu π = {E1, , E m } là m®t phân hoach cna E

∈ F thành các t¾p đôi m®t ròi nhau và neu x ∗ ∈ X ∗ thoa

mãn ǁx ∗ ǁ ≤ 1 thì:

m

• X là không gian Banach phúc

Đ%nh nghĩa 1.1.3 Cho F là m®t trưòng các t¾p con cna Ω và F : F −→ X

là m®t đ® đo vector

F đưoc GQI là c®ng tính manh neu vói MQI dãy (En) các thành phan đôi m®t ròinhau cna F thì chuoi ∞

n=1F (E n) h®i tu theo chuan

HQ{F t : F −→ X|τ ∈ T } các đ® đo vector c®ng tính manh đưoc gQI là c®ng

tính manh đeu neu vói moi dãy (E n) các thành phan đôi m®t ròi nhau cna F

M®t đ® đo c®ng tính đem đưoc trên σ-trưòng hien nhiên c®ng tính manh.

M¾nh đe 1.1.3 Neu F : F −→ X là m®t đ® đo bien phân b% ch¾n thì F là c®ng tính manh.

Σ

Ví dn 1.1.7 M®t đ® đo vector c®ng tính đem đưac trên σ-trưàng là bien

phân không b% ch¾n trên MQI t¾p không tam thưàng.

Cho Ω = [0; 1], Σ không gian các t¾p đo đưoc Lebesgue trên đoan [0; 1], λ đ® đo Lebesgue, 1 < p < ∞ và X = L p[0; 1]

V¾y F là c®ng tính đem đưoc trên σ - trưòng

Neu E ⊆ [0; 1] đo đưoc Lebesgue và λ(E) > 0 thì |F | (E) = ∞ Co đ%nh n và

cHQN các t¾p đo đưoc ròi nhau E1, , E n ∈ E sao cho λ(E i ) = λ(E)/n ∀i =

M¾nh đe 1.1.4 Cho HQ đ® đo {F τ , τ ∈ T } X− giá tr% trên trưàng F Các

m¾nh đe sau là tương đương.

i) T¾p {F τ , τ ∈ T} là c®ng tính manh đeu.

ii) T¾p {x ∗ F τ : τ ∈ T, x ∗ ∈ X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1} là c®ng tính

manh đeu iii)Neu {E n } là dãy các thành phan đôi m®t rài

nhau cua F thì

lim ǁF τ (E n)ǁ = 0, đeu vái τ ∈ T.

iv) Neu {E n } là dãy các thành phan rài nhau cua F thì lim ǁF τ ǁ (E n ) = 0 đeu

Σ

n

n

vái τ ∈ T.

v) T¾p {|x ∗ F τ | : τ ∈ T, x ∗ ∈ X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1} c®ng tính manh đeu.

Chúng minh.

i −→ ii : Hien nhiên.

ii −→ iii: Hien nhiên.

iii −→ iv: Chúng minh bang phan chúng.

Gia su (iv) sai suy ra ton tai δ > 0 và dãy (E n) các thành phan đôi m®t ròi nhau cna F sao cho:

Dãy (H n) các thành phan đôi m®t ròi nhau cna F thoa mãn:

sup F τ (H n) δ > 0 vói moi n.

E n V¾y

(H j) gom

các thành

phan đôi m®t ròi nhau cna F sao

sup {ǁF τ ǁ (H j ) : τ ∈ T } = sup {|x ∗ F τ | (H j ) : τ ∈ T, x ∗ ∈ X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1} ≥ δ > 0

Suy ra mâu thuan vói (iv)

V¾y (iv) −→ (v) đúng.

H¾ qua 1.1.2 Cho F là m®t đ® đo vector trên F Các m¾nh đe sau là tương

đương

i) F là c®ng tính manh.

ii) {x ∗ F : x ∗ ∈ X ∗ , ǁx ∗ ǁ ≤ 1} c®ng tính manh đeu.

iii) F b% ch¾n manh nghĩa là neu (E n ) là dãy các thành phan đôi m®t rài

nhau cua thì lim F (E n ) = 0.

n

iv) ǁFǁ b% ch¾n manh nghĩa là neu (E n ) là dãy các thành phan đôi m®t rài

nhau cua F thì lim ǁFǁ (E n ) = 0.

Tù (i) đen (v) tương đương theo M¾nh đe 1.1.4

Do: F (E) + F (Ω \E) = F (Ω) nên (vi) tương đương (vii).

(i) −→ (vi)

Cho (E n) là dãy không giam các thành phan cna F, dãy (E j+1\E j) gom các

thành phan ròi nhau cna F.

E k) ton

% ch¾n

Chúng minh Cho

n

bang

phan

chúng.Gia

su,

ǁ F ǁ

(Ω)

H

1

∈ F

sao

cho:

T

ǁ F

− F

(Ω

\ H

ǁ F ǁ

(

H

1)ho

¾c

ǁ F ǁ

(Ω

\ H

1)làvôhan.Gia

su

ǁ F ǁ

la

i

đ

¾t

1

Ta

luôn

có:

ǁ F ǁ

Cú tiep tuc như v¾y, ta xâydnng đưoc m®t dãy không

tăng (E n) sao cho:

ǁFǁ (E n) = ∞, ǁF (E n)ǁ ≥ n V¾y không ton tai lim F (E n ), vói (E n) là dãy không tăng.

n

Áp dung H¾ qua 1.1.2(vii) suy ra F không c®ng tính manh.

=⇒ mâu thuan vói gia thuyet.

Đ%nh lý 1.2.1 (PETTIS) Cho Σ là m®t σ - trưàng.

F : Σ −→ X là m®t vector c®ng tính đem đưac.

µ- đ® đo không âm, huu han, lay giá tr% thnc trên thì F là µ - liên tnc túc là:

lim

µ (E)→0 F (E) = 0 neu và chs neu F tri¾t tiêu trên các t¾p µ- đ® đo không.

Chúng minh.

• Đieu ki¾n đu

Chúng minh bang phan chúng

Gia su F tri¾t tiêu trên các t¾p µ - đ® đo không,

nhưng limµ (E)→0 ǁF (E)ǁ > 0

Suy ra ton tai s > 0 và dãy (A n) ∈ Σ sao cho:

1

ǁF (A n)ǁ ≥ ε và µ(A n) ≤

2n ∀n Vói moi n, cHQN x ∗

n ∈ X ∗ sao cho:

ǁx ∗ ǁ ≤ 1 và ǁx ∗ F (A

Lưu ý: Đ%nh lý không đúng neu Σ chi là m®t trưòng.

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho F là trưòng các t¾p con cna Ω.

Kí hi¾u: F µ.

Đ%nh lý 1.2.2 Cho {F τ : Σ → X| τ ∈ T } là HQ các đ® đo vector c®ng tính,

H Q {F τ : τ ∈ T } c®ng tính đem đưac đeu ( hay c®ng tính manh đeu) khi và chs khi ton tai đ® đo c®ng tính đem đưac, không âm, giá tr% thnc µ trên sao cho

µ (E)→0 ǁF τ (E)ǁ = 0 đeu vái τ ∈ T

Gia su: {F τ , τ ∈ T} là µ-liên tuc đeu.

Trong đó µ là đ® đo c®ng tính đem đưoc, không âm, giá tr% thnc trên

Vói (E n) là dãy các thành phan đôi m®t ròi nhau cna ta có:

V¾y {F τ , τ ∈ T} là c®ng tính đem đưoc đeu.

• Đieu ki¾n can

Nhac lai, {F τ , τ ∈ T} là c®ng tính đem đưoc đeu khi và chi khi

{x ∗ F τ ; τ ∈ T ; x ∗ ∈ X ∗; ǁx ∗ ǁ ≤ 1}

là c®ng tính đem đưoc đeu

GQI {µ τ ; τ ∈ T } là HQ b% ch¾n các đ® đo c®ng tính đem đưoc đeu có giá tr%

vô hưóng trên

Trưóc het ta chúng minh vói ε > 0, ton tai HQ chi so huu han {τ1, , τ n } ⊆ T phu thu®c ε sao cho:

kéo theo sup µ

sup 1≤i≤

n |µ τ i | (E) = 0

Th¾t v¾y, chúng minh bang phan chúng Co đ%nh τ1 ∈ T suy ra ton tai E1 ∈

và τ2 ∈ T sao cho:

|µ τ1 | (E1) = 0, nhưng |µ τ2 (E1)| ≥ ε Tiep tuc ton tai E2 ∈ Σ và τ3 ∈ T sao cho

|µ τ1 | (E2) = 0, |µ τ2 (E2)| = 0, nhưng |µ τ3 (E2)| ≥ ε Tiep tuc quá trình trên ta xây dnng đưoc m®t dãy (E n) các phan tu cna

và dãy (τ n ) các phan tu cna T sao cho

|µ τ i | (E) = 0, kéo theo sup |µ τ | (E) < ε.

Cuoi cùng, vói moi m cHQN t¾p chi so huu han J m = {τ m , , τ m } sao cho

sup m (E) = 0, kéo theo sup

.µ m

j (E)