De Thi HSG mon toan cap huyen 2012

b Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 XÍN MẦN NĂM HỌC 2012 - 2013

Câu 1: (3,0 điểm) Cho biểu thức M= x +2

x√x −1+

√x +1

x +√x +1+

1

1−√x với x ≥ 0 , x ≠ 1 a) Rút gọn M

b) Chứng minh rằng với x ≥ 0 , x ≠ 1 , ta có M<1

3

Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình

a) 2− x¿

2

x − 2¿2=1+¿

¿

b) x3+6 x2+11 x+6=0

Câu 3: (3,0 điểm) Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và

tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho Tìm phân số đó

Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E

a) Chứng minh rằng BEC ADC Tính độ dài đoạn BE theo m AB

b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai BEC BHM Tính số đo

của góc AHM

c) Tia AM cắt BC tại G Chứng minh:

=

BC AH+HC

Câu 5: (3, 0 điểm)

a) Giải phương trình 2133x −121+x − 181

2193 +

x − 166

2178 =

x −157

2169 +

x+137

1875 +

x +2

2010 b) Tìm 3 số tự nhiên đôi một khác nhau và lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện: Tích hai số bất kỳ trong 3 số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba

Câu 6: (2,0 điểm) Cho a+b=1 Xác định a,b để A=a3+b3 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Họ tên và chữ ký của giám thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 XÍN MẦN NĂM HỌC 2012 - 2013

HƯỚNG DẪN CHẤM

MÔN: TOÁN

Câu 1

(3,0 điểm)

a) M= x +2

x√x −1+

√x +1

x +√x +1+

1

1−√x

1

M

x

 M= x+2+x −1 − x −√x −1

(x +√x+1) (√x − 1) M= x −√x

√x x+❑

√x+1

b) Xét M −1

3=

√x

x +√x +1 −

1

3=

−(√x − 1)2

3(x +√x +1)<0 Vậy M<1

3

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

1,0 điểm 0,5 điểm

Câu 2

(3,0 điểm)

a) 2− x¿

2

x − 2¿2=1+¿

¿

⇔ x2− 4 x +4=1+4 − 4 x +x2 ⇔0 x=1 ⇒PTVN

b) x3+6 x2+11 x+6=0 ⇔ x3

+x2 +5 x2+5 x +6 x +6=0 ⇔ x2

(x +1)+5 x ( x +1)+6 ( x+1)=0

⇔( x +1)(x2

+2 x+3 x +6)=0 ⇔( x +1)(x ( x +2)+x ( x +3))=0 ⇔(x +1) (x +2) (x+3)=0 ⇒ x=−1 , x=−2 , x=−3 là nghiệm của phương trình

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

Câu 3

(3,0 điểm)

- Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm

là x+11 Phân số cần tìm là x +11 x (x là số nguyên khác -11)

- Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số

x − 7

x +15 (x khác -15)

- Theo bài ra ta có phương trình x +11 x = x +15 x − 7

- Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) Vậy phân số cần tìm là −5

6

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 1,0 điểm 0,5 điểm

Câu 4

(6,0 điểm)

a) Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc C chung

CD CA

=

CE CB (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)

Do đó, chúng đồng dạng (c.g.c)

Suy ra: BEC=ADC=135  0(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo

giả thiết)

Nên AEB 45  0, do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:

BE = AB 2 = m 2

b) Ta có:

=

BC 2 BC  2 AC (do BEC ADC)

mà AD=AH 2 ( AHD vuông cân tại H)

nên

BC 2 AC  2 AC AB 2 BE (do ABH CBA)

Do đó BEC BHM (c.g.c), suy ra:

c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc

BAC

Suy ra:

GB AB

=

GC AC , mà = = = (ABC DEC và ED // AH)

Do đó:

(Vẽ hình, viết giả thiết kết luận đúng: 0,5 điểm)

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

1,0 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm 1,0 điểm

Câu 5

(3,0 điểm) a) 2133x −121+x − 181

2193 +

x − 166

2178 =

x −157

2169 +

x+137

1875 +

x +2

2010

⇔

x −121

2133 +1+

x − 181

2193 +1+

x − 166

2178 +1=

x −157

2169 +1+

x +137

1875 +1+

x+2

2010+1

⇔ x +2012

2133 +

x +2012

2193 +

x +2012

2178 =

x +2012

2169 +

x +2012

1875 +

x +2012

2010

0,5 điểm

⇔ ( x+ 2012)(21331 +

1

2193+

1

2178 −

1

2169 −

1

1875 −

1

2010)=0

b) Giả sử a,b,c N và 2 a < b < c thoả mãn

ab + 1  c, ac + 1  b, bc + 1  a

⇒ (ab + 1)(ac + 1)(bc + 1)  abc

⇒ ab +bc + ca + 1  abc

⇒ ab +bc + ca + 1 abc

a+

1

b+

1

c+

1 abc≥1 Nếu b 4 thì c 5, khi đó

1

a+

1

b+

1

c+

1 abc ≤

1

2+

1

4+

1

5=

39

40 < 1 (vô lí) Vậy 3 b < 4 ⇒ b= 3, a = 2

Từ ab + 1 = 7  c ⇒ c = 7 Thử lại (a, b, c) = (2, 3, 7) thoả mãn điều kiện

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm

Câu 6

(2,0 điểm)

A=a3+b3=(a+b )(a2− ab+b2)=a2− ab+b2

¿1

2(a

2+b2

)+1

2a

2− ab+1

2b 2

¿1

2(a

2 +b2)+( √a2−

b

√2)2≥1

2(a

2 +b2)

Mặt khác a+b=1 ⇒1=a2

+b2+2 ab=2(a2+b2)−(a − b)2

⇒1 ≤2(a2+b2

)⇒ a2+b2≥1

2

Do đó A ≥1

2⇒ min A=1

4⇔ a=b=1

2

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

(Thí sinh làm theo cách khác đúng và có lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa)