Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C, biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.. Giải phương trình: cos x 2.Giải phương trình.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010-2011
Môn thi : TOÁN ; Khối : A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm):
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến đó
là lớn nhất
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình:
cos
x
x x
x
2.Giải phương trình 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 ( x )
Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = 2 3a, BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)
bằng
3 4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Câu V (1 điểm)
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3
.
II PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 = 0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
2 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :
và điểm M(0 ; - 2 ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M song song với đường thẳng đồng thời khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) bằng 4
Câu VIIa(1 điểm)
Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z2 4 z 11 0 Tính giá trị của biểu thức
2
1 2
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + 5 = 0 và d2: x + 2y – 7 = 0 Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG
2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0 Gọi M là giao điểm của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời thoả mãn khoảng cách từ M tới bằng 42
C©u VII.b (1 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: log2 log2 2
Trang 2
……… … ……… Hết……….
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010-2011
Chiều biến thiên
nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y’ = 2
1 0 ( x 1)
0.25
Bảng biến thiên
1 +
-
1
-y
y'
x - 1 +
Hàm số nghịch biến trên
( ;1) và (1; ) Hàm số không có cực trị
0.25
Đồ thị
f(x)=x/(x-1) f(x)=1
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x y
Giao điểm của đồ thị với trục Ox là (0 ;0)
Vẽ đồ thị Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm
0.25
Trang 3-+
f(t) f'(t) x
2 0
1
đối xứng
Giả sử M(x0 ; y0) thuộc
(C)
0 0
0 1
x y x
Khi
đó tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M có phương trình là :
0
0 2
1
x
0.25
Ta có d(I ; ) =
0
4 0
2 1 1 1
x x
Xét hàm số f(t) = 4
2
1
t t
ta có f’(t) =
2
0.25
f’(t) = 0 khi t = 1 Bảng biến thiên
từ bảng biến thiên ta có d(I ; ) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
0 0
0
2
1 1
0
x x
x
0.25
+ Với x0 = 0 ta có tiếp tuyến là y = -x
+ Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x+4
0.25
Trang 4Đk: x k 2
Phương trình đã cho tương đương với:
2 2
4
sin 2 2(sin cos )
sin cos
x
tan tan
0.25
3
3 1
x
tan tan
k Z
0.25
KL: So sánh với điều kiện phương trình có
nghiệm : x 6 k 2
;
kZ
0.25
2
x x PT
2
x x
0.25
0
2
x x
x x
x
2
x
0.25
x1
Vậy phương trình đã cho
có một nghiệm x = - 1
0.25
Trang 52
3
ln
.
ln 2
x
x
Đặt
dx
x
Đổi cận …
0.25
Suy ra
2
3
2 2
2
1 1
1 3ln
t
0.25
2 3
1
0.25
Từ giả thiết AC = 2 a 3;
BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3
; BO = a , do đó
Hay tam giác ABD đều
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO (ABCD)
0,25
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của
AB, K là trung điểm của
HB ta có DH AB và
DH = a 3; OK // DH và
a
OK AB AB (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK; AB
OI OI (SAB) , hay
OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
0,25
Tam giác SOK vuông tại
O, OI là đường cao
2
a SO
S
Trang 6Diện tích đáy
2
D S
Áp dụng BĐT Cauchy cho
3 số dương ta có:
2 3
Suy ra:
2
2
2
0,25
Tương tự ta có:
Cộng (1), (2) và (3) theo
vế với vế ta có:
ab bc ca
.
0,25
0,25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0,25
Do B là giao của AB và
BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:
21
;
5
x
B
y
0.25
Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa
AC và AB bằng góc giữa
AB và BD, kí hiệu
(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là
VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó
ta có:
c n n c n n
3
2
7
a
0.25
- Với a = - b Chọn a = 1
b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,
A = AB AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
0.25
H C
O
I D
3a
a
Trang 71 0 3
(3; 2)
A
Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC BD nên toạ
độ I là nghiệm của hệ:
7
;
2
x
x y
I
y
Do I là trung điểm của AC
và BD nên toạ độ
5 5
- Với b = - 7a (loại vì AC
Giả sử n a b c ( ; ; )
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + 2b = 0.
Đường thẳng đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một vectơ chỉ phương
(1;1; 4)
0,25
Từ giả thiết ta có
2 2 2
4
P
d A P
0,25
Thế b = - a - 4c vào (2)
ta có
( a 5 ) c (2 a 17 c 8 ) ac a - 2 ac 8 c 0
v
0,25
Với 4
a
c chọn a = 4, c
= 1 b = - 8 Phương trình mặt phẳng (P): 4x -8y + z - 16 = 0.
Với 2
a
c chọn a = 2,
c = - 1 b = 2 Phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 4 = 0.
0,25
Trang 8Giải pt đã cho ta được các nghiệm:
0.5
Suy ra
2 2
z z z z
0.25
Do đó
2
1 2
11
4
0.25
Câu
Giả sử B x y ( ;B B) d1 xB yB 5; ( ; C x yC C) d2 xC 2 yC 7
Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:
2 6
3 0
0.25
Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) 0.25
Ta có BG (3;4) VTPT n BG(4; 3)
nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0 0.25
Bán kính R = d(C; BG) =
9
5 phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 =
81
Ta có phương trình tham số của d là:
3 2
2 1
toạ độ điểm M là nghiệm của hệ
3 2 2 1
2 0
x y z
(1; 3;0)
M
0.25
Lại có VTPT của(P) là n P(1;1;1)
, VTCP của d là u d(2;1; 1)
Vì nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u u nd, P (2; 3;1)
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đóMN x ( 1; y 3; ) z
Ta có MN vuông góc với u
nên ta có phương trình: 2x – 3y + z – 11 = 0
Lại có N(P) và MN = 42 ta có hệ: 2 2 2
2 0
x y z
0.25
Giải hệ ta tìm được hai điểm N(5; - 2; - 5) và N(- 3; - 4; 5) 0.25
Nếu N(5; -2; -5) ta có pt
:
Trang 9Nếu N(-3; -4; 5) ta có pt
:
Câu
§iÒu kiÖn : x>0
2
1 1
u
uv