Chuyên đề: Bất đẳng thức - Chuyên đề Toán 9 - Tài liệu học tập

Để giải quyết những bài toán dạng này người giải cần linh hoạt trong việc tách các nhóm số hạng sao cho đảm bảo dấu bằng và tạo ra các bất đẳng thức phụ quen thuộc.. Chứng minh rằng:.[r]

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Chủ đề 8 - BẤT ĐẲNG THỨC

Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI)

Cho các số thực không âm a b c khi đó ta có: , ,

1 a b 2 ab Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

2 a b c  33abc Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c

Các bất đẳng thức 1, 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực

không âm (Còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM- GM)

Để vận dụng tốt bất đẳng thức Cauchy Ta cần nắm chắc những kết quả sau:

(a nb n)(a mb m)(a nb n) điều này là hiển nhiên đúng 0

Chú ý: a b b c c    a  a b c  ab bc caabc là một biến đổi

được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng thức:

9

chuyên Nguyễn Trãi- Hải Dương 2013)

c) Cho các số thực dương a b sao cho , a b 2 Chứng minh:

e) Cho các số thực không âm a b sao cho , a2b2  Tìm GTLN của 4

2

ab P

bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  c 1

b) Dự đoán khi ab thì bất đẳng thức xảy ra dấu bằng Từ đó ta có 1cách áp dụng BĐT Cô si như sau:

Q  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab 1

c) Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:

t  a b

MỘT SỐ KỸ THUẬT VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

1 Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si

Đối với các bài toán bất đẳng thức đối xứng thông thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau đây là cơ sở để ta phân tích các số hạng sao cho khi

áp dụng bất đẳng thức Cô si thì dấu bằng phải đảm bảo

14

Lời giải:

a) Dự đoán dấu bằng xảy ra khi ab Khi đó 1

3a a 2 , 3b b b 2a nên ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho biểu thức trong dấu căn

Ngoài ra ta cũng có thể chứng minh bài toán bằng

biến đổi tương đương

Ví dụ 4: Cho x y z, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

Đối với các bài toán mà dấu bằng không xảy ra khi các biến bằng nhau

Ta cần chú ý tính đối xứng của từng bộ phận , để dự đoán sau đó liên kết các dữ liệu của bài toán để tìm ra điểm rơi Từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy để thu được kết quả:

Ta xét các ví dụ sau:

dấu bằng xảy ra khi x yaz Để có tích x y ta áp dụng x2y2 2xy

Để tạo ra yz ta áp dụng: y2a z2 2 2ayz Để tạo ra zx ta áp dụng:

2

a z x  azx

Vì hệ số của yz zx là a nên ta nhân a vào bất đẳng thức đầu tiên rồi cộng ,

lại theo vế ta thu

Từ đó bạn đọc tự hoàn thiện lời giải:

Ví dụ 10) Cho các số thực dương a b c thỏa mãn: , , a22b23c2  1Tìm GTNN của P2a33b34c3

x y z Học sinh tự hoàn thiện lời giải

Ví dụ 11) Cho các số thực dương a b c d thỏa mãn: , , ,

Bây giờ ta chọn x sao cho   3 3

để bài toán trở nên đơn giản hơn

ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp hai dạng sau:

Dạng 1: Chứng minh X YZ  A B C 

ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY 2A Sau đó, tương tự hóa đẻ chỉ

ra YZ 2B và ZX 2C (nhờ tính đối xứng của bài toán) Sau đó cộng

ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải

chứng minh

Dạng 2: Chứng minh XYZABC với X Y Z , , 0

Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY A2 Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra

2

YZ B và 2

ZX C (nhờ tính chất đối xứng của bài toán) Sau đó nhân ba

bất đẳng thức trên lại theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:

XYZ  A B C  ABC ABC

Ví dụ 1 Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn xy z 1 Chứng minh rằng

2x xy2y  2y yz2z  2z zx2x  5

(Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Thái Bình năm 2005-2006)

Giải:

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ta cần một đánh giá dạng : 2 2  2

2x xy2y  mxny sao cho dấu bằng xảy

ra khi x y Để có được đánh giá này thông thường ta viết lại

41

52

abc a b c   a b b c c a (Trích đề tuyển sinh vào lớp

10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương ta có:

Nhân từng vế của (2),(3),(4) và từ (1) suy ra P  1

Dấu bằng trong (5) xảy ra  đồng thời có dấu bằng trong (2),(3),(4)

a b

a b ab

Việc chọn ẩn phụ thích hợp sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn:

Một số kỹ thuật hay gặp như sau:

1 Khi có giả thiết : a b c  abc ta có thể biến đổi thành:

Ví dụ 1: Cho x y z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện , ,

x  y z xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Ví dụ 2) Cho x y z  và , , 0 xy z 3xyz.Chứng minh:

Với giả thiết x y z , , 2, ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng

đơn giản và quen thuộc hơn

Đặt xa2;y b 2;z c 2 với a b c , , 0 Bài toán quay về chứng minh abc  1

Đây là bất đẳng thức có khá nhiều ứng dụng và tương đối chặt nhiều bài

toán Bđt chỉ là hệ quả của BĐT này Việc chứng minh (*) khá đơn giản:

Giả sử:

x yz  xy x xz y yx z zy zx  Điều này là hiển nhiên Dấu bằng xảy ra khi cả 3 số bằng nhau hoặc hai số bằng nhau, một số bằng 0

Các BĐT (4) (5) còn gọi là BĐT SCHUR dạng phân thức khi t  1

Ngoài ra cần chú ý biến đổi:

  Để chứng minh bài toán ta chỉ cần

chỉ ra: a b c 9abc a b c2 9abc

t  t    t t   t Suy ra abc  hay 1

3abc2 abc suy ra đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a   b c 1

Ví dụ 3) Cho , ,a b c là các số thực không âm sao cho a b c   Chứng 1

a b c  abc  ab bc ca  (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10

Trường chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An 2014)

2

yz yz  y z ,   3 3

2

zx zx  z x Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được:

Câu 4) Cho x1,y1 Chứng minh rằng x y 1 y x 1 xy

Câu 5) Cho hai số thực x y, khác 0 Chứng minh rằng:

a b c  abc  ab bc ca  Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 20) Cho các số thực dương a b, sao cho ab 1 b Tìm GTNN của

2 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y0

Câu 3) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y0

Câu 4)

Đặt a x1,b y thì 1 a0,b0 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  hay b 1 x y2

Câu 5) Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Câu 8) Vì a b c  , ,  1; 2 nên có một số bất đẳng thức hiển nhiên đúng

a1a20,a1b1c10,a2b2c2 0

a) Do a b c  , ,  1; 2 nên    2

a a  a a Tương tự ta suy ra: a2b2 c2 a  b c 66 (do a b c   ) 0b) Vì a b c  , ,  1; 2 nên a1b1c1 , hay 0

Vậy ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c

Câu 10)

Ta có a bc a a b c   bca b a c    nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Vậy bài toán được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

Bài toán được chứng minh xong

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1; 0

Bất đẳng thức cuối đúng nên có điều phải chứng minh

Dấu đẳng thức xảy ra khi a  b 0

Câu 16) Bài toán này có chứa căn nên để xuất hiện nhân tử chung dạng

x y a

2 đạt được khi và chỉ khi a 3,b2 3,c3 3

Câu 19) Đặt 3a2 x;3b2  y;3c2  z

Suy ra: a2 x b3; 2  y c3; 2 z3a x b3;  y c3;  z3 và x y z , , 0 Bất đẳng thức đã cho thành:

2

yz yz  y z (4)

Đẳng thức xảy ra khi x yz hay ab c

Câu 20) Giả thiết ta suy ra a 1 1

BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO

Câu 1) Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện , , x   y z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xyz yzx zxy

Câu 2) Cho x y z là ba số thực dương và , , xyz  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4) Cho x y z là các số dương sao cho , , x   Tìm giá trị lớn y z 1

nhất của biểu thức Px xy3 xyz

Câu 5) Cho x y  và thỏa mãn điều kiện , 0 3

   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P27x38y3

Câu 6) Cho x y z là các số thực dương và , , xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất 1

Câu 7) Cho x y z là 3 số dương và thỏa mãn điều kiện , , x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 8) Cho x y z là ba số dương và , , x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 2 1 2 1

Câu 9) Cho x y z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện , , x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2

Câu 10) Cho x y z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện , , x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Câu 11) Cho x y z  thỏa mãn điều kiện , , 0 x   y z 3

Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

Câu 12) Cho x y z là ba số thực dương và , , x   y z 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 21 21 21

Câu 13) Cho x y z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện , , xyz  8

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2

Câu 14) Cho x y z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện , , xyz  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 15) Cho x y z  và thỏa mãn điều kiện , , 0 x   y z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 2

Câu 16) Cho x y z là các số thực dương , ,

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 21) Cho x y z là các số thực dương , ,

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 24) Cho x y z là các số thực dương sao cho , , xyz  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 28) Cho x y z  và thỏa mãn , , 0 xyz  1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pxyyzzx2xyz

8 27

42;

(7) Dễ thấy dấu bằng trong (7) xảy ra xyz Kết hợp với 1 x   , ta y z 1

z

z    Suy ra

33

2 3

2 3

221

y y

z z

x x







Dấu bằng trong (5) xảy ra  đồng thời

có dấu bằng trong  x yz Ta sẽ chứng minh 2

Câu 26)

Giải:

1)Ta có theo bất đẳng thức Cô si:

Câu 27) Do tính bình đẳng giữa x y z nên có thể giả sử x, ,  y z

Kết hợp với x   suy ra 0y z 3   Ta có z 1 Px2y2z2xyz

2 2 2 3

bằng xảy ra khi và chỉ khi x3;y2;z1

Ví dụ 2) Cho các số thực dương x y z, , sao cho x3,xy6,xyz6

ra đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x3,y2,z1

Ví dụ 5: Cho x y z , , 0 sao cho x2y3z và

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x3,y2,z1

Ví dụ 3: Cho các số thực không âm x y z, , sao cho

a b c c b

a

c b

a b c ab bc ca   a b c  ab bc ca   a b  b c  c a Bất đẳng thức này luôn đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab c

b) Khai triển hai vế và thu gọn ta quy về câu a

c) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:

ay bx 2  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0 a b

d) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:

ay bx 2bz cy 2cx az 2  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0

x  y  z Các bất đẳng thức c, d còn được gọi là bất đẳng thức

Bunhiacopxki cho 2 số, 3 số

e) Khai triển hai vế rồi thu gọn ta đưa bất đẳng thức về dạng:

(xem chứng minh ở phần Bất đẳng thức Cô si)

f) Theo bất đẳng thức Cô si thì: b c2 2a c2 2 2abc2 Tương tự ta có 2

bất đẳng thức nữa và cộng lại suy ra đpcm

thức nữa và cộng lại thì suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca abc    4

abc a b c   a b b c c a (Trích đề tuyển sinh

vào lớp 10- Trường Chuyên KHTN- ĐHQG Hà Nội 2014)

đẳng thức này là hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức Cauchy- Shwarz

Ví dụ 9: Cho các số thực dương a b c, , sao cho a b c   Chứng minh 1

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Ta đặt ax b3,  y c3, z xyz3,  Bất đẳng thức cần chứng minh trở 1thành: 31 6 13 6 31 6 1

Điều này là hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức a2b2c2 ab bc ca 

Ví dụ 11: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh rằng:

a b abcb c abcc a abc abc

Do bất đẳng thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa: abc  Bất đẳng thức cần 1chứng minh trở thành: 3 13 3 13 3 13 1

x a  Ta có:

Ta cần chú ý các bất đẳng thức quen thuộc sau: 1 1 1 1

Áp dụng kết quả của VD 6 ta suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca   Chứng 3

hoc360.ne t

Truy cập Website: hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

2 2

  thì phần sau sẽ bị ngược dấu Để khắc phục ta

thêm bớt như sau:

m ma m

đẳng thức Suy ra điều phải chứng minh

Ngoài ra ta có thể giải bằng cách khác như sau:

cùng chiều ta suy ra điều phải chứng minh:

Chú ý: Với các giả thiết a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác ta cần chú ý biến đổi để sử dụng điều kiện: a b c  0,b c a  0,c  a b 0

Ví dụ 3: Cho a b c, , là độ dài ba cạnh một tam giác Chứng minh rằng:

Một số cách thêm bớt không mẫu mực:

Ví dụ 5: Cho các số thực dương a b c, , sao cho a b c  1

abc b c c a a b  Lại có: ( )

 



  nhưng đây là bài toán quen thuộc

Ví dụ 7: Cho các số thực dương a b c, , sao cho ab bc ca  1.Chứng

  thì bất đẳng thức tiếp theo bị ngược dấu

Để không bị ngược dấu ta thay x y z, ,  bc ca ab2, 2 , 2

      Nhưng đây là kết quả quen thuộc

Ví dụ 2: Cho các số thực dương x y z sao cho , , xyz 1 Chứng minh rằng:

      Đây là kết quả quen thuộc

Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương x y z Chứng minh rằng: , ,

KỸ THUẬT ĐỐI XỨNG HÓA

Ví dụ 1: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh:

Nhưng đây là kết quả quen thuộc:

Ví dụ 2: Cho các số thực dương a b c, , Chứng minh:

a bc  b ca  c ab  biết a b c , , 0 sao cho

không có 2 số nào đồng thời bằng 0 và a b c   2

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP

 

là đẳng thức.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab c

 

