Biểu diễn ma trận của hệ phương trình maxwell

Tuy nhiên, hầu hết các biểu diễn đó có độ chính xác khôngcao và thường được viết dưới dạng một cặp phương trình ma trận cho môi trường tự do.. Chương 1 DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

-*ddd* -THÁI HỒNG TRUNG

BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ

Vinh, 2009

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đinh PhanKhôi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn đã chọn đề tài

và hướng dẫn tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Đinh Xuân Khoa,

TS Võ Thanh Cương, TS Lưu Tiến Hưng cùng các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình

giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

đã động viên, giúp đỡ trong quá trình hoàn thành luận văn này

Vinh, ngày 28 tháng 11 năm 2009

Thái Hồng Trung

MỤC LỤC

Trang

Chương 1: DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG

1.2 Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường

1.3 Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường

Chương 2: SỰ TRUYỀN CỦA CHÙM ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC GẦN TRỤC.

2.1 Biểu diễn chính xác của hệ phương trình Maxwell trong môi trường 20

Chương 3: SỰ TRUYỀN ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ HỆ SỐ

KHÚC XẠ KHÔNG ĐỔI VÀ TRONG MÔI TRƯỜNG CÓ HỆ SỐ KHÚC XẠ

3.2 Môi trường với hệ số khúc xạ thay đổi theo quy luật đối xứng trục 37

Hệ phương trình Maxwell về điện từ trường [1], [11] biểu diễn lý thuyếttổng quát cho tất cả các hiện tượng điện từ và quang học

Từ nửa thế kỷ trước, người ta đã xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phươngtrình Maxwell [7-10] Tuy nhiên, hầu hết các biểu diễn đó có độ chính xác khôngcao và thường được viết dưới dạng một cặp phương trình ma trận cho môi trường tự

do Các biểu diễn đó chỉ là gần đúng đối với môi trường có độ điện thẩm  r( , )t và

độ từ thẩm  r( , )t phụ thuộc không- thời gian Một số tác giả biểu diễn qua một cặpphương trình sử dụng các ma trận (3 x 3): một cho rot và một cho div

Một số tác giả khác đã xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phương trìnhMaxwell đối với trường hợp độ điện thẩm  r( , )t và độ từ thẩm  r( , )t thay đổi.Cách tiếp cận này sử dụng các véctơ Riemann-Silberstein F r t±( , ) để viết lại hệphương trình Maxwell gồm 4 phương trình: hai phương trình cho rot và hai phươngtrình cho div và có sự trộn giữa F r t+( , )và F r t-( , ) Sự trộn này được biểu diễn qua

hai hàm dẫn xuất của độ điện thẩm  r( , )t và độ từ thẩm  r( , )t Bốn phương trìnhnày sau đó được biểu diễn dưới dạng một cặp phương trình ma trận sử dụng các matrận (6 x 6): một phương trình cho rot và một phương trình cho div Mặc dù cáchtiếp cận này là chính xác nhưng nó đòi hỏi một cặp các phương trình ma trận

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi tìm hiểu chi tiết cách biểu diễn hệphương trình Maxwell dưới dạng chỉ một phương trình các ma trận 8 x 8, sử dụng

tổ hợp tuyến tính các thành phần của các véctơ Riemann-Silberstein F r( , t) vàphép biến đổi Foldy-Wouthuysn Biểu diễn này được S A Khan và các cộng sự đềxuất đầu tiên từ năm 2002 [7-9], cho trường hợp tổng quát với độ điện thẩm và từthẩm  r( , t)và  r( , t) phụ thuộc không – thời gian

Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văngồm 3 chương Trong chương 1, sau khi nhắc lại các dạng tích phân và dạng viphân quen thuộc, chúng tôi dẫn ra dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell Sựtruyền của chùm ánh sáng đơn sắc gần trục và phép biến đổi Foldy-Wouthuysenđược trình bày ở chương 2 Chương 3, khảo sát sự truyền ánh sáng trong môi trường

Chương 1 DẠNG TÍCH PHÂN, DẠNG VI PHÂN VÀ DẠNG MA TRẬN

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Trong chương này, sau khi nhắc lại hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân và tích phân quen thuộc, chúng tôi sẽ xây dựng biểu diễn ma trận của hệ phương trình Maxwell

1.1 Dạng tích phân, dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell

a) Điện từ trường – điện tích và dòng điện

Điện từ trường được đặc trưng bởi 4 véctơ: véctơ cường độ điện trường E,véctơ cường độ cảm ứng điện (cũng gọi là véctơ điện dịch) D, véctơ cường độ từtrường H và véctơ cảm ứng từ B Bốn véctơ trên không độc lập với nhau Đối vớicác môi trường đẳng hướng, chúng liên hệ với nhau bằng những hệ thức:

trong đó  gọi là hằng số điện môi và  gọi là độ từ thẩm của môi trường

Đối với chân không, điện từ trường cũng được đặc trưng bằng cả 4 véctơ

, , ,

E D B H như trong môi trường vật chất Thực nghiệm chứng tỏ rằng giữa hằng số

điện môi 0 và độ từ thẩm 0 của chân không có hệ thức 0 0 2

độ ánh sáng trong chân không, c = 3.108 m/s

Tính chất điện từ của môi trường vật chất được đặc trưng bằng các hằng số

 và  Bên cạnh những hằng số đó, người ta định nghĩa:

' 0

được coi là phân bố liên tục trong không gian Nếu điện tích phân bố liên tục trongmột thể tích bất kỳ nào đó thì mật độ điện tích khối  tại mỗi điểm được tính bằng



trong đó Vlà một thể tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát và e là điện tíchchứa trong thể tích đó Mật độ điện tích khối được đo bằng đơn vị Coulomb trênmét khối (C/m3) Nếu điện tích được phân bố liên tục trên một mặt bất kỳ nào đó thìmật độ điện tích mặt  tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức:



trong đó Slà một diện tích nhỏ bất kỳ bao quanh điểm quan sát và e là điện tíchchứa trong diện tích đó Mật độ điện tích mặt được đo bằng đơn vị Coulomb trênmét vuông (C/m2) Nhiều khi người ta có thể coi rằng điện tích tập trung tại mộtđiểm Đối với điện tích điểm thì mật độ điện tích bằng vô cực

Dòng điện được phân bố liên tục trong không gian Nếu dòng điện đượcphân bố liên tục trong một thể tích bất kỳ nào đó thì mật độ dòng điện j tại mỗiđiểm được tính bằng hệ thức:

Nếu dòng điện được phân bố liên tục trên một mặt bất kỳ nào thì mật độdòng điện mặt i tại mỗi điểm được tính bằng hệ thức:

Mật độ dòng điện j được đo bằng đơn vị Ampere trên mét vuông (A/m2),mật độ dòng điện mặt iđược đo bằng Ampere trên mét (A/m).

Nói chung, các đại lượng đặc trưng cho điện từ trường E D B H, , , , điện tích

không - thời gian Các phương trình Maxwell diễn tả những định luật của trườngđiện từ bằng cách xác lập mối quan hệ giữa các đại lượng kể trên tại cùng một điểmcủa không gian và vào cùng một thời điểm Vì vậy, muốn thành lập những phươngtrình Maxwell, chúng ta phải viết lại những định luật cơ bản của điện từ trường dướidạng những hệ thức giữa các đại lượng ở cùng một điểm và một thời điểm, tức làdưới dạng những phương trình vi phân có chứa đạo hàm riêng phần theo tọa độ vàthời gian [1, 2, 11]

b) Dạng vi phân của định lý Ostrogradski – Gauss

Theo định luật Coulomb, lực điện giữa hai điện tích điểm e và e’ bằng:

' 2

trong đó r0 là bán kính véctơ của điện tích e’ khi lấy điện tích e làm gốc

Điện trường của e tác dụng lên e’ một lực bằng:

'



Đó là cách biểu diễn khác của định luật Coulomb, nhưng công thức (1.3) có

ý nghĩa tổng quát hơn (1.1) Công thức (1.1) phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, nóbiểu diễn lực tương tác tức thời giữa e và e’, và chỉ đúng trong trường hợp các điệntích đứng yên hoặc chuyển động chậm và khoảng cách giữa chúng không lớn lắm.Công thức (1.3) phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, nó đúng trong mọi trường hợp

và không phụ thuộc nguyên nhân gây ra điện trường E Từ (1.2) ta rút ra biểu thứccủa véctơ cảm ứng điện:

14

trong đó N là thông lượng của cảm ứng điện D qua mặt kín bất kỳ S, dS là một

nguyên tố diện tích trên mặt S Chiều dương của dS là từ trong ra ngoài mặt S

Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kỳ nên các lượng trong dấu tích

Đó là dạng vi phân của định lý Ostrogradski-Gauss và cũng là một trongnhững phương trình Maxwell [1, 2, 11]

c) Định luật bảo toàn điện tích – dòng điện dịch

Xét một thể tích không đổi bất kỳ V, giới hạn bằng một mặt kín S không đổi.Điện tích chứa trong thể tích V bằng:

Thực nghiệm chứng tỏ rằng điện tích được bảo toàn Nếu điện tích trong thể tích Vbiến đổi, phải có một dòng điện tích (dòng điện) chảy qua mặt kín S bao quanh thểtích V Dòng điện đó chảy vào thể tích V nếu dòng điện tích trong V tăng, và chảy

ra nếu dòng điện tích giảm Xét một nguyên tố mặt dS trên mặt kín S Điện lượngchảy qua dS trong đơn vị thời gian (cường độ dòng điện qua dS) bằng dI=v Sd ,trong đó v là vận tốc của điện tích tại điểm chứa dS và véctơ dShướng từ trong rangoài thể tích V

Do quy ước về chiều của dS , nên cường độ dòng điện I là dương khi dòng

chảy từ trong ra ngoài mặt S, và âm khi dòng chảy từ ngoài vào trong

Định luật bảo toàn điện tích có thể biểu diễn bằng:

Đối với dòng điện dừng, mật độ điện tích tại từng điểm là không đổi theo

mà mật độ điện tích biến thiên theo thời gian

Lấy đạo hàm theo thời gian của (1.7) ta được:

t Nói cách khác,

điện trường biến thiên theo thời gian sinh ra từ trường, tương tự như từ trường biếnthiên sinh ra điện trường theo định luật cảm ứng điện từ [1, 2, 11].

Xét một mặt kín bất kỳ không đổi S giới hạn bằng chu tuyến khép kín C.Định luật cảm ứng điện từ Faraday được viết dưới dạng:

ddt







(1.16)trong đó  là thông lượng của cảm ứng từ (từ thông) qua mặt S và  là suất điệnđộng cảm ứng xuất hiện trên chu tuyến C Chiều dương trên chu tuyến C và chiềudương của pháp tuyến của mặt S được chọn theo quy tắc vặn nút chai Dấu trừ ở vếphải xác định chiều của suất điện động cảm ứng Chú ý rằng chu tuyến khép kín C ởđây có thể là một đường tưởng tượng bất kỳ, không nhất thiết phải là một dây dẫnkhép kín

Theo định nghĩa, từ thông bằng

s Suất điện động bằng công của lực điện F để di chuyển một điện tích dương

có độ lớn bằng đơn vị (e=+1 Coulomb) dọc theo chu tuyến C đúng bằng một vòng

Thực nghiệm cho thấy rằng, đường sức cảm ứng từ B bao giờ cũng khépkín Xét một mặt kín bất kỳ S đặt trong từ trường Vì mọi đường sức của B đi vàomặt kín S đều đi ra nên từ thông qua mặt kín S bằng 0:

g) Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân và vi phân

Kết hợp các phương trình trên, ta có hệ phương trình Maxwell dạng tíchphân và dạng vi phân

Dạng vi phân:



B E

Các phương trình trên được bổ sung bằng 2 phương trình diễn tả quan hệgiữa điện từ trường với các tính chất điện từ của môi trường vật chất:

(1.25) giống vế trái của (1.24), nên ta cũng gọi d Hdl gọi là thế từ động.

Các phương trình trên còn diễn tả mối quan hệ giữa điện trường và từtrường: từ trường biến thiên sinh ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biếnthiên cũng sinh ra từ trường xoáy

Phương trình (1.22) và (1.26) diễn tả định luật Ostrogradski-Gauss Chúngcũng cho biết rằng đường sức cảm ứng điện xuất phát hoặc tận cùng ở các điện tích

Phương trình (1.23) và (1.27) có nghĩa là các đường sức cảm ứng từ không

có gốc xuất phát Chúng là khép kín hoặc đi ra xa vô cực Trong thực tế không có

cái gọi là từ tích tương ứng với những điện tích Khái niệm từ tích dùng trong từ

học chỉ là một khái niệm toán học để thuận tiện cho các phép tính toán [1, 2, 11]

1.2 Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất

Ta hãy xuất phát từ hệ phương trình Maxwell trong môi trường không đồng nhất có nguồn:



Ta giả thiết môi trường là tuyến tính, nghĩa là DEvà BH Một cách

tổng quát  ( , )r t và ( , )r t Trong phần này xem chúng như là hằng số trongphép tính đạo hàm Độ lớn của vận tốc ánh sáng trong môi trường được tính theo

công thức:

1( , )

hoàn toàn bình đẳng Hai véctơ này chỉ khác nhau bởi dấu trước i và không phải là

liên hợp phức với nhau Không cần giả thiết một dạng đặc biệt nào cho E r( , )t và

B r Ta cần cả hai đại lượng này trong môi trường không đồng nhất

Nếu một môi trường có độ điện thẩm  r( , )t và độ từ thẩm  r( , )t là hằng số (hoặc có thể xem là hằng số địa phương trong xấp xỉ gần đúng nào đó) thì các véctơ

Như vậy, bằng cách sử dụng các véctơ Riemann-Silberstein ta có thể viết lại

4 phương trình Maxwell (cho một môi trường với độ điện thẩm  r( , )t và độ từthẩm  r( , )t không đổi) dưới dạng hai phương trình Phương trình thứ nhất của(1.31) chứa hai phương trình Maxwell với rot và phương trình thứ hai của (1.31)chứa hai phương trình Maxwell với div Phương trình đầu của (1.31) có thể đượcchuyển ngay thành biểu diễn ma trận 3 x 3 Tuy nhiên biểu diễn này không chứađiều kiện phân kỳ (phương trình Maxwell thứ nhất và phương trình Maxwell thứ 4)

có trong phương trình thứ hai ở (1.31) Có thể thu được cách viết gọn hơn bằng

cách biểu diễn hệ phương trình Maxwell dưới dạng ma trận 4 x 4 Để làm việc này,

sử dụng các thành phần của véctơ Riemann-Silberstein, ta định nghĩa:

x y

F t

x y

F t

F

(1.32)Các véctơ đối với nguồn là:

x y

J J

,

- 1W

2

x y z

z

x y

J J





(1.34)trong đó ‘*’ là phép lấy liên hợp phức và tam tuyến gồm 3 yếu tố M(M M M x, y, z)

được biểu diễn theo các ma trận:

0 1

01

1

Một cách tương đương, ta có thể dùng ma trận j  Hai ma trận này chỉkhác nhau bởi dấu (–) Với mục đích của chúng ta thì dùng J hay  đều được Tuynhiên, chúng có ý nghĩa khác nhau: J là phản biến còn là hiệp biến Ma trận 

tương ứng với dấu ngoặc Lagrange của cơ học cổ điển và J tương ứng với dấu

ngoặc Poisson Hệ thức liên hệ giữa hai ma trận này là  =J-1 Các ma trận M có

các thành phần y, x và z của rota và thành phần cuối cho điều kiện div có mặt trong

phương trình tiến triển (1.31)

Chú ý rằng, các ma trận M không phải là ma trận đơn và tất cả là Hermite.

Ngoài ra, chúng thoả mãn đại số thông thường của các ma trận Dirac:

i i

đã bỏ qua sự phụ thuộc vào không gian và thời gian của độ điện thẩm  r( , )t và độ

từ thẩm  r( , )t trong hai phương trình đầu của hệ phương trình Maxwell Chúng ta

đã xem độ điện thẩm  và độ từ thẩm  như các hằng số [7 - 10]

1.3 Dạng ma trận của hệ phương trình Maxwell trong môi trường không đồng nhất

Trong phần trước, ta đã viết các phương trình tiến hoá cho véctơ Silberstein dưới dạng (1.31), cho một môi trường và xem độ điện thẩm  r( , )t và độ

Riemann-từ thẩm  r( , )t là các hằng số Từ các cặp phương trình này ta viết dạng ma trận của

hệ các phương trình Maxwell Trong phần này, ta viết các phương trình chính xác

kể tới sự phụ thuộc không-thời gian của độ điện thẩm  r( , )t và độ từ thẩm  r( , )t

Có thể viết các phương trình tiến hoá cần tìm bằng cách dùng độ điện thẩm  r( , )t

và độ từ thẩm  r( , )t Ở đây, ta sử dụng hai hàm dẫn xuất được đưa ra từ thựcnghiệm, được định nghĩa như sau:

Hàm vận tốc:

1( , )

trở (đo bằng ) Một cách tương đương ta có thể dùng hàm dẫn

nghiệm Nếu tính theo các hàm này thì

1( , )

Sử dụng các hàm này ta viết được các phương trình chính xác mà F( t r, ) phải thoảmãn:

( , ) ( , )

2 ( , )1( , ) ( , ) 2

ở đây ‘ln’là logarit tự nhiên.

Sự kết cặp được tóm tắt một cách rõ nhất bằng cách biểu diễn hệ phươngtrình (1.39) dưới dạng ma trận khối Để làm điều này ta đưa ra hàm logarit như sau:

2( , )

-( , )

2 ( , )( , )

y y

0 r

M r

Trong chương này, sau khi nhắc lại hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân

và tích phân quen thuộc, chúng tôi đã biểu diễn ma trận hệ phương trình Maxwelltrong một môi trường với độ điện thẩm ( , )r t và độ từ thẩm  r( , )t thay đổi, kể tới

sự có mặt của nguồn bằng cách sử dụng các véctơ Riemann-Silberstein và các thànhphần của nó Biểu diễn thu được chỉ cần một phương trìnhdưới dạng các ma trận (8

x 8) và đã tách sự phụ thuộc của liên kết giữa các thành phần trên ( , )r t và cácthành phần dưới ( , )r t thông qua hai hàm thực nghiệm Biểu diễn ma trận chínhxác có cấu trúc đại số rất tương tự phương trình Dirac Kết quả này là điểm khởiđầu cho hình thức luận chính xác của quang học Maxwell

Chương 2

SỰ TRUYỀN CỦA CHÙM ÁNH SÁNG ĐƠN SẮC GẦN TRỤC.

PHÉP BIẾN ĐỔI FOLDY-WOUTHUYSEN

Trong chương này, xuất phát từ biểu diễn ma trận 8 x 8 của hệ phương trình Maxwell đã được đề cập ở chương 1, chúng tôi xây dựng Hamiltonian quang học chính xác cho một chùm ánh sáng đơn sắc gần trục

Kỹ thuật biến đổi Foldy-Wouthuysen được trình bày và áp dụng để khảo sát hai trường hợp cụ thể: có nguồn và không có nguồn.

2.1 Biểu diễn chính xác của hệ phương trình Maxwell trong môi trường

Trước hết ta nhắc lại một số kết quả ở chương 1

Hệ phương trình Maxwell [1],[11] trong môi trường không đồng nhất cónguồn là:



Giả thiết môi trường là tuyến tính, nghĩa là D( , )r Et ,và B( , )r Ht ,trong đó  r( , t) là độ điện thẩm và  r( , t)là độ từ thẩm của môi trường Độ lớn của tốc độ ánh sáng trong môi trường được tính theo công thức:

x y

F t

F

,

1W

x y

J J

r 0 M r