III/ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN : * Caùch laøm :bieåu dieãn fxdx veà daïng tích u.dv = u.v’dx... Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng trên ...[r]
Trang 1CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
∫dx=x +C
∫x αdx=x
α +1
α +1+C
∫dxx =ln|x|+C
ax+b¿ndx=¿1
a
(ax+ b) n +1 n+1 +C
¿
∫¿
∫e x dx=e x+C
∫a xdx= a
x
ln a+C
∫cos (nx ) dx=1
n sin nx +C
∫sin x dx=− cos x+C ;
∫sin nx dx=−1
n cos nx+C
1
cos2x dx=∫(1+¿tg2x)=tgx+C
∫¿
1
sin2x dx=∫(1+cot2gx)=¿− cot gx+C
∫¿
∫du=u+C
∫u αdu=u
α+1 α+1+C
∫(ax +b)1 dx=1
aln|ax +b|+C
1
u ndx=∫u − ndx=¿− 1
(n −1) un −1+C
∫¿
∫e ax+bdx=1
a e
ax+b
+C ; ∫a udu= a
u lnu+C
∫sin(ax+b)dx=− 1
a cos (ax +b)+C
∫cos (ax +b)dx=1
a sin(ax+b)+C
u '
u dx=∫duu =¿ln|u|+C
∫¿
;
∫ u'
√udx=2√u+C ; ∫u '
u2dx=−
1
u+C
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I/ CÔNG THỨC NEWTON –LEPNIC: ∫
a
b
f (x)=F(x )¿a b=F (b)− F(a)
II/ PH ƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN :
DẠNG I : ∫
a
b
f (x) dx=∫
α
β
f (ϕ(x )) ϕ'( x) dx ; Với ϕ(a)=α ;ϕ(b)=β
* Cách làm : Đặt t = ϕ(x) Đổi cận + Lấy vi phân 2 vế để tính dx theo t & tính dt + Biểu thị : f(x).dx theo t & dt (f(x)dx= g(t) dt )
DẠNG II : Đặt x = ϕ(t) (Tương tự trên )
III/ PH ƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN :
* Cách làm :biểu diễn f(x)dx về dạng tích u.dv = u.v’dx.
+ chọn u sao cho du dễ tính + chon dv sao cho dễ tính v = ∫dv + áp dụng ct
I = ∫a
b
f (x) dx=∫
α
β
g (t) dt
∫
a
b
u dv=u v¿a b −∫
a b
v du
Trang 2DẠNG I :
¿
p(x).
sin ax cos ax tgax
eax
¿righ
¿
¿[ ][ ][ ]
∫
a
b
❑
¿
; Thì đặt u = p(x) : đa thức ; dv =
sin ax cos ax tgax
eax
¿righ
¿
¿[ ][ ][ ]
¿
dx suy ra v
DẠNG II : ∫
a
b p(x ) ln x dx ; Thì đặt u = lnx ; dv = p(x).dx
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP I/ TÍCH PHÂN HÀM H ỮU TỶ :
I = ∫
a
b
P(x )
Lưu ý CT: ∫(ax +b)1 dx=1
aln|ax +b| Nếu bậc tử nhỏ hỏn bậc mẫu :
∫ 1
u n dx=−
1 (n −1) u n −1 + Phân tích:
x − β¿2
¿
¿
P(x) Q( x)=
A
x − α+
B
¿
+ Đồng nhất 2 vế đẳng thức tìm A,B,C,D và đưa về t/phân cơ bản
Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng trên
II/ TÍCH PHÂN HÀM L ƯỢNG GIÁC :
1 ∫
a
b
f (sin x) cos xdx ; Đổi biến t = sinx 2 ∫
a
b
f (cos x ) sin xdx ; Đổi biến t =
cosx
3 ∫
a
b
f (tgx)dx ; Đổi biến t = tgx
4 ∫
a
b
f (sin 2 n x ,cos 2 n x)dx ; Dùng CT hạ bậc :
¿
cos2x= 1+cos 2 x
2 sin2x= 1 −cos 2 x
2
¿{
¿
5 ∫
a
b
sin ax cos bx dx ; Dùng CT : sin A cos B=1
2[sin ( A +B )+sin ( A − B )]
∫
a
b
sin ax sin bx dx ; sin A sin B=1
2[cos ( A − B )− cos ( A +B)]
∫
a
b
cos ax cos bx dx ; cos A cosB=1
2[cos( A+B)+cos ( A − B )]
Trang 36 ∫
a
b
dx
a cos x +b sin x ; Đổi biến t = tg x
2 Thì sinx = 2t
1+t2 ; cosx =
1 −t2
1+t2
Dạng 1 ∫
a
b
f (x , n
√ax +b cx +d ) dx ;Đổi biến t = n
√ax+b
cx+d giải tìm x = ϕ(t) Tính dx theo dt
a
b
f (x ,√a2− x2) dx ; Đổi biến x= asint ; Tính dx theo dt
a
b
f (x ,√x2− a2
) dx ; Đổi biến x = sin t a ; Tính dx theo dt
a
b
dx
x2+a2 ; Hoặc : ∫
a
b
dx
√x2 +a2 ; Đổi biến x = atgt ; Tính dx theo dt
Cho In = ∫
a b
f (n ; x)dx Với nN.Tính I1; I2.Lập công thức liên hệ giữa In & In + 1 Suy ra In