Phương Pháp Tìm Nhanh Đáp Án Trắc Nghiệm Toán 12: Số Phức

[r]

PH N IV S PH C

§1 S PH C

I KI N TH C C B N

1 Khái ni m s ph c

Đ nh nghĩa 1: M t s ph c là m t bi u th c d ng a bi+ , trong đó ,a b là các s th c và s th a mãn

2 = −1

i Kí hi u s ph c đó là z và vi t đ c g i là đ n v o, a g i là ph n th c và b g i là

ph n o c a s ph c

Chú ý:

1 M i s th c a đ c coi là s ph c có ph n o b ng 0, t c là z a= +0 ,i a

2 S ph c có ph n th c b ng 0 đ c g i là s o (còn g i là thu n o): z= +0 bi b ;

Đ nh nghĩa 2: Hai s ph c z a bi a b= + , , z'= +a b i a b' ' ', ' b ng nhau n u và ch n u:

', '

a a b b

Khi đó, ta vi t z z = '

2 Bi u di n hình h c s ph c

M i s ph c z a bi a b= + , đ c bi u di n b i đi m M a b; Khi đó, ta th ng vi t M a bi+ hay

M z G c O bi u di n s 0

M t ph ng t a đ v i vi c bi u di n s ph c đ c g i là m t ph ng ph c

Tr c Ox g i là tr c th c

Tr c Oy g i là tr c o

3 Phép c ng và phép tr s ph c

Đ nh nghĩa 3: T ng c a hai s ph c z1 = +a1 b i z1, 2 =a2+b i a b a b2 1, , ,1 2 2 là s ph c

1+ 2 = 1+ 2 + 1+ 2

z z a a b b i

Nh v y, đ c ng hai s ph c, ta c ng các ph n th c v i nhau, c ng các ph n o v i nhau

Tính ch t c a phép c ng s ph c:

1 (Tính ch t k t h p): z1+z2 + = +z3 z1 z2+z3 v i m i z z z1, 2, 3

2 (Tính ch t giao hoán): z1+z2 =z2+z1 v i m i z z1, 2

3 (C ng v i 0): v i m i z

4 V i m i s ph c z a bi a b= + , , n u kí hi u s ph c − −a bi là −z thì ta có:

0 + − = − + =

z z z z

−z đ c g i là s ph c đ i c a s ph c z

Đ nh nghĩa 4: Hi u c a hai s ph c z1 = +a1 b i z1, 2 =a2+b i a b a b2 1, , ,1 2 2 là t ng c a z1 v i −z2, t c là:

1− = + −2 1 2 = 1− 2 + 1− 2

z z z z a a b b i

Ý nghĩa hình h c c a phép c ng và phép tr s ph c:

M i s ph c z a bi a b= + , đ c bi u di n b i đi m M a b; cũng có nghĩa là vect OM

Khi đó, n u u u1, 2 theo th t bi u di n s ph c z z thì:1, 2

1+ 2

u u bi u di n s ph c z1+z 2

1− 2

u u bi u di n s ph c z1−z 2

4 Phép nhân s ph c

Đ nh nghĩa 5: Tích c a hai s ph c z1 = +a1 b i z1, 2 =a2+b i a b a b2 1, , ,1 2 2 là s ph c

1 2 = 1 2− 1 2+ 1 2− 2 1

z z a a b b a b a b i

T đ nh nghĩa, ta có:

V i m i s th c k và m i s ph c a bi+ a b, :

k a bi ka kbi

v i m i s ph c z Tính ch t c a phép nhân s ph c

1 (Tính ch t giao hoán): z z1 2=z z2 1 v i m i z z1, 2

2 (Tính ch t k t h p): z z z1 2 3 =z z z1 2 3 v i m i z z z1, 2, 3

3 Nhân v i 1: v i m i z

4 Tính ch t phân ph i (c a phép nhân đ i v i phép c ng):

1 2+ 3 = 1 2+ 1 3

z z z z z z z v i m i z z z1, 2, 3

5 S ph c liên h p và môđun c a s ph c

Đ nh nghĩa 6: S ph c liên h p c a z a bi a b= + , là a bi− và đ c kí hi u b i z

Nh v y, ta có:

= + = −

z a bi a bi

Nh n xét: T đ nh nghĩa ta th y

1 S ph c liên h p c a z l i là z , t c là =z z Vì th ng i ta còn nói z và z là hai s ph c liên h p v i nhau

2 S ph c liên h p khi và ch khi các đi m bi u di n c a chúng đ i x ng nhau qua tr c Ox

Tính ch t

1 V i m i z z1, 2 ta có:

1+ 2 = +1 2, 1 2 = 1 2

z z z z z z z z

2 V i m i s ph c z , s z z luôn là m t s th c, và n u z a bi a b= + , thì: z z a = 2+b2

Đ nh nghĩa 7: Môđun c a s ph c z a bi a b= + , là s th c không âm a2+b2 và đ c kí hi u là

z

Nh v y, n u z a bi a b= + , thì:

2 2

z z z a b

Nh n xét:

1 N u z là s th c thì môđun c a z là giá tr tuy t đ i c a s th c đó

2 z=0 khi và ch khi z =0

6 Phép chia cho s ph c khác 0

Đ nh nghĩa 8: S ngh ch đ o c a s ph c z khác 0 là 1

2

1

− =

z .

Th ng z'

z c a phép chia s ph c 'z cho s ph c z khác 0 là tích c a 'z v i s ph c ngh ch đ o c a z ,

t c là ' 1

' −

=

z

z z

Nh v y, n u thì:

' '

=

z z z

z z .

Chú ý: Có th vi t ' '.2 '.

z z z z z

z z z z nên đ tính z'

z ta ch vi c nhân c t và m u s v i z và đ ý r ng

2

=

zz z

Nh n xét:

1 V i , ta có 1 1 1

1 − −

= z =z

2 Th ng z'

z là s ph c w sao cho T đó, có th nói phép chia (cho s ph c khác 0) là phép toán

ng c c a phép nhân

II CÁC PH NG PHÁP GI I BÀI T P TR C NGHI M

II CÁC PH NG PHÁP GI I BÀI T P TR C NGHI M

Câu 1: Ph n th c c a s ph c 5

3

=

z i là:

Ch n A

Câu 2: Ph n th c c a s ph c là:

Ch n C

Câu 3: Ph n o c a s ph c là:

Ch n A

Câu 4: Môđun c a s ph c b ng:

L i gi i

Ch n D

2 2

Câu 5: Môđun c a s ph c b ng:

L i gi i

Ch n B

2 2

Câu 6: Môđun c a − iz2 b ng:

L i gi i

Ch n C

Gi s , khi đó:

− iz= − i a bi+ = b− ai

− iz = b + − a = b +a = z

Câu 7: S z z là:+

L i gi i

Ch n A

Gi s , khi đó:

2

z a bi z z a bi a bi a, là s th c

Câu 8: S z z là:−

L i gi i

Ch n B

Gi s , khi đó:

2

z a bi z z a bi a bi bi, là s o

Câu 9: S i+ −2 4i − −3 2i có:

A Ph n th c b ng 1 và ph n o b ng -1 B Ph n th c b ng 1 và ph n o b ng 1

C Ph n th c b ng -1 và ph n o b ng 1 D Ph n th c b ng -1 và ph n o b ng -1

L i gi i

Ch n D

2 4 3 2 1 + − − − = − −

Câu 10: S 2 3+ i 2 b ng:

A − +7 6 2i B − −7 6 2i C 7 6 2+ i D 7 6 2− i

L i gi i

Ch n A

2 3+ i = − +7 6 2i

Câu 11: S 1

1+ i b ng:

A 1+ i B 1 1

L i gi i

Ch n B

2 2

1 =1 1 + =2 −

Câu 12: S 1

2− 2 i

b ng:

A 1 3

2+ 2 i B 1 3

2− 2 i C 1 3

2 2

2 2

− − i

L i gi i

Ch n A

2 2

i

Câu 13: S 3 4

4

−

−

i

i b ng:

A 16 13

17 17

− + i B 16 13

17 17+ i C 16 13

17 17− i D 16 13

17 17

− − i

L i gi i

Ch n C

2 2

3 4 4

3 4 4

−

i

Câu 14: Cho 1 3

2 2

= − +

z i, khi đó 1

z b ng:

A 1 3

2+ 2 i B 1 3

2− 2 i C 1 3

2 2

2 2

− − i

L i gi i

Ch n D

−

Câu 15 T p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn z i− =1 là:

A Đ ng tròn tâm I 0;1 bán kính R= 1 B Đ ng tròn tâm I 0;1 bán kính R= 2

C Đ ng tròn tâm I 1;0 bán kính R= 2 D Đ ng tròn tâm I 1;0 bán kính R= 1

L i gi i

Ch n A

V i s ph c z x yi x y= + , đ c bi u di n b i điêm M x y; Ta có:

2 2

1= − = + − = +z i x yi i x y−1 i = x + y−1

2

2 1 1

x + y− =

V y t p h p đi m M thu c đ ng tròn I 0;1 bán kính R= 1

Câu 16 T p h p các đi m trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z th a mãn z = − +z 3 4i là:

L i gi i

Ch n A

V i s ph c z x yi x y= + , đ c bi u di n b i điêm M x y; Ta có:

3 4

z = − +z i

x yi+ = + − +x yi i = − − +x yi i = − + −x y i

2 2 3 4 6 8 25 0

x +y = x− + −y x+ y− =

V y t p h p đi m M thu c đ ng th ng

Câu 17 S

2 2

z + z

là

L i gi i

Ch n A

V i s ph c z a bi a b= + , , ta có:

z + z = a bi+ + a bi+ = a −b + abi+ a −b − abi= a −b

V y z2+ z 2là s th c.

Câu 18 S

3 3

z z

z z

− + là:

L i gi i

Ch n B

V i s ph c z a bi a b= + , ta có:

3

2

3

a bi a bi

i

a ab

a ab

+ − +

−

−

3

z z

z z

− + là s o

Câu 19 S

2 2

1

z z

− + là:

L i gi i

Ch n B

V i s ph c z a bi a b= + , ta có:

2 2

4

i

a bi a bi a b

z z a bi a bi

V y

2 2

1

z z

− + là s o

Câu 20 Ph ng trình ( n z ) có nghi m là:

L i gi i

Ch n B

Cách 01: V i s ph c z a bi a b= + , ta có:

0= + − =iz 2 i i a bi+ + − =2 i 2− +b a−1 i

1 2

z i

= +

Cách 02: Bi n đ i iz 2 i 0 iz i 2 z i 2 i 2 i 1 2i

i

−

Câu 21 Ph ng trình 2 3+ i z z= −1 v i n z có nghi m là?

A 1 3

10 10− i B 1 3

10 10+ i C 1 3

10 10i

10 10i

L i gi i

Ch n C

Cách 01: V i s ph c z a bi a b= + , ta có:

2 3+ i z z= −1 2 3+ i a bi+ = + −a bi 1

2 3 1

3 2

a b a

a b a b i a bi

a b b

− = −

− + + = − +

+ =

2 2

1

10

a

b

−

=

Cách 02: Ta bi n đ i

2 2

1 1 3

i

i

− −

Câu 22 Ph ng trình 2−i z− = v i n z có nghi m là?4 0

A 8 4

5 5− i B 8 4

5 5+ i C 8 4

5 5i

−

5 5i

− +

L i gi i

Ch n A

Cách 01: V i s ph c z a bi a b= + , ta có:

0= 2−i z− =4 2−i a bi+ − =4 2−i a bi− − =4 2a b− − − +4 a 2b i

8

5

a

b

=

= −

Cách 02: Ta bi n đ i

2 2

4 2

i

i

+

8 4 8 4

5 5 5 5

z z= = + i= − i

Câu 23 Cho s ph c z x yi x y= + , Khi z 1, ph n th c c a s ph c z i

z i +

− là:

A 2 2 2

2

1

1

x y

x y

+ +

2 2

2 2

1 1

x y

x y

+ −

C

2 2

2 2

1

1

x y

x y

+ −

2 2

2 2

1 1

x y

x y

+ +

L i gi i

Ch n C

2

1 w

x y i x y i

x y i

z i x yi i

z i x yi i x y i x y

+ + − − + +

+ + +

2 2

2 2

1 2

1

+ − +

=

Do đó s ph c w có ph n th c là

2 2

2 2

1 1

x y

+ −

=

Bài 2: CĂN B C HAI C A S PH C – PH NG TR NH B C HAI

I KI N TH C C B N

1 Căn B c hai c a s ph c

Đ nh nghĩa: Cho s ph c w M i s ph c z th a mãn z2 =w đ c g i là m t căn b c hai c a

w

Nói cách khác, m i căn b c hai c a w là m t nghi m c a ph ng trình z2− = (v i n w 0 z)

Đ tìm căn b c hai c a s ph c w, ta có hai tr ng h p:

TH1: N u w là s th c (t c là ):

V i a0 thì w có hai căn b c hai là a

V i a0 thì w có hai căn b c hai là i a TH2: N u w a bi= + ( ,a b và b 0) thì là căn b c hai c a w khi và ch khi:

2 2

2 2

2 2 2

2

z w x yi a bi

x y a

x y xyi a bi

xy b

− =

− + = +

= Ghi nh v căn b c hai c a s ph c w:

0

w= có đúng m t căn b c hai là z=0 0

w có đúng hai căn b c hai là hai s đ i nhau (khác0)

Đ c bi t:

S th c d ng có hai căn b c hai là a

S th c âm có hai căn b c hai là i a

2 Ph ng trình b c hai

Cho ph ng trình Ax2+Bx C+ = , v i , ,0 A B C là nh ng s ph c và A 0

Xét bi t th c  =B2−4AC, ta có các tr ng h p:

TH1: N u  0 thì ph ng trình có hai nghi m:

1

2

B z

A

− +

2

B z

A

− −

= trong đó là m t căn b c hai c a 

Đ c bi t:

N u  là s th c d ng thì ph ng trình có hai nghi m:

1

2

B z

A

− + 

2

B z

A

− − 

=

N u  là s th c âm thì ph ng trình có hai nghi m:

2

B i z

A

− + −

2

B i z

A

− − −

=

TH2: N u  =0 thì ph ng trình có nghi m kép: 1 2

2

B

z z

A

= = − Chú ý:

1 M i ph ng trình b c hai v i h s ph c có hai nghi m ph c có th tr ng nhau

2 Ph ng trình: trong đó A A0, , ,1 An là n+1s ph c cho tr c,

0 0

A và là m t s nguyên d ng luôn có nghi m ph c (không nh t thi t phân bi t )

II CÁC PH NG PHÁP GI I BÀI T P TR C NGHI M

Câu 1 Các căn b c hai c a s ph c i− là:

A 1 1

2 − i C 2 1

2 + i D 1 1

2 + i

L i gi i

Ch n B

Gi s s là m t căn b c hai c a i− , t c là ta có:

2 2 2

2

i x yi x y xyi

2 2

2

2

x y

xy xy

= − =

=

− =

= −

= −

= − = −

V y s − ci ó hai căn b c hai là 2 1

2 − i Câu 2 Các căn b c hai c a s ph c 4i là

A 2 1 i+ B 1 i+ C 1 i− D 2 1 i−

L i gi i

Ch n A

Gi s s là căn b c hai c a 4i, t c là ta có:

2 2 2

2 2

2 0

x y

xy

− =

=

V y s 4i có hai căn b c hai là 2 1 i+

Câu 3 Các căn b c hai c a s ph c 1 4 3i+ là

A 3 2 i− B 2−i 3 C 2+i 3 D 3 2 i+

L i gi i

Ch n C

Gi s s là căn b c hai c a 1 4 3i+ , t c là ta có:

2 2 2

2 2

2

2

2 3

1

2 3

1

y x

xy

x

x

=

x va y

x va y

= − = −

V y s 1 4 3i+ có hai căn b c hai là 2+i 3

Câu 4 Trên t p s ph c, s nghi m c a ph ng trình x x−1 x2+4 =0 b ng:

L i gi i

Ch n D

Câu 5 Ph ng trình z2+2z+ = có nghi m là5 0

L i gi i

Ch n C

Ph ng trình có  = − 4 0 nên có hai nghi m z1,2 = −1 2i

L u ý: cũng có th s d ng phép bi n đ i:

2 2

1,2

z + z+ = z+ = − z+ = i z = − i

Câu 6 Ph ng trình z2+ −1 3i z−2 1+ = có nghi m lài 0

A 2i và − +1 i B 2i C −1 i D và

L i gi i

Ch n A

Ph ng trình có  = −1 3i 2+8 1+ = − − + + =i 8 6i 8 8i 2i

Gi s s d = +x yi x y, là căn b c hai c a , t c là ta có:

2 2

x y

xy

− =

=

T c là, bi t s  có hai căn b c hai là 1 i+

Nên ph ng trình đó có hai nghi m phân bi t là:

1

3 1 1

2 2

2

Câu 7 Hai s ph c có t ng c a chúng b ng 4 i− và tích c a chúng b ng 5 1 i− là:

A 3 và B và C 3ivà 4 4i− D 3 i+ và

L i gi i

Ch n D

V i hai s ph c z z1, 2 th a mãn đi u ki n đ u bài, ta có: 1 2

1 2

4

5 1

+ = −

Suy ra z1, z2 là nghi m c a ph ng trình: z2− −4 i z+5 1− =i 0

Ph ng trình có 2

4 i 20 1 i 5 12i

 = − − − = − +

Gi s s d = +x yi x y, là căn b c hai c a , t c là ta có:

2 2 2

5 12i x yi x y 2xyi

− + = + = − +

2 2

2

2

2 6

3 5

6

3

x y

y

x

x y

=

=

=

− = −

= −

T c là, bi t s  có hai căn b c hai là 2 3i+

Nên ph ng trình đó có hai nghi m phân bi t là:

1

3 2

2

Câu 8 Ph ng trình z3+ = có nghi m là:1 0

A 1 3

2

i

và B 1 3

2

i

và 1− C 1 2

2

i

và D 1 2

2

i

và 1−

L i gi i

Ch n B

Ta bi n đ i ph ng trình v d ng: 2

2

1,2

1

1 0

1 0

2

o

z z

= − + =

Câu 9 Ph ng trình z4+ =4 0 có nghi m là:

A 1 i+ và 1 i− B 1 i+ và 2 i−

C 2 i+ và 1 i− D 2 i+ và 2 i−

L i gi i

Ch n A

Ta bi n đ i ph ng trình v d ng:

2 4

2

2 1 4

2 2

z i z

z i

=

= −

= −

Gi s s z x yi x y= + , là căn b c hai c a 2i, t c là ta có:

2 2

x y

xy

− =

= Suy ra, ph ng trình 1 có hai nghi m là 1 i+

Gi s s z x yi x y= + , là căn b c hai c a −2i, t c là ta có:

2 2

x y

xy

− =

= − = − = −

= − Suy ra, ph ng trình 2 có hai nghi m là 1 i−

V y ph ng trình đã cho có b n nghi m là 1 i+ và 1 i−

Câu 10 Đ ph ng trình ( v i n z ) z2+bz c+ = nh n0 z= +1 i làm m t nghi m đi u ki n là:

A b=1,c= − 1 B b=2,c= − 2 C b= −2,c= 2 D b= −1,c= 1

L i gi i

Ch n C

Đ z= +1 i làm m t nghi m c a ph ng trình đi u ki n là:

i b i c b c b i

+ = = −

= + + + + = + + +

V y v i b= −2 và c=2 th a mãn đi u ki n đ u bài

I KI N TH C C B N

1 S ph c d i d ng l ng giác

Đ nh nghĩa 1: ( Acgumen c a s ph c z 0): Cho s ph c z 0 G i M là đi m trong m t ph ng ph c

bi u di n s z S đo (radian) c a m i góc l ng giác tia đ u Ox, tia cu i OM đ c g i là m t acgumen

c a z

Chú ý:

1 N u là m t acgumen c a z thì m i acgumen c a z có d ng +2k k,

2 Hai s ph c z và lz(v i z 0 và l là s th c d ng) có c ng agumen

Đ nh nghĩa 2: ( D ng l ng giác c a s ph c): D ng z r= cos +isin , trong đó r0đ c g i là d ng

l ng giác c a s ph c z 0 Còn d ng z a bi a b= + , đ c g i là d ng đ i s c a s ph c z

Nh n xét: Đ tìm d ng l ng giác r cos +isin c a s ph c z a bi a b= + , khác 0 cho tr c, ta

th c hi n các b c:

B c 1: Tìm r : đó là môdun c a z ,r= a2+b2 ; s r đó cũng là kho ng cách t g c O đ n đi m M

bi u di n s ph c z trong m t ph ng ph c

B c 2: Tìm : đó là acgumen c a z , là s th c sao cho cos =a

r và sin b

r

= ; s đó cũng là

s đo m t góc l ng giác tia đ u Ox, tia cu i OM

Chú ý:

1 z = khi và ch khi1 z=cos +isin

2 Khi z=0 thì z = =r 0 nh ng acgumen c a z không xác đ nh( đôi khi coi acgumen c a 0 là s

th c t y ý và v n vi t 0 0 cos= +isin )

3 C n đ ý đòi h i r0trong d ng l ng giác r cos +isin c a s ph c z 0

2 Nhân và chia s ph c d i d ng l ng giác

Đ nh lí: N u z=cos +isin và z =cos +isin v i , ' 0r r thì:

cos sin

zz =rr + +i +

z r

i

z = r − + − khi r' 0 Chú ý:N u các đi m M , M bi u di n theo th t các s ph c z , z khác 0thì acgumen c a là s đo góc l ng giác tia đ u OM , tia cu i OM

3 Công th c Moa-vr (Moivre) và ng d ng

Công th c Moa-vr : V i m i s nguyên d ng n , ta có: r cos +isin n =rn cosn +isinn

Khi r= , ta đ c:1 cos +isin n =cosn +isinn

ng d ng vào l ng giác: Ta có: 3

cos +isin =cos3 +isin 3

M t khác, s d ng khai tri n lũy th a b c ba, ta đ c:

cos +isin =cos +3cos isin +3cos isin + isin

T đó suy ra: cos 3 =cos3 −3cos sin2 =4cos3 −3cos ,

sin 3 =3cos sin −sin =3sin −4sin Căn b c hai c a s ph c d i d ng l ng giác: S ph c z r= cos +isin , r0 có hai căn b c hai là : cos sin

r +i và cos sin cos sin

CÁC PH NG PHÁP GI I BÀI T P TR C NGHI M

Câu 1 D ng l ng giác c a s ph c z= +1 i 3 là:

A 2 cos sin

3 +i 3 B 2 cos sin

3 −i 3

C cos sin

3−i 3

L i gi i

Ch n A

Cách 1:V i z= +1 i 3, ta có:

Mônđun r= 1 3 2+ = ,

Acgumen th a mãn cos 1

2

= và sin 3

2

= ch n

3

=

Cách 2:Ta bi n đ i: 1 3 2 1 3 2 cos sin

Câu 2 Gi s s ph c z 0 có d ng l ng giác z r= cos +isin D ng l ng giác c a s ph c 1

z là:

A r cos +isin B 1 cos isin

r + C 2 cosr +isin D 2 cos isin

L i gi i

Ch n B

S ph c 1 1

z

z = z z có môđun 12 r 1

r = r và acgumen b ng nên có d ng:1 1 cos isin

Câu 3 Gi s s ph c z có d ng l ng giác z r= cos +isin D ng l ng giác c a s ph c

z

k k là:

A −kr cos +isin B −2kr cos +isin

C kr cos +isin D 2kr cos +isin

L i gi i

Ch n C

S ph c z có môđun z = k r và acgumen b ng n u và là + n u nên có

d ng:

neu