Ham so bac hai Ly thuyet Bai tap

2.2.5 Đi qua mộ t điểm cho trước và tiếp xúc với trục hoành hoặc biết hàm số đạt cực đại cực tiểu tại một đ iểm nào đó Đây chính là dạng toán parabol đ i qua một điểm và biết đỉnh của nó[r]

HÀM SỐ BẬC HAI

1 Hàm số bậc hai 2

( 0)

y=ax +bx+c a≠

Tập xác định: D = ℝ

b

I

∆

 , với

2 4

b ac

∆ = −

Trục đối xứng

2

b x

a

= −

Hướng bề lõm:

• a >0 bề lõm của đồ thị hướng lên trên

• a < bề lõm của đồ thị hướng xuống dưới 0

Bảng biến thiên

x

y

2

b a

−

4a

∆

−

x y

2

b a

−

4a

∆

−

Đồ thị của hàm số là một đường cong, ta gọi là đường parabol

2 Các dạng toán

2.1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a ≠ ): 0

- Tìm tập xác định

- Xác định tọa độ của đỉnh ;

b I

∆

- Xác định trục đối xứng

2

b x a

= −

- Xác định hướng quay bề lõm

- Vẽ bảng biến thiên

- Cho các điểm đi qua (lấy đỉnh I làm chuẩn, cho giá trị x hai bên tìm y)

- Vẽ đồ thị

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x −4x+3

Giải:

2

y=x − x+

Tập xác định: D = ℝ

Đỉnh I(2; 1)−

Trục đối xứng x = 2

Vì a = > nên bề lõm của parabol hướng lên trên 1 0

Bảng biến thiên:

x

y

1

−

Các điểm đi qua:

x 1 2 3

y 0 − 1 0

Đồ thị:

2.2 Xác định hàm số y=ax2+bx+c

2.2.1 Đi qua ba điểm cho trước

- Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c

- Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số 2

y=ax +bx+c biết đồ thị của nó đi qua ( 1; 4)A − − , (2;5)B , C − −( 2; 3)

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua A − −( 1; 4) nên:

2

4 a( 1) b( 1) c a b c 4

Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5)B nên:

2

5=a.2 +b.2+c⇔4a+2b+c=5

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 2; 3)C − − nên:

2

3 a( 2) b( 2) c 4a 2b c 3

Ta có hệ phương trình sau:

4

a b c

a b c

a b c

− + = −









1 2 3

a b c

=





⇔ =

 = −

 Vậy hàm số là 2

y=x + x−

2.2.2 Đi qua hai điểm cho trước và biết trục đối xứng x=m

- Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c

- Đồ thị hàm số có trục đối xứng x=m nên

2

b m a

− = (với m là số thực xác định)

- Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số 2

y=ax +bx+c biết đồ thị hàm số của nó đi qua A − −( 1; 4), B(2;5) và có trục đối xứng 1

x = −

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 1; 4)A − − nên:

2

4 a( 1) b( 1) c a b c 4

Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5)B nên:

2

5=a.2 +b.2+c⇔4a+2b+c=5

Vì đồ thị hàm số nhận x = − làm trục đối xứng nên: 1

2

b

b a a b a

Ta có hệ phương trình sau:

4

a b c

a b c

a b

− + = −









1 2 3

a b c

=





⇔ =

 = −

 Vậy hàm số là 2

y=x + x−

2.2.3 Đi qua một điểm cho trước và biết đỉnh của parabol

- Với điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn là a , b , c

- Vì parabol có đỉnh I x y( ;0 0) nên ta tìm được một phương trình bậc nhất ba ẩn số là a , b , c Ta

lại có thêm 0

2

b x a

- Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn số

- Giải hệ phương trình đó, tìm được a , b , c

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số 2

y=ax +bx+c biết đồ thị hàm số của nó đi qua A(2;5) và có đỉnh I − −( 1; 4)

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua (2;5)A nên:

2

5=a.2 +b.2+c⇔4a+2b+c=5

Vì parabol có đỉnh ( 1; 4)I − − nên:

2

4 a( 1) b( 1) c a b c 4

1 2 2 0

2

b

b a a b a

Ta có hệ phương trình sau:

4

a b c

a b c

a b

− + = −









1 2 3

a b c

=





⇔ =

 = −

 Vậy hàm số là y=x2+2x−3

2.2.4 Đi qua hai điểm cho trước và biết tung độ đỉnh

- Với mỗi điểm mà đồ thị của hàm số đi qua ta tìm được một phương trình ba ẩn là a , b , c

- Vì tung độ đỉnh của parabol là y nên 0

2

0 4 4

b ac

y a

−

- Kết hợp lại ta được hệ ba phương trình ba ẩn số

- Giải hệ phương trình đó bằng phương pháp thế, tìm được a , b , c

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Xác định hàm số 2

y=ax +bx+c biết đồ thị hàm số của nó đi qua ( 2; 3)A − − , ( 3;0)B − và tung độ đỉnh 4−

Giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 2; 3)A − − nên:

2

3 a( 2) b( 2) c 4a 2b c 3

Vì đồ thị hàm số đi qua ( 3;0)B − nên:

2

0=a( 3)− +b( 3)− +c⇔9a−3b+c=0

Vì tung độ đỉnh của parabol là 4− nên:

2

2 4

4

a

−

Ta có hệ phương trình sau:

2

4 16 0 (3)

a b c

a b c

b ac a









Từ (1) và (2) ta có:

a c b

a c b





+ =



a b

a c b

= +



⇔



1

( 3)

5

3

(2 9)

5

a b

c b





⇔



Thế vào (3) ta được:

b − b+ b− − b+ =

2

b b

42

b

b

=



⇔ 

=



Với b = thì 2 a = , 1 c = − 3

Với b =42 thì a = , 9 c =45

Vậy có hai hàm số thỏa yêu cầu bài toán là 2

y=x + x− và 2

y= x + x+

2.2.5 Đi qua một điểm cho trước và tiếp xúc với trục hoành (hoặc biết hàm số đạt cực đại cực tiểu tại một điểm nào đó)

Đây chính là dạng toán parabol đi qua một điểm và biết đỉnh của nó đã nêu ở phần trên

2.3 Tìm tọa độ giao điểm

Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y= f x( ) và y=g x( ) ta làm như sau:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm ( )f x =g x( )

- Nếu phương trình hoành độ giao điểm không có nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có giao

điểm Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm thì với mỗi nghiệm x ta tìm giá trị

y bằng cách thế vào một trong hai hàm số đề bài đã cho

- Kết luận bài toán

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của y=x+ và 1 2

y=x + x+ ; 2

y= x − x+ và 2

1

y=x +x+

Giải:

• y=x+ và 1 2

y=x + x+ Phương trình hoành độ giao điểm:

x+ =x + x+

2

x x

1

3

x

x

= −



⇔  = −



Với x = − thì 1 y =0, ta có giao điểm A −( 1;0)

Với x = − thì 3 y = −2, ta có giao điểm B − −( 3; 2)

Vậy các giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là A −( 1;0) và B − −( 3; 2)

y= x − x+ và 2

1

y=x +x+ Phương trình hoành độ giao điểm:

2x2−4x+7=x2+x+ 1

2

x x

2

3

x

x

=



⇔ 

=



Với x = thì 2 y =7, ta có giao điểm A(2;7)

Với x = thì 3 y =13, ta có giao điểm B(3;13)

Vậy các giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là A(2;7) và B(3;13)

2.4 Sự tương giao của hai đồ thị

2.4.1 Đường thẳng với parabol

Cho đường thẳng ( ) :d y=Ax+B và parabol 2

( ) :P y=ax +bx+c Khi đó có các vị trí tương đối sau:

- ( )d không cắt ( )P (không có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm

- ( )d tiếp xúc ( )P (có một giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép

- ( )d cắt ( )P (có hai giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân

biệt

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của của đường thẳng ( ) :d y=x+ với parabol 1 2

( ) :P y=x +5x+4

Giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x+ =x + x+

2

x x

1

3

x

x

= −



⇔  = −



Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt nên đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm

Ví dụ: Tìm các giá trị của m để đường thẳng ( ) : d y=mx+m− tiếp xúc với parabol 1 2

( ) :P y=(m−1)x +2x+ −1 m

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

mx+m− = m− x + x+ −m

2 (m 1)x (2 m x) 2 2m 0 (*)

Đường thẳng ( )d tiếp xúc với parabol ( )P khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép, tức là:

1 0

0

m − ≠





∆ =



2 1

m

≠



⇔



2

1

m

≠



⇔



1

m

S

≠



⇔

= ∅



Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

2.4.2 Parabol với parabol

Cho hai parabol 2

( ) :P y=a x +b x+c và 2

(P) :y=a x +b x+c khi đó có các vị trí tương đối sau:

- ( )P không cắt 1 ( )P (không có giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm 2

- ( )P tiếp xúc 1 ( )P (có một giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép 2

- ( )P cắt 1 ( )P (có hai giao điểm) thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân 2

biệt

- ( )P trùng 1 ( )P khi và chỉ khi 2 a1=a2, b1=b2, c1=c2

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai parabol y=2x2−4x+7 và y=x2+x+ 1

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

2x −4x+7=x +x+1

2

x x

2

3

x

x

=



⇔  =



Vì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt nên hai parabol cắt nhau tại hai điểm

2.5 Tìm điểm cố định của họ parabol đi qua

Cho họ parabol y=a x m 2+b x m +c m, trong đó a , m b , m c có chứa tham số m Tìm điểm cố định m

mà họ đường thẳng đi qua

Cách giải: ta xem m là ẩn số của phương trình bậc nhất một ẩn, các x , y là các hằng số Ta chuyển thành phương trình bậc nhất với ẩn số là m có dạng Am+B=0 Cho các hệ số A = , 0 0

B = Giải hệ 0

0

A B

=





=

 tìm x , y Kết luận bài toán

Ví dụ: Tìm điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số y=mx2+(m−1)x−6m đi qua

Giải:

Ta có:

2

y=mx + m− x− m

2

6

mx mx x m y

2

(x x 6)m x y

Điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua là nghiệm của hệ phương trình

2

6 0 (1)

x x

x y





Giải phương trình (1):

(1) 3

2

x

x

= −



⇔  =



Với x = − thế vào (2) ta được 3 y =3

Với x = thế vào (2) ta được 2 y = − 2

Vậy có hai điểm cố định mà đồ thị của họ hàm số đã cho đi qua là ( 3;3)A − và (2; 2)B −

2.6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối:

0 0

A khi A

A

A khi A

≥



=



Tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số giống như hàm bậc bậc

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x x−3−4

Giải:

Ta có:

x x khi x

y x x

x x khi x





Hay

2 2

3 4

x x khi x

y x x

x x khi x





Tập xác định: D =ℝ

Sự biến thiên:

Đồ thị:

Bài tập:

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

2

y= − x b) 3 2

4

y= x

y= −x d) 2

4

y= −x +

y= x − f) 2

4

y=x −

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

2

y=x − x b) 2

y= −x + x+

y= −x + x− d) 1 2

2

y= − x + x−

y= x − x+ f) 2

y= − x + x−

y= x − x+ h) 2

y= −x + x−

y= x +x+ j) 2

1

y= −x +x−

Bài 3 Vẽ đồ thị các hàm số sau:

y=x + x − b) 2

y= −x + x−

y= x −x

y= −x − x− f) 2

y= −x − x+

Bài 4 Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số sau:

a) y=x− và 1 2

y=x − x− b) y= − +x 3 và 2

y= −x − x+ c) y=2x−5 và 2

y=x − x+ d) y=2x− và 1 y= −x2+2x+3

y=x − x− và 2

y=x − x+

y= x − x+ và 2

y= − x + x−

y= x +x+ và 2

1

y= −x +x−

y= − x + x− và y= −2x2+4

Bài 5 Xét sự tương giao của đồ thị các hàm số sau:

a) y=x− và 1 2

y=x + x+ b) y=x+ và 1 2

y=x − x+ c) y=2x−3 và 2

y=x − x+ d) y=3x+ và 1 2

y= x +x− e) y= −2x+ và 1 2

y= x − x+

y=x + x+ và y=x2−2x+9

y= x + x− và 2

9

y=x −x−

y= x + x+ và 2

2

y= −x − x

Bài 6 Cho hàm số 2

y=x − x− a) Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )P của hàm số

b) Tìm giao điểm của đồ thị ( )P với đường thẳng

1

y= − + x

c) Tìm giao điểm của đồ thị ( )P với đường thẳng

y= x−

Vẽ các đường thẳng này trên cùng hệ trục tọa độ của

đồ thị ( )P

Bài 7 Xác định parabol 2

2

y=ax +bx+ , biết rằng parabol đó

a) Đi qua hai điểm (1;5)M và N −( 2;8) b) Đi qua (3; 4)A − và có trục đối xứng 3

2

x = − c) Có đỉnh (2; 2)I −

d) Đi qua điểm ( 1;6)B − và tung độ của đỉnh là 1

4

−

Bài 8 Tìm parabol 2

y=ax +bx+c biết rằng parabol đó

đi qua điểm (8;0)A và có đỉnh (6; 12)I −

Bài 9 Tìm hàm số 2

y=ax +bx+c biết rằng hàm số đạt cực tiểu bằng 4 tại x = − và đồ thị hàm số đi qua điểm 2 (0;6)

A

Bài 10 Xác định a , b , c biết parabol 2

y=ax +bx+c

a) Đi qua ba điểm (0; 1)A − , B(1; 1)− , C −( 1;1)

b) Có đỉnh (1;4)I và đi qua điểm D(3;0)

Bài 11 Xác định a , b , c biết parabol 2

y=ax +bx+c

đạt giá trị nhỏ nhất 3

4 khi

1 2

x = và nhận giá trị bằng 1 khi x = Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đó 1

Bài 12 Gọi ( )P là đồ thị của hàm số 2

y=ax +c Tìm a

và c trong mỗi trường hợp sau:

a) y nhận giá trị bằng 3 khi x =2 và có giá trị nhỏ

nhất là 1−

b) Đỉnh của parabol ( )P là I(0;3) và một trong hia

giao điểm của ( )P với trục hoành là ( 2;0) A −

Bài 13 Xác định parabol 2

y=ax +bx+c biết đồ thị của hàm số

a) Đi qua ( 1;4)A − , (1;0)B , (2;1)C

b) Đi qua ( 1;6)D − và có đỉnh (2; 3)I −

c) Đi qua ( 1;6)E − , F(2;3) và có trục đối xứng

1

x =

Bài 14 Xác định hàm số 2

y=ax +bx+c biết đồ thị của hàm số

a) Đi qua (2; 1)A − , (1;0)B , (3;0)C

b) Đi qua ( 1;0)D − và có đỉnh I(1; 4)−

c) Đi qua (2;0)E , F(4;0) và có trục đối xứng x = 3

Bài 15 Lập phương trình của đường parabol, biết nó:

a) Đi qua ba điểm ( 1;2)A − , (2;0)B , C(3;1)

b) Có đỉnh (2; 1)I − và cắt trục tung tại điểm có tung

độ bằng 3−

Bài 16

a) Lập phương trình đường thẳng ( )d có hệ số góc

là k và đi qua điểm M(2;5)

b) Tìm điều kiện của k để ( ) d cắt parabol

2

y=ax +bx+c ( )P tại hai điểm phân biệt

c) Tìm điều kiện của k để ( ) d tiếp xúc với ( )P

Bài 17 Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với

a) Parabol 1 2

3

y= x + x− tại điểm có hoành độ là 2

− b) Parabol 2

y= −x + x− tại điểm có tung độ là 5

− c) Parabol 2

y=x + x+ biết đường thẳng có hệ số góc bằng 1

Bài 18 Chứng minh rằng:

a) Mọi đồ thị của họ hàm số

y= x − m− x+ m − đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định

b) Mọi đường thẳng có phương trình

2

y= m− x− m − luôn tiếp xúc với một parabol cố định

Bài 19 Cho đồ thị hàm số

2 (P m)y=(m+1)x −(m+2)x−2m−3 a) Chứng minh rằng mọi đồ thị của họ trên luôn đi qua hai điểm cố định Khi (P là đường thẳng, m) kết luận trên có đúng không?

b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho qua mỗi điểm đó không có một đường cong nào của họ (P m)

c) Tìm m để ( ) P m tiếp xúc với đường thẳng

y= − −x m+

Bài 20 Cho họ 2

(P m)y=mx +2(3m−1)x+9m−2 với 0

m ≠ Chứng minh rằng mỗi đường cong (P m) đều tiếp xúc với nhau tại một điểm cố định

Bài 21 Cho họ (P y m) =x2+2(m−1)x+3m−5= f m( )x

a) Tìm tập hợp đỉnh các parabol ( )P m b) Với mỗi giá trị m , ( ) f m x có một giá trị nhỏ nhất

Tìm m để cho giá trị nhỏ nhất nói trên là lớn

nhất