Nếu kết quả sai một chữ số cuối hoặc thiếu 1 chữ số cuối hoặc thừa 1 chữ số cuối ở phần thập phân thì mỗi trường hợp trừ 1/4 số điểm.. Nếu kết quả sai hai chữ số cuối hoặc thiếu 2 chữ số[r]
Trang 1PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TP THANH HOÁ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
MễN: GIẢI TOÁN BẰNG MTCT - LỚP 9
NĂM HỌC 2016-2017
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm cú 10 bài, 02 trang
1 Thớ sinh được sử dụng cỏc loại mỏy tớnh: Casio fx - 500MS; Casio fx - 570MS; Casio fx - 570ES.
2 Nếu khụng cú yờu cầu gỡ thờm hóy tớnh chớnh xỏc đến 6 chữ số thập phõn.
Bài 1: (2,0 điểm)
a) Ghi biểu thức rỳt gọn rồi tớnh giỏ trị biểu thức
A =
Với x = 2018 2 2017 2018 2 2017
b) Tớnh
cos 53 22' sin 31 10'' (tan 55 ) B
os29 27 ' cos16 25' (sin 30 42")
c
Bài 2: (2,0 điểm) Học sinh chỉ ghi kết quả
a) Số chớnh phương Q cú dạng: Q = 65 3596 4c d
Tỡm cỏc chữ số c, d biết rằng tổng cỏc chữ số của Q chia hết cho 5
b) Tỡm số dư phộp chia
M = 2x23x5 + 125423 cho 17 khi x = 5
Bài 3: (2,0 điểm) Trỡnh bày túm tắt cỏch giải và ghi kết quả.
a) Giải phương trỡnh: 2x2 8x12 3 4 3x2 12x13
b) Giải hệ phương trỡnh
¿
x ( x +2016) ( y − 2015 x )=9
x2
+x + y =6
¿ {
¿
Bài 4:(2,0 điểm) Trỡnh bày túm tắt cỏch giải và ghi kết quả
Tỡm nghiệm tự nhiờn của phương trỡnh: 2m - 2n = 2016
Bài 5: (2,0 điểm) Học sinh chỉ ghi kết quả (làm trũn đến đồng)
Một gia đỡnh gửi vào ngõn hàng 50.000.000đ, giả sử lói suất 1,25%/thỏng a) Hỏi sau 1 năm gia đỡnh đú cú được tổng số tiền ở ngõn hàng là bao nhiờu? Biết rằng hàng thỏng khụng rỳt lói ra
b) Nếu hàng thỏng gia đỡnh rỳt từ ngõn hàng ra 1.500.000đ vào ngày ngõn hàng tớnh lói để sinh hoạt Hỏi sau 1 năm gia đỡnh đú cũn lại bao nhiờu tiền ở ngõn hàng
Trang 2Bài 6 : (2,0 điểm) Trình bày tóm tắt cách giải và ghi kết quả.
Cho tam giác ABC vuông tại A Biết AB = 5,2538cm, góc C = 40025’ Từ
A vẽ đường phân giác AD và trung tuyến AM (D và M thuộc BC)
a) Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, BD
b) Tính diện tích các tam giác ADM
c) Tính độ dài phân giác AD
Bài 7:(2,0 điểm) Trình bày tóm tắt cách giải và ghi kết quả
Có bao nhiêu số có 6 chữ số được viết bởi các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5 (Trong
đó không có chữ số nào trùng nhau)? Trong các số có 6 chữ số như thế, có bao nhiêu số chia hết cho 5?
Bài 8: (2,0 điểm) Trình bày tóm tắt cách giải và ghi kết quả
Một mảnh bìa có dạng hình một tam giác cân ABC, với AB = AC = 25cm
và BC = 14cm Làm thế nào để cắt từ mảnh bìa đó ra thành hình chữ nhật MNPQ
có diện tích bằng
1
17 diện tích tam giác ABC Trong đó M, N thuộc cạnh BC còn
P, Q tương ứng thuộc các cạnh AC, AB
Bài 9: (2,0 điểm) Cho dãy U n xác định bởi U1 = 1; U2= 3
Un = 3Un1 Nếu n chẵn
Un = 4Un1 + 2Un2 Nếu n lẻ
1) Lập quy trình tính Un
2) Tính U15
Bài 10: (2,0 điểm) Trình bày tóm tắt cách giải và ghi kết quả
Cho tứ giác ABCD có diện tích bằng 20,5746 cm2 Trên tia đối của các tia
AB, BC, CD, DA lần lượt lấy điểm I, K,L,M, sao cho AI = AB; BK = BC; CL= CD; DM = DA Tính diện tích tứ giác IKLM
Trang 3Thí sinh không sử dụng tài liệu; Giám thị không giải thích gì thêm.
-Hết -HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN GIẢI TOÁN BẰNG MTCT LỚP 9
Kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố năm học 2016-2017 Bài 1 (2,0 điểm)
a) Tính A2 =
2x 4
x
vì A > 0 A =
2x 4
x
x = 2016 A ≈ 9,480974
b) B ≈ - 0,739623
0,5 0,5 1,0
Bài 2: (2,0 điểm)
a) Vì tổng các chữ số của Q chia hết cho 5 nên suy ra C + d = 2 hoặc c + d = 7
hoặc c + d = 12 hoặc c + d = 17 Với mỗi trường hợp thì kết hợp với việc lập
bảng giá trị với tính toán trên máy tính điện tử Từ đó tìm được các chữ số
thỏa mãn yêu cầu bài toán là c = 9, d = 8
b) Khi x = 5 M = 215 + 125423
Ta có 215 9(mod 17); 125423 14(mod 17) Số dư khi chia M cho 17
bằng số dư khi chia 9 + 14 = 23 cho 17 và bằng 6
1,0
1,0
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Phương trình 2(x 2)2 4 43(x 2)2 1 ≥ 4 + 4 1 = 3
Do đó dấu “=” xảy ra x - 2 = 0 x = 2
Vậy phương trình có nghiệm x = 2
b) Giải hệ phương trình:
¿
x ( x +2016) ( y − 2015 x )=9
x2
+x + y =6
¿ {
¿
Lời giải:
Đặt a=x ( x +2016) ;b= y − 2015 x (*)
Khi đó, ta có hệ phương trình:
¿ ab=9
a+b=6
⇒a=b=3
¿ {
¿ Thay a=b=3 vào (*), ta được:
¿
x1≈ 0 ,001488
y1≈ 5 , 998510
¿ {
¿
và
¿
x2≈ −2016 , 001488
y2≈ − 4062239 , 998130
¿ {
¿
0.5 0.5
0.25
0.25 0.5
0.5 0.5 0.5
Trang 4Bài 4: (2,0 điểm)
Với m ≤ n thì 2m - 2n ≤ 0 đẳng thức không xảy ra
Với n = 0 thì 2m - 1 = 2016 2m = 2017 (Không tồn tại số tự nhiên thỏa
mãn)
Với m ≥ n ≥ 1 thì 2m - 2n = 2016 2n(2m-n - 1) = 25 63
5
n
m n
5
n
m - n = 6; n = 5
m = 11; n = 5
0.5
Bài 5: (2,0 điểm)
a) Số tiền gia đình có sau n tháng được tính theo công thức: T = a(1+ x)n Với
a là số tiền ban đầu và x là lãi suất Sau 1 năm gia đình có tổng số tiền là:
T = 50.000.000(1 + 0,0125)12 ≈ 58.037.725đ
b) Gọi số tiền ban đầu là a, số tiền rút ra hàng tháng là T Lãi suất là x, thời
gian là n
- Sau 1 tháng: Số tiền có là a + ax = a(1 + x) = ka (Với k = 1 + x)
Số tiền còn lại sau khi rút: a(1 + x) - T = ka - T
- Sau 2 tháng: Số tiền có: ka - T + x(ka - T) = (ka - T)(1 + x) = (ka - T)k = k2a
- kT
Số tiền còn lại sau khi rút: k2a - kT - T = k2a - T(k + 1) = k2a - T
2 1 1
k k
- Sau 3 tháng: Số tiền có: (k2a - T
2 1 1
k k
) k = k3a - T
3
1
k
Số tiền còn lại sau khi rút: k3a - T
3
1
k
- T = k3a - T
3 1 1
k k
Sau n tháng số tiền còn lại là: kna - T
1 1
n k k
Vậy sau 1 năm (12 tháng) Gia đình còn số tiền ở ngân hàng là
(1 + 0,0125)12 x 50.000.000 - 1.500.000
12
(1 0,0125) 1 (1 0,0125) 1
≈ 38.747.183đ
1,0
1,0
Bài 6: (2,0 điểm)
a) Tính AM:
A
Trang 5BC = 0 '
5, 2538 sin 40 25
AM = 2
BC
5, 2538 2sin 40 25 ≈ 4,051723 (cm) Tính BD: AC = 0 '
5, 2538 tan 40 25
Gọi x, y lần lượt là độ dài BD, DC khi đó, ta có hệ phương trình sau
x y BC
0 '
0 '
5, 2538 sin 40 25
5, 2538
5, 2538 0 tan 40 25
x y
BD = x 3,726916 (cm); DC 4,376511(cm)
b) Tính diện tích ∆ADM: SABC =
2
AB AC
=
2
0 '
5, 2538
2 tan 40 25
2
ABC
A M
BC
2
ABC
A M
BC
S
BC
≈ 0,649611 (cm2) c) Kẻ đường cao AH của ∆ABC ta có AH =
2S ABC BC
HAD = 450 – 400 25’ = 4035’; AD = cos
AH HAD 4.012812 (cm)
0.25
0.5
0.25 0.5
0.5
Bài 7: (2,0 điểm)
Có 6! số có 6 chữ số 0, 1, 2 , 5 mà mỗi số không có chữ số nào trùng nhau kể cả
số 0 ở đầu
Có 5! số có 6 chữ số mà số 0 ở đầu Vậy có tất cả 6! - 5! = 600 số có 6 chữ số 0, 1, 2 , 5 trong đó không có chữ số nào trùng nhau
Những số chia hết cho 5 là những số tận cùng là 0 hoặc 5
Một số có 6 chữ số tận cùng là 0 thì 5 chữ số đầu là hoán vị của 5 số 1, 2, 3, 4, 5
là 5! số
Những số tận cùng là 5 thì 5 chữ số đầu là 0, 1, 2, 3, 4 nhưng số đầu tiên không phải là 0 có 5! - 4! số như vậy
Vậy tất cả có 5! + (5! - 4!) = 2 5! - 4! = 216 số có 6 chữ số 0, 1, 2 , 5 chia hết cho 5
Bài 8: (2,0 điểm)
y
y
K
Q
A
Trang 6Kẻ đường cao AH, AH là trục đối xứng của ΔABC và HC = HB = 7 cm, Tính được
HA = 24 cm
Giả sử N HC, gọi K là giao điểm của AH với PQ, ta có
cm2 (1) Đặt HN = x (0 < x < 7) thì NC = 7 - x, đặt NP = y (0 < y < 24)
Do NP // AH nên
(7 ).24 7
y
24x(7 ) 7
HNPK
x
(2)
Từ (1) và (2)
2
.84 24x 168x
x
=0
Từ đó tìm được x1 6,787678 và x2 0,212322
vậy có 2 phương án cắt được hình chữ nhật MNPQ là từ N HC sao cho HN = 6,787678 cm hoặc HN = 0,212322 cm kẻ đường thẳng song song với AH nó cắt AC tại P, kẻ PQ // BC (Q AB) và M đối xứng với N qua AH được MNPQ cần tìm
Bài 9: (2,0 điểm)
Cách 1: 1 A; 1 C
A = A + 1 : B = 3C : A = A + 1 : c = 4B + 2C
U15 = 105413504
Cách 2: 3 SHIFT STO A x 4 + 2 SHIFT STO B (U3)
x 3 SHIFT STO A (U4)
x 4 + 2 ALPHA B SHIFT STO B (U5)
(Δ = )
U15 = 105413504
1,0 1,0
Bài 10: (2,0 điểm)
K
I
L
C D
Trang 7Ta có SK IA S K BA S ABC (Tam giác có cạnh đáy bằng nhau, đường cao chung)
Tương tự SMCD S MCL S CAD
SIKBS MLD 2.S ABCD; tương tự SIAM S LKC 2.S ABCD
Suy ra SIKLM 5.S ABCD = 5 20,5746 = 102,873 cm2
Chú ý:
1 Học sinh làm đúng phần nào, câu nào cho điểm câu đó.
2 Những bài kết quả nhiều hơn 6 chữ số ở phần thập phân thì làm tròn đến
6 chữ số ở phần thập phân
3 Nếu kết quả sai một chữ số cuối hoặc thiếu 1 chữ số cuối hoặc thừa 1 chữ
số cuối ở phần thập phân thì mỗi trường hợp trừ 1/4 số điểm.
4 Nếu kết quả sai hai chữ số cuối hoặc thiếu 2 chữ số cuối hoặc thừa 2 chữ
số cuối ở phần thập phân thì mỗi trường hợp trừ 1/2 số điểm.
5.Nếu sai dấu “=” hoặc “” hoặc kết quả có đơn vị mà thiếu đơn vị thì trừ 1/4 số điểm.
6 Nếu giải học sinh giải bằng cách khác nhưng đúng vẫn được nguyên điểm.
7 Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
M