Biểu diễn ma trận của các toán tử trong cơ học lượng tử (KL04178)

Và biểu diễn ma trận của các toán tử là một vấn đề hay và hữu ích khi tìm hiểu về toán tử, giúp ta giải một số bài toán trong cơ học lượng tử một cách thuận lợi.. Nhiệm vụ nghiên cứu Vi

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức - người

đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này

Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn của mình tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Lê Thị Huyền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: “ Biểu diễn ma trận của các toán tử trong cơ học lượng tử” được hoàn thành dưới sự nỗ lực của bản thân tôi và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Đào Vọng Đức

Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không trùng lặp với bất kì đề tài nào Tất cả những dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn trung thực

Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu trong đề tài của mình

Hà Nội, tháng 05 năm 2012 Sinh viên

Lê Thị Huyền

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……….….1

NỘI DUNG……… 3

Chương 1 Các toán tử trong cơ học lượng tử……….3

1 Định nghĩa toán tử và thí dụ……… 3

2 Toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng……… 4

2.1 Toán tử tọa độ……… 4

2.2 Toán tử xung lượng……… 5

2.3 Toán tử năng lượng……… 6

2.4 Toán tử momen xung lượng……… 7

3 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes……… 8

3.1 Toán tử tọa độ……… 8

3.2 Toán tử xung lượng……… 8

3.3 Toán tử Hamilton (toán tử năng lượng)……… 9

3.4 Toán tử momen xung lượng……… 10

4 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu……… 10

4.1 Toán tử tọa độ……….11

4.2 Toán tử xung lượng ………11

4.3 Toán tử Hamilton ……… 11

4.4 Toán tử momen xung lượng………12

5 Dạng cúa các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ trụ………13

5.1 Toán tử tọa độ……….13

5.2 Toán tử xung lượng……….13

5.3 Toán tử Hamilton ……… 13

5.4 Toán tử momen xung lượng………14

Chương 2 Lý thuyết biểu diễn……… 16

1 Hàm sóng trong các biểu diễn……… 16

2 Toán tử trong các biểu diễn……… 20

Chương 3 Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận 23

1 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong p-biểu diễn……….23

1.1 Toán tử tọa độ……….23

1.2 Toán tử xung lượng……….24

1.3 Toán tử năng lượng……….24

1.4 Toán tử momen xung lượng………25

2 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong E-biểu diễn……….25

2.1 Toán tử tọa độ……….25

2.2 Toán tử xung lượng……….25

2.3 Toán tử năng lượng……….25

2.4 Toán tử momen xung lượng………26

3 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong L-biểu diễn……….26

3.1 Toán tử tọa độ……….26

3.2 Toán tử xung lượng……….26

3.3 Toán tử năng lượng……….26

3.4 Toán tử momen xung lượng………27

4 Một số bài tập……….27

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 34

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU……… 1

NỘI DUNG……… 3

CHƯƠNG 1 CÁC TOÁN TỬ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ……… 3

1 Định nghĩa toán tử và thí dụ……….………… 3

2 Toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng……… 3

Toán tử tọa độ……….………… 3

Toán tử xung lượng……… 4

Toán tử năng lượng……… 4

Toán tử momen xung lượng……… ……… …….5

3 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes……… ………… ……… …….5

3.1 Toán tử tọa độ……….……… 5

3.2 Toán tử xung lượng………6

3.3 Toán tử năng lượng……… 6

3.4 Toán tử momen xung lượng……… ………7

4 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu……… ……….7

4.1 Toán tử tọa độ……….……… 7

4.2 Toán tử xung lượng………8

4.3 Toán tử năng lượng………8

4.4 Toán tử momen xung lượng……… ………8

5 Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong hệ tọa độ trụ……… …….8

5.1 Toán tử tọa độ……… ……… 8

5.2 Toán tử xung lượng……… 8

5.3 Toán tử năng lượng……….8

5.4 Toán tử momen xung lượng……… ………… ….9

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN……… 11

1 Hàm sóng trong các biểu diễn…… ……… ………11

2 Toán tử trong các biểu diễn……… 13

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN CÁC TOÁN TỬ BẰNG CÁC MA TRẬN ……16

1 Toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong p-biểu diễn……… ……… 16

Toán tử tọa độ……… ………16

Toán tử xung lượng……… ………… …16

Toán tử năng lượng……… 17

Toán tử momen xung lượng……… ………… 17

2 Toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong E-biểu diễn… ……… ………17

Toán tử tọa độ……… ………… 17

Toán tử xung lượng……… 17

Toán tử năng lượng……… 18

Toán tử momen xung lượng……… ………… 18

3 Toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng trong L-biểu diễn……… ……… ………18

Toán tử tọa độ……… ………… 18

Toán tử xung lượng……… 18

Toán tử năng lượng……… 19

Toán tử momen xung lượng……….………… 20

4 Một số bài tập……… ………… 22

KẾT LUẬN……… ……… 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 24

Tuy nhiên, từ cuối thế kỷ XIX, do sự hoàn thiện và ứng dụng của các phương tiện kĩ thuật vào việc nghiên cứu các vấn đề vật lý, người ta nhận thấy vật lý học cổ điển không thể giải thích được các tính chất của các nguyên tử và

sự tương tác của chúng với các bức xạ điện từ Để giải quyết vấn đề đó, cơ học lượng tử đã ra đời Nó dựa trên tính chất sóng - hạt của vật chất để nghiên cứu và giải thích các tính chất và hiện tượng xảy ra trong không gian kích thước cỡ 6

10

cm đến 13

10 cm Cơ học lượng tử là cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu thế giới vi mô - một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại

Để giải được các bài toán cơ học lượng tử, chúng ta cần phải hiểu và nắm vững được các toán tử cũng như các biểu diễn của nó Và biểu diễn ma trận của các toán tử là một vấn đề hay và hữu ích khi tìm hiểu về toán tử, giúp ta giải một

số bài toán trong cơ học lượng tử một cách thuận lợi Nó cũng cho thấy rằng toán học là một công cụ hữu ích đối với việc nghiên cứu về vật lý học

Với lý do đã trình bày, tôi quyết định chọn đề tài: “ Biểu diễn ma trận của

các toán tử trong cơ học lượng tử” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu dạng của các toán tử trong một số hệ toạ độ

- Nghiên cứu dạng của các toán tử trong các biểu diễn khác nhau

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Viết được dạng toán tử của các đại lượng động lực trong các biểu diễn

khác nhau

4 Đối tượng nghiên cứu

Dạng ma trận của các toán tử tương ứng với các đại lượng động lực trong

cơ học lượng tử

5 Phương pháp nghiên cứu

Áp dụng phương pháp nghiên cứu của Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận gồm ba chương:

- Chương 1: Các toán tử trong cơ học lượng tử

- Chương 2: Lý thuyết biểu diễn

- Chương 3: Biểu diễn các toán tử bằng các ma trận

Trong trường hợp này, toán tử ˆA phụ thuộc biến số x

+ Phép lấy đạo hàm đối với x: ˆ d

A dx

Trong trường hợp này, toán tử ˆA phụ thuộc đạo hàm đối với x

+ Phép nhân với một số (phức): ˆA h

h A x  x : ˆA là toán tử đơn vị

tọa độ:

2.2 Toán tử xung lƣợng

Đối với hạt vi mô có xung lƣợng p

và năng lƣợng E chuyển động tự do thì hàm sóng có dạng:

Hàm sóng  ở trên là hàm số biểu diễn trạng thái trong đó p có giá trị x

xác định, vì thế đó phải là hàm riêng của toán tử ˆp , nghĩa là: x

Trong cơ học cổ điển, năng lƣợng toàn phần đƣợc biểu diễn qua tọa độ x

và xung lƣợng p theo biểu thức:

2

, ,2

2

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ, ,2

2.4 Toán tử momen xung lƣợng

Trong cơ học cổ điển, momen xung lƣợng L đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

ˆ ˆ ˆ

L   r p i r và các toán tử hình chiếu momen xung lƣợng của hạt có dạng:

r xi yjzk Kết quả của việc tác dụng toán tử tọa độ lên một hàm của tọa

độ và thời gian là việc nhân đơn thuần tọa độ với hàm đó

3.3 Toán tử năng lƣợng (toán tử Hamilton)

Toán tử Hamilton là toán tử quan trọng nhất của cơ học lƣợng tử Trong

hệ tọa độ Descartes, toán tử Hamilton của một hạt bao gồm toán tử động năng và hàm lực:

p T

Ở đây, ˆW là thành phần mô tả chuyển động của hạt trong trường lực tổng quát

Đối với hệ n hạt thì dạng tổng quát của toán tử Hamilton là:

của các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian…

3.4 Toán tử momen xung lượng

Theo cơ học cổ điển, một hạt chuyển động trên quỹ đạo cong tại điểm có bán kính vector r

với xung lượng p

sẽ có momen xung lượng đối với trục tức

thời đi qua tâm chính khúc lúc đó là L r p   Như vậy, toán tử momen xung lượng của hạt là Lˆ    rˆ ˆp ir và các toán tử hình chiếu momen xung lượng của hạt sẽ có dạng:

Hệ tọa độ cầu được sử dụng đặc biệt tiện lợi trong các bài toán đối xứng tâm Mối liên hệ giữa các thành phần của vector r

trong hệ tọa độ Descartes và

hệ tọa độ cầu:

cos sin , 0sin sin , 0 2

Các tọa độ trong hệ tọa độ cầu là r, ,  được xác định thông qua vector r

trong hệ tọa độ Descartes nhờ công thức (1.4) Các toán tử tương ứng trong hệ tọa độ cầu là các toán tử nhân Kết quả của việc tác dụng toán tử tọa độ lên một hàm bất kì là việc nhân đơn thuần tọa độ với hàm đó

2 2

, 2

4.4 Toán tử momen xung lƣợng

Theo định nghĩa, ˆL ir Trong hệ tọa độ cầu, dạng của  là (1.5) còn rrer r,0,0 Bởi vậy:

Các toán tử hình chiếu momen xung lƣợng

x y

5.4 Toán tử momen xung lƣợng

Theo định nghĩa, ˆL ir Trong hệ tọa độ trụ,  có dạng (1.6) còn toán tử r

độ Descartes, không gian cấu hình của hạt là không gian ba chiều thông thường Hệ tọa độ cầu thường được sử dụng rất thuận lợi trong các bài toán đối xứng tâm, còn hệ tọa độ trụ thường được vận dụng trong các bài toán đối xứng trục Dạng của các toán tử tọa độ, xung lượng, năng lượng, momen xung lượng là khác nhau trong mỗi hệ tọa độ nói trên

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

1 Hàm sóng trong các biểu diễn

Để biểu diễn các trạng thái của các hệ lượng tử, chúng ta có thể dùng hàm sóng a q t, là hàm của các tọa độ q tại thời điểm t Chỉ số a kí hiệu cho tập hợp những giá trị của các đại lượng vật lý hay các số lượng tử đủ để xác định trạng thái tương ứng Do đó, chỉ số a còn được gọi là chỉ số trạng thái

Việc mô tả trạng thái dựa vào hàm số phụ thuộc tọa độ được gọi là các

phép biểu diễn tọa độ Chữ q kí hiệu cho tập hợp các biến mà hàm sóng phụ

thuộc được gọi là chỉ số biểu diễn

Các vector trạng thái là các phần tử của một không gian Hilbert các hàm

số nào đó Một hệ trực chuẩn các hàm riêng của một toán tử tuyến tính Hermite

F có thể lập thành một cơ sở trực chuẩn đủ trong không gian đó Bởi vậy, các vector trạng thái có thể khai triển một cách duy nhất theo hệ cơ sở này

1

dq

 có thể khai triển một cách duy nhất

 n f n

n

c f

   (hoặc c f f df ) (2.2) Với các hệ số

hệ số khai triển {c f n } thì chúng ta có thể xác định duy nhất hàm  q t,

Ngược lại nếu biết dạng toán tử Fˆ (hay hệ hàm riêng trực chuẩn của nó) và hàm

 q t,

 thì chúng ta có thể xác định duy nhất các hệ số {c f n } (n1,2,3 ) nhờ (2.3) Bởi vậy, việc xác định một trạng thái có thể bằng hai cách:

1 Biết hàm sóng  q t, trong biểu diễn tọa độ

2 Biết tập hợp các hệ số {c f n } (n1,2,3 ) trong khai triển (2.2) Trong trường hợp thứ hai, ta gọi tập hợp các hệ số {c f n } là các hàm sóng trong F-biểu diễn Như vậy, các trạng thái có thể được mô tả bởi các hàm sóng trong biểu diễn năng lượng, biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lượng…

Hơn nữa, đại lượng  2

,

q t

 xác định mật độ xác suất tìm thấy tọa độ q

của hệ lượng tử ở thời điểm t Một cách tương tự có thể suy một cách trực tiếp

từ hệ tiên đề của cơ học lượng tử và một số phép toán đơn giản, đại lượng

 (hoặc  c f 2df 1) (2.4) Đây chính là điều kiện chuẩn hóa các hàm sóng trong F-biểu diễn

Nếu xét các trạng thái ở một thời điểm xác định thì thời gian t không được

nêu lên một cách tường minh Ngoài kí hiệu a q của hàm sóng, trong biểu diễn tọa độ còn dùng kí hiệu dấu móc bracket q a do Dirac đưa vào:

 

a q

  q a

Trạng thái a của hệ lượng tử được mô tả bởi vector trạng thái “ket” a

hay vector trạng thái “bra” a Vector trạng thái “bra” liên hệ với vector trạng thái “ket” qua biểu thức:

a = a 

Các toán tử Hermite Fˆ tác dụng lên các ket-vector ở bên trái và tác dụng

lên các bra-vector ở bên phải, biến chúng thành những vector trạng thái cùng loại tương ứng khác Chẳng hạn, nếu

ˆ

Thì  F aˆ  a Fˆ a Fˆ b

Dấu móc b F a được kí hiệu cho các phần tử ma trận của toán tử Fˆ giữa

các vector trạng thái a và b Tích vô hướng của hai vector trạng thái a và

b kí hiệu bởi a b Các vector trạng thái chuẩn hóa về đơn vị thỏa mãn điều kiện a a  1

Để biểu diễn vector trạng thái a , ta lấy hàm riêng của Fˆ: ˆ  

Để chuyển từ phép biểu diễn tọa độ a q  q a sang F-biểu diễn của vector trạng thái a  a , chúng ta khai triển các hàm của phép biểu diễn tọa độ theo các hàm cơ sở (2.5), ta đƣợc hai cách viết

Xác suất tìm thấy giá trị F n của đại lƣợng F khi đo hệ là

W F n  a F n  F a n

Nếu các hàm sóng trong phép biểu diễn tọa độ đã đƣợc chuẩn hóa thì các hàm sóng trong F-biểu diễn cũng đƣợc chuẩn hóa Thật vậy, trong q-biểu diễn nếu

n

  Hay F a n  F q q a dq n (2.10)

Từ (2.10) suy ra rằng phép biến đổi các hàm của q-biểu diễn q a thành các hàm F a n của F-biểu diễn được thực hiện dựa vào các hàm F q n  q F n ; còn phép biến đổi (2.9) chuyển các hàm của F-biểu diễn thành các hàm của q-biểu diễn, phép biến đổi này được thực hiện nhờ các hàm q F n , là các hàm của toán tử Fˆ trong q-biểu diễn

Nếu các trị riêng F n của Fˆ thuộc về phổ liên tục thì trong (2.9) ta thay

việc lấy tổng bằng việc lấy tích phân theo tất cả các khoảng biến thiên của

chúng

Trường hợp tổng quát, biến q trong (2.10) lấy các giá trị rời rạc, cần phải thay việc lấy tích phân bằng việc lấy tổng theo tất cả các giá trị khả dĩ

2 Toán tử trong các biểu diễn

Chúng ta nghiên cứu các trạng thái ở một thời điểm xác định

Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử được biểu diễn bằng một hàm của tọa

độ và các đạo hàm của tọa độ Khi tác dụng lên các hàm của biểu diễn tọa độ, các toán tử biến đổi các hàm này thành các hàm khác của riêng một biểu diễn

Fˆ q  q (2.11) Khi chuyển từ biểu diễn này sang biểu diễn khác của vector trạng thái cần phải thực hiện cả các phép biến đổi cho các toán tử Trong (2.11), nếu chuyển sang G-biểu diễn ˆ

G G n1,2,3, , Gˆ Gˆ:   n n

các hàm sóng  và  trong q-biểu diễn

Thay (2.12) và (2.13) vào (2.11), nhân n* vào hai vế, sau đó lấy tích phân

theo biến q , cuối cùng ta có

m mn n

n

b F a (2.14) Trong đó

*   

b  q q dq (2.17) Như vậy, trong G-biểu diễn, toán tử Fˆđược chuyển tương ứng thành ma trận  F và hàm sóng  q được chuyển tương ứng thành ma trận cột  a

trong hệ cơ sở {n} của ˆG của không gian Hilbert các hàm số liên tục

Giả sử Fˆ Gˆ, hệ thức (2.15) được biến đổi như sau