Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong hình học

PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC...9 2.1.. Do đó, đối với nhiều học sinh thì hình học được coi là môn học khó nhất trong tất cả các môn khác của t

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng của bản thân, đặc biệt là

sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của T h S N g u y ễ n V ă n V ạ n đã giúp đỡ

em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thày cô giáo trongkhoa Toán nói chung, các thầy cô giáo trong tổ Hình Học nói riêng, đặc biệt

là T h S N g u y ễ n V ă n V ạ n đã tạo điều kiện để em hoàn thành khóa

luận tốt nghiệp của mình

Do điều kiện thòi gian & khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế nênluận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các thầy, cô cùng các bạn nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm & có hướng hoàn

thiện, phát triển khóa luận sau này E m x i n c h â n t h à n h c ả m ơ n ỉ

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên

Vũ Thị Mừng

Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em tìm tòi, nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thày cô trong tổ Hình Học,

đặc biệt T h S N g u y ễ n V ă n V ạ n và không có sự trùng lặp với

bất kỳ kết quả nào khác

Hà Nội, thảng 5 năm 2014 Sinh viên

Vũ Thị Mừng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các định nghĩa 3

1.1.1 Định nghĩa phép biển hình 3

1.1.2 Phép biển hình đắng cự 3

1.1.3 Phép dời hình trong E2 4

1.1.4 Phép dời hình trong 4

1.1.5 Phép đổi xứng trục trong E2 4

1.1.6 Phép đổi xứng trục trong IE3 4

1.1.7 Phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng 5

1.2 Các tính chất 5

1.2.1 Tính chất của phép đối xứng trục trong E2 5

1.2.2 Tính chất của phép đổi xứng trục trong E3 5

1.2.3 Tính chất về phép biển hình đẳng cự 5

1.2.4 Tính chất của phép tịnh tiến và phép quay quanh một điểm trong mặt phang 6

1.3 Dạng chính tắc của một phép dời hình 6

1.3.1 Trong E 2 6

1.3.2 Trong E3 6

CHƯƠNG 2 PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC 9

2.1 Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN 9

2.1.1 Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất trong hình học 9

2.1.2 Bất đắng thức tam giác 9

2.1.3 Đường vuông góc và đường xiên 10

2.1.4 Trong đường tròn 11

2.1.5 Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki 11

2.2 Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN 11

2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN 17

KẾT LUẬN 29

TÀI LỆU THAM KHẢO 30

MỞ ĐẦU

1 Lí do chon đề tài

• Hình học được coi là một môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính logic và tính trừu tượng hóa cao Do đó, đối với nhiều học sinh thì hình học được coi là môn học khó nhất trong tất cả các môn khác của toán học ở nhà trường phổ thông, đặc biệt là việc học hình học không gian cũng như việc học các phép biến hình

Trong chương trình hình học ở bậc trung học ta đã được biết đến cácphép biến hình Với bậc trung học cơ sở một số phép biến hình được đưa vàonhư một công cụ để giải một số các bài toán hình học một cách hợp lý vànhanh gọn Với bậc trung học phổ thông, các em đã được học các phép biếnhình trong mặt phẳng ở lớp 11 và các phép biến hình trong không gian ở lớp

12

Đứng trước một bài toán hình học ta có thể đưa ra nhiều phương phápgiải khác nhau trong đó ta có thể sử dụng một “công cụ” đó là phép biếnhình Trong nhiều trường họp phép biến hình tỏ ra là một công cụ khá hữuhiệu để giải toán, vấn đề là “Việc lựa chọn một phép biến hình nào để có mộtlời giải chính xác và ngắn gọn ?” vẫn là những câu hỏi mà không ít học sinhđặt ra

Với tất cả những lý do trên đồng thời với sự gợi ý của thầy giáo Nguyễn Văn Vạn em đã quyết định chọn đề tài “ Sử dụng phép đối xứng qua siêu phẳng để tìm Giá Trị Lớn Nhất và Giá Trị Nhỏ Nhất trong hình học”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu vấn đề này nhằm:

+ Củng cố các kiến thức về phép đối xứng trục trong mặt phẳng

và trong không gian nhằm hiểu rõ hơn và có thể áp dụng tốt hơn phépnày vào giải toán

+ Áp dụng phép đối xứng trục để tìm GTLN và GTNN ừong hìnhhọc

3 Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong mặtphẳng và trong không gian

+ Phạm vi nghiên cứu: Phép đối xứng qua siêu phẳng trong hìnhhọc với bài toán cực trị

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cơ sở lí luận của phép đối xứng qua siêu phẳng

trong hình học

Nghiên cứu sử dụng phép đối xứng để tìm GTLN và GTNN tronghình học

5 Phương pháp nghiền cứu

Phân tích các tài liệu liên quan

6 Cấu trúc khóa luậ]

Ngoài phần Mở đầu, Ket luận, Tài liệu tham khảo, Nội dung khóa luận gồm 2 chương:

Định nghĩa 3

Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối họp nếu f2 =

Id, dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo của f là f1 trùng nhau

Định nghĩa 4

Cho phép biến hình f của tập T Điểm M của tập T được gọi là điểm bấtđộng của phép biến hình f nếu f(M) = M.

Phép biến hình trong không gian En ( n = 2 , 3 ) bảo tồn khoảng cách

giữa 2 điểm gọi là phép đẳng cự

1.1.3 Phép dời hình trong E 2

Một phép biến hình f: P—»Pđược gọi là phép dời hình nếu ttong mặtphẳng p với hai điểm M, N bất kì và hai ảnh của chúng làn lượt là M’ =f(M), N’ = f(N) ta luôn có M’N’ = MN

1.1.4 Phép dời hình trong IEjj

Ký hiệu : Đ d

Tập hợp ảnh của một điểm thuộc hình H qua phép biến đổi Đd lập thành

1 hình H’ được gọi là hình đối xứng với hình H qua d, hoặc là ảnh của hình

H qua phép biến đổi đó

Nếu H trùng với H’ thì ta nói hình H có trục đối xứng

1.1.7 Phép tịnh tiến và phép quay quanh một diểm trong mặtphẳng

- Phép tịnh tiến:

Trong không gian En ( n = 2 , 3 ) cho véctơ Phép biến hình của không

gian cho ứng điểm M với điểm M’ sao cho MM' = u gọi là phép tịnh tiến

theo véctơ « Kí hiệu T .

a

- Phép quay quanh một điểm trong mặt phang:

Trong E2 cho một điểm o và một góc định hướng cp Phép biến hình

của E 2 cho mỗi M với điểm MJ sao cho:

+ Phép đối xứng trục là phép đối hợp, tức là f2 = id

+ Tập các điểm bất động của phép đối xứng Đd qua đường thẳng d làđường thẳng d

1.2.3 Tính chất về phép biến hình đẳng cự

a.Phép biến hình đẳng cự biến 3 điểm A, B, c thẳng hàng với B nằm giữa A

và c thảnh 3 điểm A’, B’, C’ thẳng hàng với B’ nằm giữa A’ và

+ Phép tịnh tiến không có điểm bất động nếu véctơ tịnh tiến khác c

- Phép quay quanh một điểm trong mặt phẳng:

Gọi là phép quay ttong mặt phang quanh tâm o, góc quay cp Kí hiệuQ(0, cp)

Tính chất:

Phép quay Q(0, cp) là phép dòi hình

Phép quay Q(0, cp ) là phép đối hợp khi và chỉ khi cp-^180

Phép quay Q(0, cp) luôn có điểm bất động chính là tâm o

tịnh tiến theo véctơ V có giá trị song song với đường thẳng d Tích này giaohoán được và được gọi là phép dời hình xoắn ốc.

Chứng minh

Ta đã biết, nếu f là một phép dòi hình khác tịnh tiến trong IE3 thì ta cóthể phân tích bằng vô số cách thành tích của một phép quay và một phép tịnhtiến hoặc ngược lại là tích của một phép tịnh tiến và phép quay

l/*' - t/v I V ừong đó z có giá vuông góc với đường thẳng d.

к có giá song song với đường thẳng d

Khi đó ta có :

f=TTQ TQ vởiTQ Q"

Do véc tơ V giá song song với d nên véc tơ V có giá song song với trục quay

của Q” do vậy / = T - Q Q T - Như vậy trong cả 2 trường

họp f đều có thể phân tích thành tích giao hoán của một phép quay và mộtphép tịnh tiến

Ta chứng minh tính duy nhất như sau:

Giả sử f có hai cách phân tích theo kiểu trên :

f=T.Q = QT với T=T a , Q = Q(d,<p)

và f - T ' Q ' — Q ' T ' với Г =71 Q ' = Q X d \ q f ) theo đó ta có

QT — Q'T' nên T.Q.T = T'.Q'.T' =^T.Q'=T.Q'.T.T~ l =T.Q'T'.T'~ l (1) Mặt khác QT = Q'T' nên Q = T.Q'.T'~ l

=>Q\r=T.Q'.T'-\Q' (2)

Từ (1) và (2) ta có T Q ' = Q T '

Khi đó véc tơ HII nên d II II

Giả sử M G ш3 và f(M) = ЛГ thì ta có thể biểu diễn:

MM -MN , NM

ở đó MN ^d,NM'^d

Rõ ràng trong cách biểu diễn / = T Q = Q T thì a — N M

Tương tự ta có a - N M Do yậy a — a hay T=T’ suy ra Q=Q’

Tính duy nhất của biểu diễn đã được chứng minh

Vậy định lý hoàn toàn được chứng minh

CHƯƠNG 2 PHÉP ĐỐI XỨNG QUA SIÊU PHẲNG VỚI BÀI TOÁN VỀ

GTLN VÀ GTNN TRONG HÌNH HỌC

2.1 Các yếu tố cần biết liên quan về GTLN và GTNN

2.1.1 Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất trong hình học

+ Tìm giá tậ lớn nhất và nhỏ nhất của 1 đại lượng hình học biến thiên f

(độ dài đoạn thẳng, diện tích, đa giác, thể tích khối đa diện,

góc ) yêu cầu phải tìm được các giá ttị fi, f2 cố định luôn thỏa mãn

bất đẳng thức:

Đồng thời chỉ rõ các vị trí hình học của đại lượng biến thiên đang xét

để tại đó f đạt giá trị nhỏ nhất fi hay lớn nhất f2

Thông thường bài toán chỉ yêu cầu tìm 1 trong 2 giá trị này Để giảiloại bài toán này ta thường thực hiện như sau:

a) Biểu diễn đại lương cần tìm GTLN, GTNN theo các đại lượng biếnthiên của đề tài

b) Nếu đại lượng đó chỉ phụ thuộc vào 1 đại lượng biến thiên ta

có thể:

Ắp dụng các bất đẳng thức liên quan đến đoạn thẳng

Áp dụng các bất đẳng thức liên quan đến hàm số lượng giác

Dùng ẩn phụ để đưa về dạng hàm số áp dụng phương pháp đạo hàm đểtìm GTLN, GTNN

c) Nếu đại lượng đó phụ thuộc vào nhiều đại lượng thay đổi, ta cóthể áp dụng các bất đẳng thức, bất đẳng thức quan trọng như: Cauchy,Bunhiacopxki,

2.1.2 Bất đẳng thức tam giác

Với ba điểm A, B, c bất kì ta luôn có:

AB+AC > BC

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi điểm A thuộc đoạn BC

2.1.3 Đường vuông góc và đường xiên

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạnvuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ 1 điểm đến một đường thẳng, đường xiênnào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

VD:

Cho đường thẳng d và đường tròn (O; R) có khoảng cách từ tâm о đến

d là OH > R Lấy hai điểm bất kì Aed và Be(0,R) Hãy chỉ ra vị trí của А, Вsao cho độ dài AB ngắn nhất

2.1.4 Trong đường tròn

- Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây cung không bằng nhau, dây nào lớn hơn thì có

khoảng cách từ tâm đến dây đó nhỏ hơn và ngược lại

2.2 Lớp các bài toán trong phẳng về GTLN và GTNN

Ví dụ 1 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B Tìm trên d điểm M saotổng AM + MB có giá trị nhỏ nhất khi:

Giải

a)Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng d:

Khi đó MA+MB > AB Mà AB không đổi nên MA+MB nhỏ nhất bằng

AB Khi đó M chính là giao của đoạn thẳng AB và đường thẳng d

b)Lấy A’ đối xứng với A qua d

Lấy M bất kì thuộc d Khi đó MA + MB = MA’+Mfi > X B

Mà A’B không đổi nên MA + MB nhỏ nhất bằng A’B Khi đó M chính làgiao của A’B với d Từ đó ta suy ra M = M'

Vậy Min(MA + MB) = AB

<=>M =M'

в

Ví d ụ 2 Cho góc nhọn xOy và một điểm A thuộc miền trong của góc này.

Hãy tìm trên cạnh Qx một điểm в và trên cạnh Oy một điểm с sao cho AABC có chu vi nhỏ nhất

Lấy điểm B’ bất kỳ thuộc Ox, C’ bất kỳ thuộc Oy

B M H

A

c

- Nếu xOy >90° thì AịOA^ = 2xOy > 180 nên A!A2 không cắt Ox,

Oy hoặc chúng cắt tại o trong trường họp A1A2 đi qua o

Với VB, c eOx, Oy ta đều có:

AB + BC + CA = AiB + BC + CA2 > AxO + A20 =^A ABC cóchu vi nhỏ nhất khi B=c=0 Tức À ABC suy biến thành đoạn OA Do đó bài toán không có nghiệm hình

V í d ụ 3 Cho À ABC nhọn dựng AMNPvới 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh

tương ứng của A ABC sao cho chu vi AMNP nhỏ nhất

Giải

Giả sử MeBC, PeAB, NeAC

Đ AB ' M—

AMh Đ AC - M—>M2 AMh

Theo bài toán trên ÁMNP

xứng trục là giao điểm của MiM2 với

AC và AB và lúc đó:

MN + NP + MP = MXM2ÀAM1M2là tam giác cân tại đỉnh A có

MjAM2 = 2BAC (không đổi)Bởi vậy MiM2 nhỏ nhất nếu AMi, AM2 nhỏ nhất hay AM ngắn nhất Nói cách khác M phải là chân đường cao H hạ từ A xuống BC

V í d ụ 4 Cho ÀABC nội tiếp trong đường tròn tâm o, cạnh BC cố định,

lìm yị trí của A trên cung BmC sao cho chu vi AABC đạt giá tri lớn

nhất

ABC lớn nhất khi và chỉ khi A = Aq là trung điểm của cung BmC.

V í d ụ 5 Cho tam giác ДАВС v à một đường thẳng d Hãy tìm trên

đường thẳng d điểm M sao cho:

a) Ta sẽ đưa bài toán về dạng quen thuộc:

Gọi K là trung điểm của AB.Theo tính chất trung điểm, ta có:

LTAẨ X I 1T1U Khi đó bài toán được đưa về tìm điểm M trên d sao cho MK+KC nhỏnhất

Khi đó MK+MH > KH Khi đó MK + MH nhỏ nhất bằng KH Khi đó M

= dnKH

b) 2iTi/1 I I |—TXTXV^ I -LT.LÍ 1 nhỏ nhất

2.3 Lớp các bài toán trong không gian về GTLN và GTNN.

V í d ụ 6 Trong không gian, cho đường thẳng A và hai điểm А, в sao

cho đường thẳng AB và A chéo nhau, một điểm M di động trên А Xácđịnh vị trí của M để:

Giả sử đã dựng được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

Gọi H & К làn lượt là hình chiếu vuông góc của А & в lên А

(K) tâm K, bán kính KB Suy ra A là trục đối xứng của (K).

Do đó, vói mọi điểm м e А & V điểm N e (K) ta đều có MN = MB

Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi А & Л Mặt phẳng (Q) cắt đường ừòn(K) theo đường kính CD

Trong (Q), giả sử hai điểm А & с nằm về cùng một phía đối với А Khi

đó, với mọi điểm M e A, ta luôn có

MB = MC = MD và MA + MB = MA + MD > AD

Dấu “=” xảy ra <^>M = Ivới I là giao điểm của A&AD

* Cách dựng

- Dựng H & К lần lượt là hình chiếu vuông góc của А & в lên А

- Dựng mặt phang (P) vuông góc với A tại K

- Trong mặt phẳng (P), dựng đường tròn (K) tâm K, bán kính KB Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bỏi А & А Mặt phẳng (Q) cắt đườngtròn (K) theo đường kính CD

- Nếu AH = BK tức AC11 thì bài toán vô nghiệm hình.

- Nếu AH & BK không bằng nhau thì bài toán có 1 nghiệm hình Ví

dụ 7 Cho hai nửa đường thẳng OA, OB về cùng một phía đối với mặt phẳng (P) và o thuộc mặt phẳng (P) Hãy tìm trong (P) đường thẳng tạo với OA, OB các góc có tổng số đo nhỏ nhất

Giải

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy: Khi M trùng với điểm J thì MA + MB đạt GTNN và bằng BA’ với A’ là ảnh của A qua Đp

phẳng (P) Giả sử đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I Ta có:

|MA- MB|<AB , VMe(P)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M, А, в thẳng hàng và Mnằm ngoài đoạn thẳng AB, nhưng M nằm trên mặt phẳng (P) nên khi đó

M là giao điểm của đoạn thẳng AB và mặt phẳng (P) tức M=I

Vậy: Khi M trùng với I thì |MA—MB| đạt GTLN và bằng AB

Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì AB| I

* Trường hợp 2: Hai điểm A, B nằm khác phía đối với mặt phẳng (P) Gọi A’= Đ(P) (A) thì MA = MA’ Gọi J là giao điểm của A’B vói (P) (nếu có) Ta có

MA MB = MA' MB < A’B, VMe(P)

Theo trường họp 1 suy ra khi M trùng với J thì |MA—MB| đạt GTLN

và bằng A’B

Nếu d(A, (P)) = d(B, (P)) thì AB| I

Bài toán không có nghiệm hình

trong (P) và trên d Với vị trí nào của M thì MA + MB nhỏ nhất?Giải

Chia làm 2 trường hợp:

a) Trường hợp 1: A và d khác phía vói mặt phẳng (P)

Kẻ AH_Ld Khi đó VBedta luôn có

AB>AH

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi в = H

Khi đó MA+MB > AB ,VMe(P)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của АН với (P)

Vây: MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi i

b) Trường hợp 2: A và d nằm cùng phía vói (P)

+ Gọi A’ là ảnh của A qua phép đối xứng Đ(P) Thế thì

MA=MA’ + Kẻ AH_Ld Khi đó VBedta luôn có AB > AH

Khi đó VM e (P) ta có:

MA+MB=МА'+МВ > АБ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A’H với (P)

1.M = A ' B n ( P )

A’

Ví dụ 11 Cho mặt phang (P) và hai đường thẳng X, Уnằm về một phía với(P) Hãy tìm M trong (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 đườngthẳng đó đạt GTNN

МцА _L X Với mọi M G (P) ta luôn có:

d(M, x)+d(M, y) > AB

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M^MQ

Vậy: Vói mọi M e z thì tổng khoảng cách từ M đến X, y đạt GTNN

I /

Tìm tất cả những điểm M trong (P) sao cho tồn tại điểm A trên a và điểm

bB