Phần tổng quan
Định lý Ostrowski 2.1 phát biểu rằng cho phân hoạch I k: a = x 0 < x 1 < < x k − 1 < x k = b trên đoạn [a, b], với α 0 = a, α i ∈ [x i − 1, x i] (i = 1, , k) và α k + 1 = b Hàm số f: [a, b] → R là liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b].
Khi đó ta có bất đẳng thức:
Chứng minh Xét nhân K :[ , ] a b → được xác định bởi
Bằng phương pháp tích phân từng phần, ta có:
Trong trường hợp thứ nhất, xét f // ∈ L ∞ [ , ] a b , do đó
Dùng bất đẳng thức ( A − B ) n + ( C − A ) n ≤ ( C − B ) n nếu B ≤ A ≤ C , ta có
Kết hợp điều này với (2.2) ta thu được bất đẳng thức (2.1i)
Trong trường hợp thứ hai, xột f // ∈ L a b p [ , ] Sử dụng bất đẳng thức Hửlder, ta có
Vậy, từ kết quả này ta có
+ , và từ (2.2) ta suy ra bất đẳng thức (2.1ii)
Áp dụng đẳng thức ta được
Kết hợp (2.3) với W cho ta phần đầu trong bất đẳng thức (2.1iii) Chú ý rằng từ
∫ , từ đây suy ra phần cuối trong bất đẳng thức (2.1iii) Định lý 2.1 đã được chứng minh
Nếu trong định lý 2.1 ta cho k = 2, x 0 = a , x 1 = x , x 2 = b ,α 0 = a , α 1 = a ,
2 b α = và α 3 = b Khi đó chia (2.1) bởi ( b − a ) ta thu được kết quả (1.3)
Hệ quả 2.1 Cho I k : a = x 0 < x 1 < < x k − 1 < x k = b là một phân hoạch của đoạn [ , ] a b Nếu f là một hàm như trên, nếu đặt
Khi đó ta có các bất đẳng thức:
Chứng minh Chọn trong định lý 2.1, α 0 = a , 1 1 ,
Ta lần lượt viết các số hạng sau đây:
Thay (2.5) và (2.6) vào (2.1) ta có kết quả (2.4)
Trong thực tế ta thường dùng phân hoạch đều và có hệ quả sau đây:
= + ⋅ − = là một phân hoạch đều của đoạn [ , ] a b Khi đó ta có bất đẳng thức
Chứng minh Việc chứng minh được suy ra trực tiếp từ hệ quả 2.1, bằng cách chọn i b a ( 0, , ) x a i i k k
Từ đây suy ra được bất đẳng thức (2.7).
Một dạng thay đổi nhỏ của bất đẳng thức Ostrowski
SỰ HỘI TỤ CỦA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG TỔNG
Chương này nhằm mục đích trình bày các ứng dụng trong nghiên cứu sự hội tụ của công thức cầu phương tổng quát, đồng thời đánh giá các sai số thông qua các bất đẳng thức đã được nêu trong chương trước.
Cho ∆ n : a = x 0 ( ) n < x 1 ( ) n < < x n ( ) n − 1 < x n ( ) n = b là một dãy các phân hoạch trên đoạn [ , ] a b và xét dãy công thức tích phân
Với w j ( j = 0, , ) n là các trọng cầu phương thỏa ( )
∑ = − Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ đối với các trọng w ( ) j n để
I f f ∆ w xấp xỉ tích phân ( ) b a f t dt
∫ Định lý 3.1 Cho f :[ , ] a b → là một hàm số liên tục trên đoạn [ , ] a b
Nếu các trọng cầu phương w ( ) j n thỏa điều kiện
Khi đó, ta có các đánh giá:
Chứng minh Ta định nghĩa dãy số
Do giả thiết (3.2), ta có
∑ Áp dụng bất đẳng thức (2.1) ta được đánh giá (3.3)
Sự hội tụ đều theo các trọng cầu phương là dễ thấy từ vế cuối cùng trong (3.3iii)
Trong thực hành ta thường sử dụng phân hoạch đều sau:
= + ⋅ − = và định nghĩa dãy các công thức cầu phương số:
Khi đó ta thu được hệ quả sau:
Hệ quả 3.1 Cho f :[ , ] a b → là hàm số liên tục tuyệt đối trên đoạn [ , ] a b Nếu các trọng cầu phương w ( ) j n thỏa mãn điều kiện
Khi đó, ta có các đánh giá:
Sự hội tụ của công thức cầu phương tổng quát
Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng kết quả từ phần trước để phát triển một số bất đẳng thức đặc biệt và mở rộng các kết quả cổ điển như bất đẳng thức hình chữ nhật, hình thang, Ostrowski, trung điểm và Simpson Định lý 4.1 khẳng định rằng, với hàm số liên tục tuyệt đối f: [a, b] →, chúng ta có thể áp dụng các bất đẳng thức này để đạt được những kết quả quan trọng trong phân tích.
Ta có các bất đẳng thức:
Chứng minh Từ định lý 2.1, ta chọn x 0 = a , α 0 = a , x 1 = b ,α 2 = b ,
1 [ , ] a b α = α ∈ Do đó v h ( ) = max( / h i i = 0, , k − 1) = − b a và suy ra bất đẳng thức (4.1)
(a) Nếu trong (4.1) thay α = b , thì ta thu được “bất đẳng thức hình chữ nhật trái” (xem phụ lục III trang 55)
(b) Nếu α = a , từ (4.1) ta thu được “bất đẳng thức hình chữ nhật phải” (xem phụ lục III trang 55)
2 a b α = + , thì từ (4.1) ta thu được đánh giá tốt nhất, một “bất đẳng thức hình thang” (xem phụ lục III trang 56)
Kết quả dưới đây dẫn đến một bất đẳng thức tích phân quan trọng với nhiều ứng dụng Định lý 4.2 khẳng định rằng, đối với hàm số f : [a, b] → R, hàm này phải liên tục tuyệt đối trên đoạn [a, b].
Chứng minh Xét phân hoạch a = x 0 ≤ x 1 ≤ x 2 = b , α 0 = a , α 1 ∈ [ , a x 1 ),
2 [ , ] x b 1 α ∈ , α 3 = b Ứng dụng phép chọn này vào định lý 2.1 chúng ta thu được kết quả (4.5)
Hệ quả 4.1 Cho f là hàm số như trên và x 1 ∈ [ , ] a b Thế thì ta có bất đẳng thức tích phân Ostrowski cho hàm số có đạo hàm cấp hai:
Chứng minh Bằng cách chọn α 1 = a , α 2 = b và thay vào (4.5) cho chúng ta kết quả (4.6) Kết quả (4.6) trước đây đã được chứng minh bởi Cerone, Dragomir và Roumeliotis trong [1]
= trong (4.6) thì ta thu được đánh giá tốt nhất,
“bất đẳng thức trung điểm”
Bây giờ bất đẳng thức cầu phương Simpson có thể được mở rộng như sau:
Hệ quả 4.2 Cho f như trên và 1 5 5
∈ Ta có bất đẳng thức
Việc chứng minh được suy ra trực tiếp từ định lý 4.2 bằng cách đặt
Chú ý 4.3 Từ hệ quả 4.2, nếu chọn 1
= ta thu được bất đẳng thức
Simpson (xem phụ lục III trang 56)
Hệ quả 4.3 Cho f là hàm số như trên và 1 2
2 a b a ≤ α ≤ + ≤ α ≤ b Ta có bất đẳng thức sau đây:
Hệ quả được chứng minh trực tiếp từ định lý 4.2 Ứng dụng bất đẳng thức trên (4.10), ta có chú ý sau:
Một số bất đẳng thức tích phân đặc biệt
Xét phân hoạch trên đoạn [ , ] a b được cho bởi
Ta có định lý sau Định lý 5.1 Cho f :[ , ] a b → là hàm số liên tục tuyệt đối trên [ , ] a b và
1 k ≥ Khi đó, ta có công thức cầu phương hỗn hợp:
∆ = ∑ − là một công thức cầu phương nhiễu Phần dư R k ( ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá sau:
Chứng minh Xét thành phần thứ hai trong bất đẳng thức (5.5) và áp dụng hệ quả 2.2 trên đoạn [ , x x i i + 1 ] ( i = 0, , n − 1) sao cho
Lấy tổng theo i từ 0 đến n − 1 và sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
Do bất đẳng thức Hửlder, ta cú
Bằng cách đặt (5.7) vào (5.6) ta thu được bất đẳng thức thứ hai trong (5.5) Bất đẳng thức thứ nhất và thứ ba trong (5.5) cũng được chứng minh tương tự
Do đó định lý 5.1 đã được chứng minh
Hệ quả 5.1 Nếu f và ∆ n như trên Khi đó, ta có công thức cầu phương:
∫ với M ( ∆ n , ) f là qui tắc trung điểm, nghĩa là
Phần dư R 2 ( ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá
Việc chứng minh hệ quảđược suy ra trực tiếp từđịnh lý 5.1 (k = 2) Áp dụng định lý 5.1 một lần nữa (k = 3), ta có hệ quả sau:
Hệ quả 5.2 Nếu f và ∆ n được định nghĩa như trên, khi đó ta có
− ∆ + ∆ với phần dư R 3 ( ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá
∑ nÕu nÕu nÕu Định lý 5.2 Nếu f và ∆ n được định nghĩa như trên và giả sử rằng
[ , 1 ] i x x i i ξ ∈ + ( i = 0, , n − 1) Khi đó ta có đẳng thức:
Phần dư R ( , ξ ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá
Chứng minh Áp dụng định lý 4.1, sử dụng bất đẳng thức (4.1ii), trên đoạn
Lấy tổng theo i từ 0 đến n − 1, dùng bất đẳng thức tam giác và bất đẳng thức Hửlder, ta thu được
∑ ∑ và chúng ta biết rằng
( ξ i − x i ) q + + ( x i + 1 − ξ i ) q + ≤ h i q + , nên (5.11) có thể viết lại như sau
Hai dòng cuối cùng này dẫn đến phần hai của bất đẳng thức (5.10), trong khi phần một và ba cũng được chứng minh tương tự Do đó, định lý 5.2 đã được xác nhận.
Hệ quả sau đây được suy ra từ định lý 5.2, chứa một số đánh giá bậc cao của công thức cầu phương đặc biệt
Hệ quả 5.3 Cho f và ∆ n được định nghĩa như trên Khi đó ta có các đánh giá sau đây:
(i) ‘Công thức hình chữ nhật trái bậc cao’ ( ξ i = x i + 1 )
(ii) ‘Công thức hình chữ nhật phải bậc cao’ ( ξ i = x i )
(iii) ‘Công thức hình thang bậc cao’ ( 1
Ta có định lý sau đây: Định lý 5.3 Xét khoảng x i ≤ α i (1) ≤ ξ i ≤ α i (2) ≤ x i + 1 ( i = 0, , n − 1) và
, n f ∆ được định nghĩa như trên Khi đó ta có đẳng thức:
+ ∆ với phần dư thỏa mãn đánh giá:
Chứng minh được suy ra trực tiếp bằng cách áp dụng định lý 4.2 trên các đoạn [ x x i , i + 1 ] ( i = 0, , n − 1)
Hệ quả sau đây là kết quả của định lý 5.3
Hệ quả 5.4 Chọn ξ i ∈ [ , x x i i + 1 ] ( i = 0, , n − 1) và f , ∆ n được định nghĩa như trên Ta có công thức kiểu Riemann:
∫ với phần dư R R ( , ξ ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá
Chứng minh được suy ra từ định lý 5.3 bằng cách đặt α i (1) = x i và
Chú ý 5.1 Nếu trong (5.12) chọn trung điểm 1
2 i i i x x ξ = + + thì ta được công thức cầu phương trung điểm:
∑ và phần dư R M ( ∆ n , ) f được đánh giá tốt nhất như sau:
Hệ quả sau là kết quả của định lý 5.3
Hệ quả 5.5 Xét một tập hợp các điểm ξ i sao cho 5 1 5 1
6 , 6 i i i i i x x x x ξ ∈ + + + + (i=0, ,n−1) và cho f và ∆ n xác định như trên Khi đó ta có đẳng thức sau:
T ∆ f và U ( ∆ n , ) f được định nghĩa lần lượt bởi (5.3) và (5.4) và
Phần dư R S ( , ξ ∆ n , ) f thỏa mãn đánh giá:
Chú ý 5.2 Nếu trong (5.14) chọn trung điểm 1
2 i i i x x ξ = + + , thì ta được công thức nhiễu Simpson:
∫ ∑ với phần dư R S ( ∆ n , ) f thỏa mãn bất đẳng thức
Hệ quả sau đây cũng được suy ra
Hệ quả 5.6 Xét các đoạn (1) 1 (2) 1
, n f ∆ được định nghĩa như trên Ta thu được đẳng thức sau:
+ ∆ , trong đó phần dư thỏa mãn đánh giá:
Cuối cùng ta có chú ý sau trong việc liên hệđến hệ quả 5.6
Chú ý 5.3 Nếu trong hệ quả 5.6, ta chọn (1) 3 1
4 i i i x x α = + + thì thu được công thức:
Phần dư R B ( ∆ n , ) f thỏa bất đẳng thức
Hiện nay, bất đẳng thức Ostrowski tiếp tục thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trên toàn cầu, dẫn đến việc công bố nhiều kết quả nghiên cứu mới.
Qua luận văn này, tác giả đã bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học một cách nghiêm túc và có hệ thống, đồng thời học hỏi nhiều phương pháp nghiên cứu từ nhiều khía cạnh khác nhau Tuy nhiên, do hiểu biết còn hạn chế và thời gian khóa học ngắn, luận văn chỉ trình bày được một số nội dung nhất định Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp và chỉ bảo từ Quý Thầy, Cô trong Hội đồng.
[1] Cerone, P., Dragomir, S.S and Roumeliotis, J., An inequality of Ostrowski type for mappings whose second derivatives belong to L 1 (a,b) and application, East Asian J Math., 15 (1) (1999), 1-9
[2] Dragomir, S S and Wang, S., Application Ostrowski’s inequality to the estimation of error bounds for some special means and for some numerical quadrature rules, Appl Math Lett., 11 (1998), 105-109
[3] Dragomir, S S., Wang, S., A new inequality of Ostrowski type in L p -norm,
[4] Dragomir, S S and Wang, S., A new inequality of Ostrowski type in L 1 - norm and applications to some special means and to some numerical quadrature rules, Tamkang J of Math., 28 (1997), 239-244
[5] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inegality for mappings whose derivatives belong to L 1 [a,b] and applications in numerical integration, J.KSIAM Math, 5 (2) (2001), 117-136
[6] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inegality for mappings whose derivatives belong to L 1 [a,b] and applications in numerical integration, J Comp Anal Appl., 3 (4) (2001)
[7] Dragomir, S S., A generalization of Ostrowski’s integral inequality for mappings whose derivatives belong to L p [a,b] and applications in numerical integration, J Math Anal Appl., 255 (2001), 605-626
[8] A Sofo, S S Dragomir, A perturbed version of the Ostrowski inequality for twice differnentiable mappings, Turk J Math., 25 (2001) , 379-412
[9] A.Ostrowski, Uber die absolutabweichung einer differeniierbaren funktion von ihrem integralmittelwert, Comment Math Helv 10 (1938), 226-
[10] W Rudin, Real and complex analysis, Mc Graw-Hill Inter., Editions,
[11] Doãn Tam Hòe, Toán học tính toán, Nhà xuất bản giáo dục, 2005, 101-
Trong một bài báo [9] Comment Math Helv 10 (1938), p.226-227, A
Ostrowski đã chứng minh một bất đẳng thức sau đây:
∫ với mọi x ∈ [ , ] a b , trong đó f :[ , ] a b → có đạo hàm trên ( , ) a b và
/ : ( , ) f a b → bị chặn trong ( , ) a b , tức là // sup / ( ) a t b f f t
4 là tốt nhất theo nghĩa rằng không thể thay thế nó bằng một số nhỏ hơn
* Phác họa chứng minh Ostrowski [9]
∫ i) Bất đẳng thức (I.2) hiển nhiên đúng nếu / /
/ h h ∞ và ta có thể giả sử rằng h / 1
∞ = Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức sau:
với mọi hàm g :[0,1] → th ỏ a các đ i ề u ki ệ n
4 xu ấ t hi ện trong (I.4) là tốt nhất theo nghĩa rằng không thể thay thế nó bằng một số nhỏ hơn
Tích phân bất đẳng thức (I.6) theo s ∈ [0,1], ta được
4 xuất hiện trong (I.4) là tốt nhất
Giả sử C ∈ thỏa bất đẳng thức:
với mọi hàm g :[0,1] → th ỏ a các đ i ề u ki ện (I.5) Ta sẽ chứng minh rằng
( ) 2 g t = − t , ta có g thỏa các điều kiện (I.5) và có
Thật ra, bất đẳng thức Ostrowski (I.1) có thể chứng minh đơn giản hơn so với
4 xu ấ t hi ện trong (I.1) là tốt nhất
Giả sử C ∈ thỏa bất đẳng thức
∫ với mọi x ∈ [ , ] a b , trong đó f :[ , ] a b → có đạo hàm trên ( , ) a b và
/ : ( , ) f a b → bị chặn trong ( , ) a b Ta sẽ chứng minh rằng 1
= − và thay vào (I.9), ta thu được
HÀM LIÊN TỤC TUYỆT ĐỐI
Tính chất liên tục tuyệt đối của hàm được định nghĩa trên đoạn [a, b] đã được áp dụng xuyên suốt trong luận văn này Cụ thể, một hàm f: [a, b] → R được gọi là liên tục tuyệt đối nếu nó thỏa mãn các điều kiện cần thiết trong định nghĩa II.1.
∀ > ∃ > ∑ − < với mọi n và mọi họ các khoảng rời nhau ( α β 1 , 1 ), ( α β n , n ) trong [ , ] a b có tổng các độ dài
Hiển nhiên một hàm liên tục tuyệt đối trên [ , ] a b thì liên tục (đơn giản ta lấy
1 n = ) Định lý II.1 Giả sử f :[ , ] a b → liên tục và không giảm Khi đó hai điều kiện sau tương đương: i) f :[ , ] a b → liên tục tuyệt đối ii) f khả vi hầu hết trên [ , ] a b , f / ∈ L a b 1 [ , ] và
Chứng minh định lý II.1 có thể tìm thấy trong [10, W Rudin, p.146-147] Định lý II.2 Giả sử f :[ , ] a b → liên tục tuyệt đối Định nghĩa
= ∑ − ≤ ≤ trong đó sup lấy trên tất cả N và tất cả cách chọn { } t i sao cho: a = t 0 < t 1 < < t N = x
Khi đó các hàm F F , + f F , − f là không giảm và liên tục tuyệt đối trên
Chú thích II.1 Nếu F b ( ) < ∞ thì ta nói f có biến phân bị chặn trên [ , ] a b
Giá trị F b ( ) được gọi là biến phân toàn phần của f trên [ , ] a b
Chứng minh định lý II.2 có thể tìm thấy trong [10, W Rudin, p.148] Định lý II.3 Giả sử f :[ , ] a b → liên tục tuyệt đối, khi đó f khả vi hầu hết trên [ , ] a b , f / ∈ L a b 1 [ , ] và
Chứng minh Gọi F là biến phân toàn phần của f , theo định lý II.2, ta đặt
2 2 f = F + f f = F − f Áp dụng suy dẫn i) ⇒ ii) của định lý II.1 cho f f 1 , 2 và vì f = f 1 − f 2 ta suy ra (II.1) Định lý II.4 Giả sử f :[ , ] a b → khả vi tại mọi x ∈ [ , ] a b và
Chứng minh định lý II.4 có thể tìm thấy trong [10, W Rudin, p.149-150]
MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG ĐẶC BIỆT
Việc tính tích phân xác định của hàm f trên khoảng [a,b] thường gặp khó khăn, đặc biệt khi không có nguyên hàm sơ cấp Do đó, việc tính gần đúng tích phân trở nên cần thiết Ngay cả khi có nguyên hàm sơ cấp, để đảm bảo độ chính xác phù hợp, chúng ta cũng thường áp dụng các phương pháp gần đúng Bài viết này sẽ giới thiệu một số công thức tính gần đúng tích phân xác định.
III.1 Công thức hình chữ nhật trái, công thức hình chữ nhật phải
Ta chia đoạn [ , ] a b thành n phần bằng nhau với các điểm chia x i = + a ih
= − Ta có thể xấp xỉ tích phân ( ) b a f x dx
∫ bằng các công thức mang tên: Công thức “hình chữ nhật trái”, “hình chữ nhật phải”, lần lượt cho bởi
Nếu f / liên tục trên [ , ] a b , ta có đánh giá sai số
III.2 Công thức hình thang
Vẫn chia đoạn [ , ] a b và các ký hiệu như trên, ta có thể xấp xỉ tích phân
∫ bằng công thức hình thang như sau:
Giả sử f có đạo hàm cấp hai f // ( ) x liên tục trên [ , ] a b , ta có đánh giá sai số
III.3 Công thức Simpson (hay công thức parabol)
Ta chia đoạn [ , ] a b thành 2n phần bằng nhau với các điểm chia x i = + a ih
Ta có thể xấp xỉ tích phân ( ) b a f x dx
∫ bằng công thức gọi tên là công thức Simpson hay công thức parabol như sau: