Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 600.. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng SAC.. Tìm tọa độ đỉnh A... Tỡm
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 - LẦN 1
MÔN TOÁN – KHỐI D
1
x y x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) (1,00 điểm)
TXĐ: D = \{ 1}
Giới hạn và tiệm cận:
(C) nhận đường thẳng x = –1 là tiệm cận đứng và đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang.
Sự biến thiên: ' 3 2 0, \{ 1}
( 1)
x
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó
0,50
Bảng biến thiên:
Hàm số không có cực trị
0,25
Đồ thị:
0,25
2 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y2x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm
A, B phân biệt có độ dài bằng 30 (1,00 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2 2
1
x
x m x
(*) 2x2(3 m x) 2 m0 (1)
Nhận xét: (1) không có nghiệm x = – 1.
(C) cắt d tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
(1) > 0 m2 + 2m + 25 > 0 m
0,25
Gọi A(x1;2x1m ) và B(x2;2x2m) là các giao điểm của (C) và d 0,25
Trang 2với
1 2
3 2 2 2
m
x x
m
x x
Khi đó AB 5(x1 x2)2 5[(x1x2)2 4x x1 2]
2 2
2
2
4
(*) 2 sin 2 2 sin
4
4
2
4
4
k k x
Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ đã cho trở thành 3 1
x
Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT
2
2
(1 ) 9
( 1)
x
x
0,25
Đặt t 1
y
x t xt
Đặt S x t(S2 4 )P
P xt
2
P
hoặc
5 3 32 9
S P
(loại)
0,25
1
x t
1 1 2
x y
hoặc 2
1
x y
Hệ phương trình có hai nghiệm: (1; 1);(2; 1)
2
0,25
4 Tính tích phân:
1 0
( 5).ln(2 1)
1
10 ( 5).ln(2 1) ln(2 1) ( 5 ) ( 5 ).ln(2 1)
x
1
x
Trang 39ln 3 ( 5 21ln 3) 5 57ln 3
5
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a; cạnh bên
SA vuông góc với mặt đáy Biết rằng số đo của góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trọng tâm G của
tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC).
1,00
{ }
BC SA
Khi đó: ((SBC),(ABC))(SB AB, )SBA600
Suy ra SA = ABtan600 = a 3
0,25
Tính d(B;(SAC)):
Kẻ BHAC BH(SAC) d(B;(SAC)) = BH
Trong ABC vuông tại B: 1 2 12 12 52
4
BH BA BC a
d(B;(SAC)) = BH = 2
5
a
0,25
Ta có ( ;(SAC))=1 ( ;( )) 2
a
6
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 13 3 13 3 13
P
1,00
Ta có:
3
1 1 3
a b
2b c 6 b c 2c a 6 c a
3 2a b 2b c 2c a
0,25
Hơn nữa từ bất đẳng thức:
9
2a b a a b 9 a a b 3(2a b ) 3(a a b ) 27 a b
3 2a b 2b c 2c a 9 a b c
0,50
Từ (1) và (2) suy ra 1 1 1 1( )
9
P
a b c
Giả thiết ab + bc + ca ≤ 3abc 1 1 1 3
a b c
Suy ra 1
3
P , dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1 max 1 1
3
7.a
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có d1: 2x + y – 1 = 0, d2: x – y +3 = 0 lần lượt
là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B và đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác M(1;2) là trung
điểm cạnh BC Tìm tọa độ đỉnh A.
1,00
Trang 4- Gọi B(b;1 – 2b) d1, C(c;c + 3) d2
- Do M(1;2) là trung điểm của BC nờn:
2
3
b
c
( ; )
4 13 ( ; )
3 3
B C
0,25
Đường thẳng AB: qua B và vuụng gúc với đường thẳng d2 AB: 3x + 3y – 1 = 0 0,25
Gọi ( ;1 3 ) (3 4 14 3; )
A a AB N là trung điểm của AC.
N d a
0,25
Vậy ( 16 17; )
3 3
8.a Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm A(1;2;–3), B(3;0;1) và C(–2;1;2) Tỡm tọa
Gọi H(a;b;c) là trực tõm của tam giỏc ABC.
Khi đú:
AH BC
đồng phẳng
Biến đổi (I) ta được
a b c
Giải hệ (II) ta được 101; 54; 13 (101 54 13; ; )
9.a
Cho n là số nguyờn dương thỏa món C n0 3.A1nC n2 73 Tỡm số hạng khụng chứa x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của (2x 33 )n
x
Giải (*) C n0 3.A1nC n2 73 với
2
n n
9 2
n
n n
n
0,50
Số hạng tổng quỏt của khai triển nhị thức Niu-tơn 33 16
x
48 4
k
k
k k
Số hạng khụng chứa x ứng với k = 12 T13C1612 4 122 3 0,25
7.b
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, viết phương trỡnh chớnh tắc của elip (E) biết (E)
qua (1; 3)
2
Trang 5Gọi phương trình chính tắc của (E) là:
a b
a b .
Do (E) qua (1; 3)
2
M 12 32 1
4
a b (1)
0,25
Hơn nữa, tiêu điểm F1 nhìn trục nhỏ B1B2 dưới một góc 600 nên F1B1B2 đều
3 2
B B
Thay (3) vào (1) b = 1 a = 2
8.b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(1;2;–3), B(3;0;1) và C(–2;1;2) Tìm tọa độ
Gọi I là điểm xác định bởi 2IA3 IB IC 0
Tìm được ( ; ;3 5 1)
2 3 6
0,25
Do 2IA23IB2IC2 = hằng số nên 2MA23MB2MC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi
Vậy ( ; ;0)3 5
2 6
9.b Giải bất phương trình 25x2 5x 3.5x2 5x.2x 3 22x 8 0
TXĐ:
(*)
2 5 2 5
Đặt
2 5 3
5
0 2
x
t
4
t
t t
t
So sánh điều kiện ta có t 4
0,25
Khi đó
2
2
5
5 3
5
2
HẾT
