Không gian Banach và phép tính vi phân §1 Khoâng gian Banach
VI PHAÂN §1 KHOÂNG GIAN BANACH
Trước khi đi vào định nghĩa không gian Banach, ta cần tìm hiểu một số kiến thức có liên quan đến không gian Banach
I Các khái niệm liên quan
Giả sử X là một tập hợp Khoảng cách hay mêtric trong X là hàm số p từ X 2 =X×X vào R thỏa 3 điều kiện:
p(x,y)≤p(x,y) + p(y,z) ; ∀x,y,z∈X (bất đẳng thức tam giác)
Ví dụ: Trong không gian ba chiều R 3 =R×R×R; cho 2 phần tử x=(x1,x2,x3) và y=(y1,y2,y3) Khoảng cách Euclide thông thường xác định bởi công thức: ρ(x,y)= 3 3 2
Một không gian tuyến tính là một tập hợp có quy định phép cộng giữa hai phần tử và phép nhân một phần tử với một số.
Tập E, với các phần tử là những đối tượng bất kỳ, được coi là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng K nếu trên E có sự xác định nhất định.
Aùnh xạ tích E×E vào E gọi là phép cộng, ứng với mỗi cặp phần tử x,y
∃θ ∈ E gọi là phần tử không, sao cho: x + θ =x ; ∀x∈E
Aùnh xạ tích K×E vào E gọi là phép nhân phần tử E với trường vô hướng K, ứng với mỗi cặp phần tử (α,x)∈KxE Ký hiệu αx, sao cho:
Không gian tuyến tính thường gọi là không gian vectơ nên phần tử của nó cũng gọi là vectơ
Vớ duù : Trong khoõng gian R n hai vectụ x =(ξ1, ξ1, …, ξn ) ; y=(η1,η2, …., ηn) Tổng 2 vectơ là: x + y=(ξ 1 + η 1 , ξ 2 + η 2 ,…., ξ n +η n )
Không gian Mêtric R n cũng là không gian tuyến tính
3 Không gian tuyến tính định chuẩn :(Hay còn gọi là không gian ủũnh chuaồn )
Một không gian định chuẩn là một không gian tuyến tính X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X; ta có một số x gọi là chuẩn của nó, sao cho
∀x,y∈X và một số λ thỏa các điều kiện sau:
Ví dụ : R n là không gian định chuẩn với chuẩn Euclide thông thường: x = | x 1 | 2 + + | x n | 2 với x =(x1, x2,…, xn )∈ R n
4 Sự hội tụ trong không gian định chuẩn
Cho xn là dãy trong không gian định chuẩn E:
x n → x 0 (dóy x n hội tụ tới x 0 ) nghĩa la:ứ || x n − x 0 ||→ 0
Nếu x n → x 0 thì x n → x 0 Hay chuẩn x là một hàm liên tục
Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì ∃ k>0, sao cho: x n ≤k
Một không gian tuyến tính định chuẩn E được gọi là không gian chuẩn đầy khi mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ Không gian chuẩn đầy còn được biết đến với tên gọi không gian Banach.
Một không gian định chuẩn không đầy có thể được bổ sung thành không gian Banach bằng cách xem nó như một không gian Mêtric không đầy và sau đó bổ sung thành không gian Mêtric đầy Các phép toán đại số và chuẩn sẽ được mở rộng cho các phần tử mới, tạo thành không gian định chuẩn đầy.
Lưu yù: Dãy {x n } trong không gian chuẩn E được gọi là dãy cơ bản neáu:
Nghĩa là: ∀ε >0 cho trước, ∃n 0 ∈ N * sao cho ∀n 0 < n,m Ta có: m n x x − < ε
Trường vô hướng K = K 1 với chuẩn Euclide thông thường: x = | x 1 | 2 + + | x n | 2 là không gian Banach
Giả sử E 1 , E 2 , …, E n là các không gian Banach với chuẩn tương ứng x 1 , x 2 ,…, x n với x i ∈ E i , i= 1 , & n & &
Khi đó không gian tích: E =E 1 ×E 2 ×…×E n với chuẩn: x = x 1 + x 2 +…+ x n , x =(x 1 , …, x n ) ∈ E là một không gian định
Trước hết, nói về sự hội tụ trong E: x k → x (với n k n k k x x x x x x = 1 , , ; = 1 , , ) có được khi và chỉ khi: x j (k) → x j với j= 1 , n
Trong E ta sử dụng chuẩn Euclide: || || = || || 1 2 + + || || 2 n
Xét dãy cơ bản {xn} trong E
Mặt khác, các E j đều là không gian Banach và (x jk ) (j= 1 , n ) như ở (1) đều là các dãy cơ bản
Vậy chúng hội tụ: x (k) j → xj ∈ E j (k→∝) , j=1 , n
Do đó theo trên thì: x k →x (x = x 1 , x 2 , …,x n )∈ E
⇒ E là không gian Banach (đpcm)
Từ đó K là không gian Banach Xem K là các E j trong bài nên ta có:
K×K× ×K chính làK n hay K n cũng là không gian Banach §2 KHOÂNG GIAN L(E 1 , …,E n ;F)
Giả sử E 1 , …,E n và F là các không gian chuẩn
Ánh xạ f: E 1 × … × E n → F được gọi là ánh xạ n tuyến tính nếu với mọi k∈[1,2,…,n] và mọi hệ các phần tử a i ∈ E i (i≠k), ánh xạ riêng x k → ƒ(a 1, …, a k-1, a k, a k+1, …, a n) từ không gian E k vào không gian F là tuyến tính Điều này có nghĩa là khi cố định n-1 biến, ánh xạ ƒ sẽ phụ thuộc tuyến tính vào biến còn lại.
Aùnh xạ n - tuyến tính ƒ được gọi là đối xứng nếu với mọi phép hoán vị δ của [1,2, …, n] ta có:ƒ(x1,…,xn)=ƒ(xδ(1) ,…,xδ(n) )
Giả sử E1,…,En và F là những không gian chuẩn
Ánh xạ ƒ: E 1 × … × E n →F được gọi là ánh xạ n-tuyến tính Các điều kiện sau đây là tương đương: (a) ƒ liên tục tại mọi điểm của tích E 1 × … × E n; (b) ƒ liên tục tại gốc (0,…,0)∈E1× … × En; và (c) Tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi (x1, …, xn)∈ E1×…× En, ta có f(x1,…,xn) ≤ M x1 … xn.
Giả sử E 1 x … x E n và F là các không gian Banach Khi đó tồn tại đẳng cự chớnh tắc giữa L(E 1 ,…, E n ,F) vaứ L(E 1 L(E 2 …,L(E n ; F),…)
Nếu E là không gian Banach thì L(E 1 , …, E n ; F) cũng là không gian
Trong trường hợp E 1 =E 2 =…=E n =E ta viết L(E,F) thay cho:
I Aùnh xạ đa tuyến tính( ánh xạ p- tuyến tính)
Ánh xạ u = P(x₁, x₂,…, xₚ): Rⁿ ×…× Rⁿ → Rᵐ được gọi là đa tuyến tính, hay p-tuyến tính nếu ánh xạ u = P(x₁,…, xₚ) là tuyến tính đối với mỗi biến khi các biến khác được cố định Cụ thể, ánh xạ này có thể biểu diễn dưới dạng xₖ → P(a₁, a₂,…, aₖ₋₁, xₖ, aₖ₊₁,…, aₚ) với k = 1, 2,…, p, và phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Tập hợp mọi ánh xạ p- tuyến tính từ R n ×…×R n đến R m được kí hiệu là
Nếu p=1 thì được tập hợp L(R n ,R m ) các ánh xạ tuyến tính từ R n đến R m
Nếu p=2 thì được tập hợp M2(R n ×R n ,R m ) các ánh xạ song tuyến tính từ R n ×R n đến R m
II Aùnh xạ tuyến tính:
Cho hai không gian tuyến tính E và F trên cùng một trường K, một ánh xạ A: E→F được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa mãn điều kiện: A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 cho mọi x1, x2 thuộc E.
Hai điều kiện (1) và (2) tương đương với:
Một toán tử A từ không gian E vào không gian F được gọi là liên tục nếu khi x_n tiến tới x_0 thì Ax_n tiến tới Ax_0 Định lý cho biết rằng một toán tử tuyến tính A từ E vào F là liên tục nếu và chỉ nếu nó bị chặn, tức là tồn tại một hằng số K > 0 sao cho với mọi x thuộc E, điều kiện này được thỏa mãn.
III Aùnh xạ khả vi
Giả sử E và F là các không gian định chuẩn, U là tập con mở của E Ánh xạ ƒ: U → F được coi là khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục g: E → F thỏa mãn điều kiện f(x) − f(a) − g(x − a) = O(x − a).
Aùnh xạ ƒ gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm a ∈ U
Aùnh xạ tuyến tính liên tục g tho(a mãn (1) là duy nhất sẽ được gọi là đạo hàm hay đạo ảnh của ƒ tại a Kí hiệu: Dƒ(a) hay ƒ’(a)
Giả sử ƒ:U → F là ánh xạ từ tập hợp mở U ∈ E vào F và giả sử h ∈
E.Aùnh xạ ƒ gọi là khả vi theo hướng h tại x ∈ U nếu tồn tại giới hạn: t x f th x f t
Giới hạn này (nếu tồn tại) sẽ được gọi là đạo hàm theo hướng h tại x và được ký hiệu bởi Dƒ(x,h) hay f ′ (x,h)
Ta nói hàm ƒ: [a,b] → F khả vi trái ( khả vi phải ) tại c ∈ [a,b] nếu tồn tại giới hạn: và
Ký hiệu các giới hạn đó là f − ′ ( c ), f + ′ ( c ) và gọi là đạo hàm trái, đạo hàm phải tại c
Giả sử E 1 , E 2 ,…, E n là những không gian chuẩn, U là tập con mở trong không gian tích E=E 1 xE 2 x…xE n và giả sử a =( a 1 ,a 2 , …,a n )∈ U Cho ánh xạ ƒ: U→ F
Ta gọi đạo hàm của ánh xạ x i →ƒ( a 1 ,…, a i-1 ,x i , a i+1 , …,a n ) tại điểm x i =a i là đạo hàm thứ i (đạo hàm riêng theo biến xi ) của ánh xạ ƒ tại a ∈ U và ký hiệu f (a ) x i hay x i f
5 Định nghĩa 5: (Aùnh xạ lớp C 1 )
Aùnh xạ ƒ: U→ F được gọi là khả vi liên tục (hay ánh xạ lớp C 1 ) nếu: a) ƒ khả vi liên tục trên U b) Aùnh xạ đạo hàm ƒ’: U → L(E,F) liên tục
Aùnh xạ ƒ: U→ W (W mở rộng trong F ) được gọi là vi phôi lớp C 1 nếu ƒ là song ánh lớp C 1 và nếu ánh xạ ngược: g=ƒ -1 : W → U cũng thuộc lớp
Vớ du:ù Xột tớnh khả vi của hàm sau tại x =0 ƒ(x,y)
− 3 Nên suy ra f khả vi tại x=0 §4 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN
Phép tính vi phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu ánh xạ khả vi
Định lý hàm ẩn liên quan đến ánh xạ thuộc lớp C k trên một miền mở Cụ thể, giả sử E và F là các không gian Banach, U là miền mở trong E, và f: U→F Hàm f được gọi là thuộc lớp C k trên U nếu nó có các đạo hàm riêng liên tiếp đến cấp k tại mọi vị trí trong U, và các đạo hàm này đều liên tục trên miền U.
Giả sử ánh xạ ƒ nói trên thõa mãn các điều kiện sau:
• Aùnh xạ ƒ y ’(a,b)∈ L(F,G) là phép đẳng cấu từ F lên G
• Trong không gian ExF một lân cận mở V của điểm (a,b) chứa trong U
• Trong không gian E một lân cận mở W của a
Aùnh xạ lớp C k : g:W→F, sao cho điều kiện (x,y)∈V và ƒ(x,y)=0 tương đương với điều kiện x∈ W và y=g(x)
II Công thức Taylor : a) ẹũnh lyự:
Giả sử ƒ: U → F là ánh xạ khả vi cấp n-1 Hơn nữa ƒ là ánh xạ khả vi n lần tại a∈U Khi đó nếu đoạn với các mút a, a+h chứa trong a thì ta có:
1 n ƒ (n) (a)(h)]|| = 0(|| h || n ) Đây gọi là công thức Taylor của hàm ƒ tại lân cận a ∈ U b) ẹũnh lyự Lagrange:
Giả sử ƒ: U → F là ánh xạ khả vi cấp n+1 và || f (n+1) (x) || ≤ M với x ∈ U
Giả sử v: [0,1] → F là ánh xạ ( n+1 ) lần khả vi và giả sử
M n v v v v n Định lý: Giả sử ƒ: [a,b] → R có đạo hàm liên tục cho tới cấp n trên
[a,b] và có đạo hàm cấp (n+1) trên (a,b) Khi đó tồn tại ξ ∈ (a,b) sao cho:
Ví dụ: Khai triển hàm theo công thức Taylor: ƒ(x)=e x
Hàm ƒ(x)=e x khả vi mọi cấp ∀ x ∈ R
Sự tồn tại – tính duy nhất – tính liên tục của phương trình tích phaân §1 Các giả thiết
Xeựt phửụng trỡnh vi phaõn VOLTERRA
Cho R n với chuẩn Euclide |.|, W là tập mở trong R n và I là khoảng mở chứa trong R Ta có các giả thiết sau:
I Giả thiết A : f là hàm liên tục trong khoảng I, có giá trị trong W
Giả thiết B P đề cập đến việc cho 1≤p< ∞, g(x) là hàm đo được xác định trên WxI với giá trị trong R n, thỏa mãn hai điều kiện: đầu tiên, hàm g(x, t) liên tục theo biến x đối với mọi t cố định; thứ hai, với mọi tập compact K thuộc W và mọi tập compact J thuộc I, tồn tại một hàm thỏa mãn điều kiện cần thiết.
Hàm g(t) được gọi là thoả điều kiện Lipschitz nếu với mọi cặp tập compact K và J, trong đó K thuộc W và J thuộc I, tồn tại một hàm k(t) đo được có giá trị thực Điều này đảm bảo rằng sự thay đổi của hàm g(t) không vượt quá một mức độ nhất định, tạo ra tính liên tục và ổn định trong các ứng dụng toán học.
Với mỗi khoảng J, ta xác định không gian Banach B p (J) bởi
B p (J)= L p ( J , R n ) ; 1 ≤ p < ∞ ( L p ( J , R n ) là không gian các hàm đo được Lebesgues trên J, lấy giá trị trong R n và ∫ < ∞
-Không gian đo được Lebesgues (L p (J,R n ):
Là tập hợp các hàm thực x=x(t); x : X→R n đo được trên X sao cho hàm /x(t)/ p là hàm khả tích trên X
Chớnh xỏc hơn: x∈L p nếu tồn tại tập A∈ δ sao cho à ( X \A)=0 x đo được trên A ∫ < ∞
-Đặt B * p ( J ) là không gian liên hợp của B p (J)
Cho M n là không gian các toán tử tuyến tính trên R n
Cho 1 ≤ p< ∞ và a(t,s) là ánh xạ từ IxI vào M n sao cho: i Mỗi khoảng compact J ⊂ I và mọi ánh xạ t ∈ I Aùnh xạ S:
Ánh xạ tuyến tính bị chặn J ds s x s t a là một khái niệm quan trọng trong toán học Ánh xạ biến t thành a (t, ) được xác định là liên tục trong tôpô chuẩn trên B * p (J) n Dưới giả thiết C p và bất đẳng thức Holder, chúng ta có thể xác định các chuẩn trên R n và M n.
- Tính liên tục của ánh xạ biến t thành a (t ,.) dẫn đến: nếu t thuộc tập compact J ′ ⊂ I thì tập { a ( t ,.) : t ∈ J ′} là tập compact trong B p * ( J ) n với chuẩn (3) nghĩa là: < ∞
- Do tính liên tục của ánh xạ biến t thành a (t ,.) trong tôpô chuẩn, neân:
| khi h→0 Neáu 1 < p < ∞; 1 + 1 = 1 q p ( đúng với trường hợp q = ∞)
- Ta đưa vào các tôpô sau:
+ Trên C = C ( I , W ) là tôpô hội tụ đều trên mỗi tập compact
+ Trên C p là tập hợp các hàm thoả giả thiết Bp, ta xác định 2 tôpô T c và T b :
• Ta nói: g n → g trong T c nếu với mọi khoảng compact J ⊂ I và mọi tập compact K ⊂ C ( T , W ), dãy ( g n ( x (.),.)) hội tụ về g (x (.),.) trong L p ( J , R n ) với sự hội tụ đều đối với x (.) ∈ K
• Ta nói: g n → g trong T b nếu với mọi khoảng compact J ⊂ I và tập compact K ⊂ W ,dãy ( g n ( x (.),.)) hội tụ về g (x (.),.) trong L p ( J , R n ) với sự hội tụ đều đối với x (.) ∈ K * , trong đó:
Trong trường hợp W = R n , cả 2 tôpô đều có điều kiện xác định:
-Đối với tôpô T c tập K đòi hỏi phải compact
-Đối với tôpô T b tập K * chỉ đòi hỏi phải bị chặn
A p là tập hợp tất cả các hàm thỏa điều kiện C p
Cho f ∈ C , g ∈ G p và a ∈ A * p , 1 ≤ p < ∞ Nếu tồn tại nghiệm x của phương trình (*) trên [ 0 , α) thì x là hàm liên tục
Cho x (t ), 0 ≤ t ≤ ∞ là nghiệm của phương trình (*) và y(t) , 0 ≤ t ≤ β là nghiệm của phương trình: y (t )= f t + ∫ t a t + s + g y s s + ds
0 là nghiệm của (*) trên 0 ≤ t ≤ α + β §2 ĐẠI CƯƠNG
I Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue :
Cho ( f m )là một dãy hàm khả tích trên R n sao cho: lim f m ( x ) f ( x ) m =
Nếu có một hàm khả tích sao cho; | f m ( x ) | ≤ g ( x ) hữu hạn thì f khả tích, lim → ∞ ∫ | f m ( x ) − f ( x ) | dx = 0 m
II Tập đồng liên tục :
Cho X là một không gian tôpô, F là một không gian chuẩn Tập con
Tập hợp H ⊂ F được gọi là đồng liên tục tại điểm x₀ ∈ X nếu với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của x₀ sao cho || f(x) − f(x₀) || < ε cho mọi x ∈ U và mọi hàm f ∈ H Tập con H được coi là đồng liên tục nếu điều này được thỏa mãn tại mọi điểm trong tập.
Nếu H đồng liên tục tại x₀, thì mọi hàm f thuộc H cũng đều liên tục tại x₀ Ngược lại, nếu H đồng liên tục, thì mọi hàm f trong H là hàm liên tục Định nghĩa BF(X) là tập hợp tất cả các ánh xạ từ tập hợp X vào không gian thực F (hoặc không gian phức tương ứng) Ánh xạ f được gọi là bị chặn nếu tập hợp f(X) bị chặn trong F Tập hợp BF(X) tạo thành một không gian vectơ thực (hoặc không gian phức tương ứng) vì tính chất của các ánh xạ bị chặn.
//f(t)// là một chuẩn trong gian ấy
III Tập bị chặn và bị chặn đều:
- Tập A được gọi là bị chặn tại x 0 ∈ [ ] a, b nếu có K>0 sao cho với mọi f ∈ A ta có: | f ( x 0 ) | ≤ K
- Tập A đựơc gọi là bị chặn từng điểm (bị chặn đều) trên [ ] a, b nếu
A bị chặn tại mọi điểm x ∈ [ ] a , b (tương ứng ∃M > 0 sao cho với mọi
IV Tập compact-compact tương đối:
Cho X là một không gian mêtric và A là một tập con của X Ta gọi A là một tập con ( ) n k x hội tụ về một điểm thuộc x ∈ A
- Nếu bản thân X là compact thì không gian X là không gian compact
- Tập A ⊂ X được gọi là compact tương đối nếu A là tập compact
+ Tập A ⊂ X là compact tương đối nếu và chỉ nếu mọi dãy { } x n ⊂ A sẽ có một dãy con hội tụ đến một điểm trong X (không cần thuộc A)
Cho không gian compact Khi đó tập con H ⊂ k (X ) là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó thoả mãn 2 điều kiện i H bị chặn theo điểm ii H đồng liên tục
VI Bất đẳng thức Holder
Giả sử p > 1 , q > 1 là các số thực thoả mãn: 1 + 1 = 1 q p Neáu f ∈Lp(x) ,
Trong không gian Banach E, một ánh xạ f : D → E được coi là ánh xạ compact (hay hoàn toàn liên tục) nếu nó liên tục và hình ảnh f(D) là một tập compact trong E, với D là một tập mở bị chặn trong E.
VIII Định lý điểm bất động Schauder:
Ánh xạ T là một hàm từ tập A đến chính nó, tức là T: A → A Một phần tử x ∈ A được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T(x) = x Điểm bất động của T chính là nghiệm của phương trình x = T(x).
Cho K là một tập con lồi, đóng của một không gian Banach và
T là một ánh xạ liên tục với điều kiện bao đóng T(K) của T(K) là compact, thì T đảm bảo tồn tại ít nhất một điểm bất động Điều này được thể hiện trong định lý về sự tồn tại và tính duy nhất.
Xeựt phửụng trỡnh tớch phaõn: x(t)= f(t)+∫ a ( t , s ) g ( x ( s ), s ) ds (*)
I Định lí 1: ( sự tồn tại )
Cho f ∈ c , g ∈ G p và a ∈ A P * , 1 ≤ p < ∞ Ta có: i) Thì tồn tại khoảng [ ] 0 , α , α > 0và một hàm liên tục x,
Để thỏa mãn điều kiện (*) với 0 ≤ t < α, cần xác định khoảng [ ] 0, α là cực đại của x Nếu α là điểm biên của I, hoặc x(t) sẽ tiến đến biên của W khi t tiến đến α Ngoài ra, tồn tại α ˆ > 0 sao cho với mọi t trong khoảng 0 ≤ t < α ˆ.
K t = ∈ : = ( ) : là nghiệm của (*) } là tập hợp compact ( α ˆ có thể chọn là cực đại theo nghĩa α ˆ = α , α được cho như ở (ii)
Chứng minh (i): Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm ta chứng minh định lí điểm bất động Schauder
Chứng minh T có điểm bất động
+ Chọn β > 0 ; [ ] 0 , β ⊂ I Ta tìm được ε > 0 sao cho:
D 0 , (.) 0 , , : ( ) ( ) , 0 là tập lồi đóng trong khoâng gian Banach C ( [ ] 0 , β , R n ) Đặt B a t s q ds q
Theo giả thiết B p thì ta có: g ( x , t ) ≤ m ( t );với x ∈ K ; 0 ≤ t ≤ β và ∫ β m t p dt < ∞
(i 1 ) Chứng minh T biến D [ 0 , β ′ ] vào chính nó:
Thật vậy ta có: | x ( t ) − f ( t ) | ≤ | ∫ 0 t a ( t , s ) g ( x ( s ), s ) ds |
Theo bất đẳng thức Holder:
(i 2 ) Chứng minh T là ánh xạ compact – nghĩa là chứng minh tập hợp
T là đồng liên tục lấy t cố định ; 0 ≤ t ≤ β ′ ; ε > 0 cho trước
Ta chọn δ > 0 sao cho h ≤ δ thì: ε ε
Suy ra: Tx ( t + h ) − Tx ( t ) ≤ 3 ε , h ≤ ε V → T là tập bị chặn δ chỉ phụ thuột vào t và ε nhưng không phụ thuột hàm x nên T đồng liên tục ⇒ T là tập compact tương đối
Vậy T biến tập bị chặn thành tập compact tương đối
Do tính liên tục của g(x,t) theo x ta có: δ
Mặt khác dãy { a ( t , s ) g ( x n ( s ), s } bị chặn bởi: a ( t , s ) g ( x n ( s ), s ) ≤ a ( t , s ) m ( s )
→ Theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgues, ta có: ds s s x g s t a ds s s x g s t a n t t ( , ) ( ( ), ) ( , ) ( ( ), )
Để áp dụng định lý Schauder, cần chứng minh rằng T(D[0, β']) là tập compact Theo định lý Ascoli, điều này tương đương với việc T(D[0, β']) đồng liên tục và bị chặn trong C([0, β'], R^n), điều mà chúng ta đã chứng minh trước đó.
Do đó theo định lí Schauder, T có điểm bất động x, đây chính là nghiệm cuỷa phửụng trỡnh (*)
Chứng minh (ii): Ta chứng minh bằng phản chứng
Giả sử α là điểm biên của I:x(t) trong tập compact K ⊂ W với 0 ≤ t ≤ α Chúng ta chứng minh rằng tồn tại nghiệm x ˆ (t) xác định trên khoảng [0, α′] với α < α′, sao cho x ˆ (t) = x(t) trong khoảng 0 ≤ t ≤ α Điều này sẽ dẫn đến mâu thuẫn với tính cực đại của khoảng [0, α).
- Tồn tại lim x ( t ) n → ∞ đặt lim x ( t ) x ( α ) n =
→ (giới hạn này tồn tại nếu với α τ 0 )
Dẫn đến mâu thuẩn với tính cực đại của [ 0 , α).
Chứng minh (iii) Ở (i) thì tồn tại α sao cho mổi nghiệm của (*) đều xác định trên
Gọi S là các nghiệm của (*) trên [ ] 0 , α Nên S đồng liên tục và bị chặn đều nghĩa là S là compact tương đối (theo định lí Ascoli)
X là nghiệm của (*) trên [ ] 0 , α , do mọi dãy { } x n các nghiệm của (*) hội tụ đều về x trên [ ] 0 , α nên S là tập đóng Vậy S là tập compact trong
C 0 , α , ∀t ∈ [ ] 0 , α , ánh xạ biến x ∈ S thành x(t) liên tục nên Kt compact ∀t ∈ [ ] 0 , α (α có thể chọn cực đại bằng cách chứng minh tương tự như ở (ii) )
II ẹũnh lớ 2 (tớnh duy nhaỏt) :
Cho f ∈ C , g ∈ G p ; a ∈ A * p , 1 ≤ p < ∞ vàứ giả sử g thoả điều kiện
Lipschitz thì tồn tại duy nhất nghiệm của (*) Đ4 ẹềNH LYÙ VEÀ TÍNH LIEÂN TUẽC
Khảo sát sự phụ thuộc của nghiệm theo ba tham biến f , g , a
I Định lí: Cho ( f n ),( g n ),( a n )lần lược là các dãy trong C , G p , A * p với
1 Giả sử các dãy này có giới hạn: a a g g f f n n n n n n = = =
Cho ( x n ) là dãy các nghiệm của:
= n t n n n t f t a t s g x s s ds x ( ) ( ) 0 ( , ) ( ( ), ) (*1) trong khoảng cực đại [ 0 , α n ) thì:
- Dãy ( x n )có một dãy con hội tụ đều trên khoảng nào đó
0 ≤ t ≤ σ σ > Hàm giới hạn x sẽ là nghiệm của phương trình:
- Dãy con ( ) x n j của dãy ( x n ) có thể chọn sao cho x n j (t ) hội tụ đều về
(t x trên những tập con compact của [ 0 , α ˆ) trong đó [ 0 , α ˆ ) là khoảng cực đại trên đó Kt compact và [ 0 , α ˆ ) ⊂ lim → ∞ inf [ 0 , α ) n
- Trên [ ] 0 , β dãy hàm ( x n ) bị chặn và đồng liên tục
- Nếu ( ) x n J là dãy con hội tụ của ( x n ) có giới hạn là x (t ) trên [ ] 0 , β , thì
Ta chứng minh trường hợp 1 < p < ∞ (p=1 chứng minh tương tự)
K t = ∈ = , với nghiệm x nào đó của (*2) } là tập con compact của W Lấy K là tập con compact trong W, chứa K * trong phần trong của nó Theo giả thiết B p :| g ( x , t ) ≤ m ( t ), ∀ x ∈ K , 0 ≤ t ≤ β
- Trong Tc sự hội tụ g n → g dẫn đến ε n → 0
- Mặt khác, nếu 0 ≤ σ ≤ β thì: p p p p n p p n x s ds g x s g x s ds m s ds g
- Tương tự, ta có chặn chung cho dãy ( ) a n là:
Và B cũng là chặn của hàm giới hạn a ( t , s )
- Do cách chọn của tập hợp K, tồn tại ε > 0 sao cho nếu x là nghiệm và | y − x ( t ) | ≤ ε thì y ∈ K
0 < δ < ε 2và cố định chỉ số N 1 sao cho nếu n ≥ N 1 thì δ ε < n
(nếu không thỏa thì ta chọn σ = β)
Aùp dụng (1) , (2) , (3) ta có: x n ( ξ ) − x ( ξ ) ≤ δ + 2 BM ( ξ , n ) ≤ δ + 2 BM ( σ , n ) < ε
Như vậy nếu 0 ≤ t ≤ ξ, khoảng cực đại [ ] 0 , ξ phải chứa trong [ ] 0 , σ
Chứng minh dãy hàm ( x n : n ≤ N 1)là đồng liên tục trong [ ] 0 , σ
Vì f n → f đều trên [ ] 0 , σ nên dãy (fn) đồng liên tục
( t a t a n → đều theo t ∈ [ ] 0 , σ nên (an) đồng liên tục như là những hàm theo t có giá trị trong B q ( )0 , σ n
Vì B là hằng số và M ( σ , n ) bị chặn theo n, ( n ≤ N 1) nên ( x n : n ≤ N 1) đồng liên tục trên [ ] 0 , σ
Chứng minh x(t) là nghiêm của (*2) trên [ ] 0 , σ
Chọn dãy con hội tụ của (xn) , dể đơn giản ta chon dãy con dó là (xn) thì tồn tại một hàm x sao cho x n ( t ) → x ( t ) đều trên [ ] 0 , σ
Vì K ={ x , x 1 , } là tập compact trong C ( [ ] 0 , σ , R n ) , 0 ≤ t ≤ σ
Vậy x(t) là nghiờùm của (*2) trờn [ ] 0 , σ
Bây giờ ta chứng minh rằng khoảng [ ] 0 , σ được mở rộng cho [ ] 0 , β
Sự mở rộng có thể thực hiện qua một số bước bằng cách lập lại lý luận, với sự tịnh tiến của x(t) được xác định bởi công thức x(t) = fˆ(t + ∫0t a(t + σ, s + σ).g(x(s), s + σ) ds Trong đó, fˆ(t) được tính bằng f(t + σ) cộng với ∫0σ a(t + σ, s) g(x(s), s) ds.
Theo lý luận trên, ta có thể tìm được τ > 0 sao cho dãy con của nghiệm ( x n ( t )) hội tụ về nghiệm x(t) trên [ ] 0 , τ Theo bổ đề 2, ta có:
≤ σ σ σ 0 là nghiệm của phương trình (*2) trên [ 0 , σ + τ ], và nó là giới hạn của ( x n ( t )) treân 0 ≤ t ≤ σ ≤ τ
Quá trình này có thể được lặp lại Có thể mở rộng cho [ ] 0 , β qua một số bước hữu hạn Nghĩa là số τ có thể chọn sao cho:
Nếu đẳng thức này không thoả thì chọn τ = β − σ
Từ ∫ 0 β m ( s ) p ds hữu hạn, ta có thể mở rộng từ [ ] 0 , σ đến [ ] 0 , β qua một số hữu hạn các bước Định lý được chứng minh.