chuyen de bat dang thuc

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản  Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau: – Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.. – [r]

1 Tính chất

2 Một số bất đẳng thức thông dụng

a2b22ab

b) Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có:

a b ab

2





Dấu "=" xảy ra  a = b.

+ Với a, b, c  0, ta có:

a b c 3abc

3

 



Dấu "=" xảy ra  a = b = c.

Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x +

y nhỏ nhất  x = y.

c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác

Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:

+ a, b, c > 0.

+ a b c a b    ; b c a b c    ;

c a b c a   

e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki

CHƯƠNG IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I BẤT ĐẲNG THỨC

a < b  a + c < b + c (1)

a < b và c < d  a + c < b + d (3)

a > 0, c > 0 a < b và c < d  ac < bd (4)

n nguyên dương a < b  a 2n+1 < b 2n+1 (5a)

0 < a < b  a 2n < b 2n (5b)

a < b  3a 3b (6b)

x 0, x x x , x

a > 0

x a   a x a 

x a

x a   x a

a b  a b a b

Với a, b, x, y  R, ta có: (ax by )2(a2b x2)( 2y2) Dấu "=" xảy ra  ay = bx.

VẤN ĐỀ 1: Chứng minh BĐT dựa vào định nghia và tính chất cơ bản

 Để chứng minh một BĐT ta có thể sử dụng các cách sau:

– Biến đổi BĐT cần chứng minh tương đương với một BĐT đã biết.

– Sử dụng một BĐT đã biết, biến đổi để dẫn đến BĐT cần chứng minh.

 Một số BĐT thường dùng:

+ A B 0 với A, B  0 + A2B2 2AB

Chú ý:

– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.

– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra Khi đó ta có thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Bài 1 Cho a, b, c, d, e  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2b2c2 ab bc ca  b) a2b2 1 ab a b 

c) a2b2c2 3 2(a b c  ) d) a2b2c2 2(ab bc ca  )

e) a4b4c2 1 2 (a ab2 a c 1) f)

a2 b2 c2 ab ac 2bc

g) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc h) a2b2c2d2e2a b c d e(    )

i) a b c ab bc ca

với a, b, c > 0

k) a b c   ab bc ca với a, b, c  0

HD: a)  (a b )2(b c )2(c a )20 b)  (a b )2(a1)2(b1)20

c)  (a1)2(b1)2( 1)c 20 d)  (a b c  )2 0

e)  (a2 b2 2) (a c )2(a1)2 0 f) 

a (b c) 2 0

2

g)  (a bc )2(b ca )2(c ab )2 0

h)

a b 2 a c 2 a d 2 a e 2 0

k)   a b2 b c2 c a2 0

Bài 2 Cho a, b, c  R Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)

a3 b3 a b 3

  ; với a, b  0 b) a4b4 a b ab3  3 c) a4 3 4a d) a3b3c3 3abc , với a, b, c > 0.

e)

a b

a b

b a

; với a, b  0. f) a2 b2 ab

1

1 1   ; với ab  1.

g)

a

a

2

2

2





 h) (a5b a b5)(  ) ( a4b a4)( 2b2); với ab > 0.

HD: a)  3 (a b a b)( )2 0

8    b)  (a3 b a b3)(  ) 0

c)  (a 1) (2 a22a3) 0

d) Sử dụng hằng đẳng thức a3b3 (a b )3 3a b2  3ab2.

BĐT  (a b c a  ) 2b2c2 (ab bc ca  ) 0

e)  (a2 b2 2) (a4a b2 2b4) 0 f) 

b a ab

2



g)  (a21)20 h)  ab a b a(  )( 3 b3) 0 .

Bài 3 Cho a, b, c, d  R Chứng minh rằng a2b22ab (1) Áp dụng chứng minh các bất

đảng thức sau:

a) a4b4c4d4 4abcd b) (a21)(b21)(c21) 8 abc

c) (a24)(b24)(c24)(d24) 256 abcd

HD: a) a4b4 2a b c2 2; 2d22c d2 2; a b2 2c d2 22abcd

b) a2 1 2 ;a b2 1 2 ;b c2 1 2c

c) a2 4 4 ;a b2 4 4 ;b c2 4 4 ;c d2 4 4d

Bài 4 Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng nếu

a

b 1 thì

a a c

b b c





 (1) Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a)

a b b c c a     2 b)

a b c b c d c d a d a b

c)

a b c b c d c d a d a b

HD: BĐT (1)  (a – b)c < 0.

a) Sử dụng (1), ta được:

a b a b c





b c a b c





c a a b c





Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm.

b) Sử dụng tính chất phân số, ta có:

a b c d a b c a c       

Tương tự,

a b c d b c d b d       

c c c

a b c d c d a a c       

a b c d d a b d b       

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

c) Chứng minh tương tự câu b) Ta có:

a b c d a b c a b c d

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm

Bài 5 Cho a, b, c  R Chứng minh bất đẳng thức: a2b2c2ab bc ca  (1) Áp dụng

chứng minh các bất đảng thức sau:

a) (a b c  )2 3(a2b2c2) b)

a2 b2 c2 a b c 2

c) (a b c  )2 3(ab bc ca  ) d) a4b4c4 abc a b c(   )

e)

a b c ab bc ca



với a,b,c>0. f) a4b4c4 abc nếu a b c 1  

HD:  (a b )2(b c )2(c a )20.

a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)

d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)

f) Sử dụng d)

Bài 6 Cho a, b  0 Chứng minh bất đẳng thức: a3b3 a b b a ab a b2  2  (  ) (1) Áp

dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc

b) a3 b3 b3 c3 c3 a3

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1.

c) a b b c c a

      ; với a, b, c > 0 và abc = 1.

d) 34(a3b3)34(b3c3)34(c3a3) 2( a b c  ); với a, b, c  0

e*)

; với ABC là một tam giác.

HD: (1)  (a2 b a b2)(  ) 0 .

a) Từ (1)  a3b3abc ab a b c (   )  a3 b3 abc ab a b c



 

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.

b, c) Sử dụng a).

d) Từ (1)  3(a3b3) 3( a b ab2  2)  4(a3b3) ( a b )3 (2)

Từ đó: VT  (a b ) ( b c ) ( c a ) 2( a b c  ).

e) Ta có:



.

Sử dụng (2) ta được: a b 34(a3b3).



3sin 3sin 34(sin sin ) 34.2.cos 2 cos3

Tương tự,

A

3sin 3sin 2 cos3

2

,

B

C 3 A

3sin sin 2 cos3

2

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

Bài 7 Cho a, b, x, y  R Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

a2x2  b2y2  (a b )2(x y )2 (1)

Áp dụng chứng minh các bất đảng thức sau:

a) Cho a, b  0 thoả a b 1  Chứng minh: 1a2  1b2  5

b) Tìm GTNN của biểu thức P =

c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z 1   Chứng minh:

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x y z   3 Tìm GTNN của biểu thức:

P = 223x2  223y2  223z2

HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)  (a2b x2)( 2y2)ab xy (*)

 Nếu ab xy 0  thì (*) hiển nhiên đúng.

 Nếu ab xy 0  thì bình phương 2 vế ta được: (*)  (bx ay )20 (đúng) a) Sử dụng (1) Ta có: 1a2  1b2  (1 1) 2(a b )2  5.

b) Sử dụng (1) P 

(  )     (  )    17



Chú ý: a b a b

 (với a, b > 0).

c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:

x y z

2



x y z

x y z

2

(   )    82

 

Chú ý: x y z x y z

  (với x, y, z > 0).

d) Tương tự câu c) Ta có: P  3 2232(x y z  )2  2010.

Bài 8 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:

a) ab bc ca a b   2+ 2c2<2(ab bc ca  )

b) abc(a b c b c a a c b  )(   )(   )

c) 2a b2 22b c2 22c a2 2 a4 b4 c4 0

d) a b c(  )2b c a(  )2c a b(  )2a3b3c3

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c   a2 b2 2bc c 2.

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.

b) Ta có: a2 a2 (b c )2 a2 (a b c a b c  )(   ).

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.

c)  (a b c a b c b c a c a b  )(   )(   )(   ) 0 .

d)  (a b c b c a c a b  )(   )(   ) 0 .

Bài 9.

a)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cô–si

1 Bất đẳng thức Cô–si:

+ Với a, b  0, ta có:

a b ab

2





Dấu "=" xảy ra  a = b.

+ Với a, b, c  0, ta có:

a b c 3abc

3

 



Dấu "=" xảy ra  a = b = c.

a b 2 ab

2

  



+

a b c 3 abc

3

   



3 Ứng dụng tìm GTLN, GTNN:

+ Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất  x = y.

+ Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x +

y nhỏ nhất  x = y.

Bài 1 Cho a, b, c  0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc b) (a b c a  )( 2b2c2) 9 abc

c) (1a)(1b)(1 ) 1c   3abc3 d) bc ca ab a b c

a  b  c    ; với a, b, c > 0.

e) a2(1b2)b2(1c2)c2(1a2) 6 abc

f)

ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

   ; với a, b, c > 0.

g)

b c c a a b

3 2

   ; với a, b, c > 0.

HD: a) a b 2 ab b c;  2 bc c a;  2 ca  đpcm.

b) a b c  33abc a; 2b2c2 33a b c2 2 2  đpcm.

c)  (1a)(1b)(1 ) 1c     a b c ab bc ca abc  

 a b c  33abc  ab bc ca  33 2 2 2a b c

 (1a)(1b)(1 ) 1 3c   3abc33 2 2 2a b c abc 1 3abc3

d)

bc ca abc c

2

,

ca ab a bc a

2

,

ab bc ab c b

2

đpcm

e) VT  2(a b b c c a2  2  2 ) 63 3 3 3a b c 6abc

f) Vì a b 2 ab nên

a b 2 ab  2 Tương tự:

bc bc ca ca

b c  2 ; c a  2 .



ab bc ca ab bc ca a b c

(vì ab bc ca a b c   ) g) VT =

b c 1 c a 1 a b 1 3

=  a b b c c a 

b c c a a b

2

9 3 3

2 2.

 Cách khác: Đặt x =b + c, y = c + a, z = a + b.

Khi đó, VT =

2

1(2 2 2 3) 3

2    2.

Bài 2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b c

(   )   (   )

b) 3(a3b3c3) ( a b c a  )( 2b2c2) c) 9(a3b3c3) ( a b c  )3

HD: a) VT =

a b c

2 2 2        

Chú ý:

b a

2 2

Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

b)  2(a3b3c3)a b b a2  2   b c bc2  2  c a ca2  2.

Chú ý: a3b3ab a b(  ) Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.

c) Áp dụng b) ta có: 9(a3b3c3) 3( a b c a  )( 2b2c2).

Dễ chứng minh được: 3(a2b2c2) ( a b c  )2  đpcm.

Bài 3 Cho a, b > 0 Chứng minh a b a b

 (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a) a b c a b b c c a

 ; với a, b, c > 0.

b) a b b c c a a b c a b c a b c

          ; với a, b, c > 0.

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c1 1 1 4  

Chứng minh: a b c a b c a b c

2    2    2  d)

ab bc ca a b c

a b b c c a 2

 

   ; với a, b, c > 0.

e) Cho x, y, z > 0 thoả x2y4z12 Chứng minh:

x y y z z x

f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

p a p b p c a b c

HD: (1)  a b

a b

1 1 (  )  4

  Hiển nhiển suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ba lần ta được: a b a b b c b c c a c a

Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.

b) Tương tự câu a).

c) Áp dụng a) và b) ta được: a b c a b c a b c a b c

d) Theo (1): a b a b

4

   

ab a b

a b 1 ( )

4

Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.

e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a b c 12    đpcm.

f) Nhận xét: (p –a) + (p – b) = 2p – (a + b) = c.

Áp dụng (1) ta được: p a p b p a p b c

Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm.

Bài 4 Cho a, b, c > 0 Chứng minh a b c a b c

  (1) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a b b c c a

2

b) Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   Tìm GTLN của biểu thức: P =

x1y1z1

c) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Tìm GTNN của biểu thức:

P = a2 bc b2 ac c2 ab

d) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1   Chứng minh: a2 b2 c2 ab bc ca

1  1  1  1 30

e*) Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C

2 cos2 2 cos2 2 cos2 5

HD: Ta có: (1)  a b c

a b c

1 1 1 (   )   9

  Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si.

a) Áp dụng (1) ta được: a b b c c a a b c

 VT 

Chú ý: (a b c  )23(a2b2c2).

b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:

P =

3

9 3 3

4 4

Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:

Cho x, y, z > 0 thoả x y z 1   và k là hằng số dương cho trước Tìm GTLN của biểu thức: P =

kx1ky1kz1 c) Ta có: P  a2 bc b2 ca c2 ab a b c 2

d) VT  a2 b2 c2 ab bc ca



= a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca ab bc ca



ab bc ca

a b c 2

1 1

3

 

Chú ý: ab bc ca 1(a b c)2 1

.

2 cos2 2 cos2 2 cos2 6 cos2 cos2  cos2



3 5 6

2





Chú ý: cos2A cos2B cos2C 3

2

.

Bài 5 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau:

a)

x

x

18; 0 2

x

x2 ; 1

c)

x

x

x

x



e)

x

x x5 ; 0 1 1

x

x

3



g)

x

24 4 ; 0

h)

x

2 3

2 ; 0

HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny =

3

2 khi x = 3

c) Miny =

3 6 2



khi x = 6 1

3  d) Miny =

30 1 3



khi x =

30 1 2



e) Miny = 2 5 5 khi x 5 5

4





f) Miny = 3

3

4 khi x = 32

g) Miny = 8 khi x = 2 h) Miny = 5

5

27 khi x = 53

Bài 6 Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) y(x3)(5 x); 3  x 5 b) y x (6 x); 0 x 6

c) y (x 3)(5 2 ); 3x x 5

2

d) y (2x 5)(5 x); 5 x 5

2

e) y (6x 3)(5 2 );x 1 x 5

f)

x

x2 2; 0



x y

x

2 3





HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3

c) Maxy =

121

8 khi x =

1 4



d) Maxy =

625

8 khi x =

5 4

e) Maxy = 9 khi x = 1 f) Maxy =

1

2 2 khi x = 2 (2x2 2 2x )

g) Ta có: x2 2 x2  1 1 33 x2  (x22)327x2 

x x

2

1 27 ( 2) 

 Maxy =

1

27 khi x = 1.

Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 3: Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bu–nhia–cốp–xki

1 Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki: (B)

 Với a, b, x, y  R, ta có: (ax by )2(a2b x2)( 2y2) Dấu "=" xảy ra  ay = bx.

 Với a, b, c, x, y, z  R, ta có: (ax by cz  )2(a2b2c x2)( 2y2z2)

Hệ quả:

 (a b )22(a2b2)  (a b c  )23(a2b2c2)

Bài 1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3a24b27, với 3a4b7 b) 3a2 5b2 735

47

, với 2a 3b7 c) 7a2 11b2 2464

137

, với 3a 5b8 d) a2 b2 4

5

, với a b2 e) 2a23b2 5, với 2a3b5 f) (x 2y 1)2 (2x 4y 5)2 9

5

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 3, 4, 3 , 4a b .

b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số

a b

2 , 3 , 3 , 5

c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số

3 , 5 , 7 , 11

d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,2, ,a b .

e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2, 3, 2 , 3a b .

f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT  a2 b2 9

5

.

Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 2; –1; a; b ta được đpcm.

Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a2 b2 1

2

, với a b 1  b) a3 b3 1

4

, với a b 1  c) a4 b4 1

8

, với a b 1  d) a4b4 2, với a b 2 

HD: a) 1 (1 1 ) a b 2 (1 1 )(2 2 a2b2)  đpcm.

b) a b  1 b 1 a b3 (1 a)3 1 3a3a2 a3

2

c) (1 1 )(2 2 a4 b4) (a2 b2 2) 1

4

 đpcm.

d) (1 1 )(2 2 a2b2) ( a b )2 4  a2b22.

(1 1 )(2 2 a4b4) ( a2b2 2) 4  a4b4 2

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P 1  x  1  y 1  z

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P  1 1 1 (1   x) (1  y) (1 )  z  6

Dấu "=" xảy ra  1 x 1 y 1 z  x y z 1

3

  

Vậy Max P = 6 khi x y z 1

3

  

.

Bài 4. Cho x, y, z là ba số dương và x y z 1   Chứng minh rằng:

HD: Áp dụng BĐT (B), ta có:

x x

2

2

x x

2 2

82

Tương tự ta có:

y y

2 2

82

z z

2 2

82

Từ (1), (2), (3) suy ra:

P 

x y z

x y z

82

x y z

82



x y z

82

 

Dấu "=" xảy ra  x y z 1

3

  

.

Bài 5 Cho a, b, c 

1 4

 thoả a b c 1   Chứng minh:

7 4  1 4  1 4 1  21

HD: Áp dụng BĐT (B) cho 6 số: 1;1;1; 4a1; 4b1; 4 1c  (2).

Chú ý: x y z   x y z Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 0 Từ đó  (1)

Bài 6 Cho x, y > 0 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a)

A

x y

4

 

, với x + y = 1 b) B x y  , với 2 3 6x y 

2



   

Áp dụng BĐT (B) với 4 số:

2 ta được:

x y

2

Dấu "=" xảy ra  x 4;y 1

Vậy minA =

25

4 khi x y

4; 1

.

2 3  2  3

    

Áp dụng BĐT (B) với 4 số:

x y

x y

ta được:

 

2

2

(  )      2 3

 

x y

2

6



 

Dấu "=" xảy ra 

x 2 3 3 2; y 2 3 3 2

Vậy minB =

 2 32

6



.

Bài 7 Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A x 1 y y 1x , với mọi x, y thoả x2y2 1

HD: a) Chú ý: x y  2(x2y2) 2.

A  (x2y2)(1  y 1 x) x y 2

 2 2 Dấu "=" xảy ra  x y 2

2

 

.

Bài 8 Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:

a) A 7 x 2x , với –2  x  7 b) B6 x1 8 3  x , với 1  x  3

c) C y  2x5, với 36x216y2 9 d) D2x y  2, với

x2 y2 1

4  9  .

HD: a)  A  (1 1 )(72 2  x x 2) 3 2 Dấu "=" xảy ra  x 5

2



 A  (7 x) ( x2) 3 Dấu "=" xảy ra  x = –2 hoặc x = 7.

 maxA = 3 2khi x 52; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.

b) B  (628 )(2 x  1 3 x) 10 2 Dấu "=" xảy ra  x =

43

25.

 B  6 (x 1) (3  x) 2 3  x  6 2 Dấu "=" xảy ra  x = 3.

 maxB = 10 2khi x =

43

25; minB = 6 2khi x = 3.

c) Chú ý: 36x216y2 (6 )x 2(4 )y 2 Từ đó: y 2x 1.4y 1.6x

 y 2x 1.4y 1.6x 1 1 16y2 36x2 5

 5 y 2x 5

 15 C y 2x 5 25

4     4 .

 minC =

15

4 khi x y

25

d) Chú ý: x2 y2 1 (3 ) (2 ) x 2 y 2

 2x y 2.3x 1.2y 4 1 9x2 4y2 5

  5 2x y 5  7D2x y  2 3 .