Xác định các số đó.. 2,5 điểm Cho hình lăng trụ tam giác ABC.. a Chứng minh rằng IJK song song với các mặt đáy.. b Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy... ĐÁP ÁN VÀ THANG
Trang 1SỞ GD&ĐT HÀ TĨNH
TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 NĂM HỌC 2008 - 2009
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình
3 x 1 3 x 13 5x
Câu 2 (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z khác 0, ta có:
1
11
u
Tìm công thức tính un theo n
Câu 4 (2,0 điểm) Tổng của m những số nguyên dương liên tiếp bằng 2008 Xác định
các số đó
Câu 5 (2,5 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ Gọi I, J, K lần lượt là tâm
của các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’
a) Chứng minh rằng (IJK) song song với các mặt đáy
b) Chứng minh rằng các đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy
_Hết _
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu 1 (5 điểm)
2 3
5
2
5 2
Câu 2: (4 điểm)
Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 2
1 2 2
Cộng ba bất đẳng thức trên, ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta được:
3
Từ (1) và (2) suy ra:
Từ đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh
Câu 3:
Ta có:
1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
Dự đoán un = 10n + n (1)
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 công thức (1) đúng với n = 1
Giả sử công thức (1) đúng với n = k ta có: uk = 10k + k
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức (1) đúng với n = k + 1 Vậy un = 10n + n, n
Câu 4 (4 điểm)
Giả sử tổng của m số nguyên dương liên tiếp bắt đầu từ số k bằng 2008:
k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008
Trang 3A B
M
H
1 2008 2
m m mk
Nếu m lẻ 2k + m - 1 chẵn Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (không xảy ra)
2
m
16 118
m k
Vậy các số cần tìm là 118, 119,…133
Câu 5 (3 điểm)
Trên tia BI, lấy điểm H sao cho BH = a Khi đó BH = AB = BC nên ta có:
với Mn tại H và MN = AM + NC
Vậy SBMN 12BH.MN 12a AM NC
Đặt NC = x, áp dụng định lý Pitago cho
tam giác vuông MDN, ta có:
2
2
3
BMN
a