HÀM số hàm số bậc NHẤT và bậc HAI (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y= f x... CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.. DẠNG TOÁN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

 Cho bằng bảng  Cho bằng biểu đồ  Cho bằng công thức y= f x( ).

Tập xác định của hàm số y= f x( ) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f x có nghĩa.( )

 Hàm số y= f x( ) đồng biến (tăng) trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1<x2 Þ f x( )1 < f x( )2

 Hàm số y= f x( ) nghịch biến (giảm) trên K nếu "x x1, 2Î K x: 1<x2 Þ f x( )1 >f x( )2

5 Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số y= f x( ) có tập xác định D.

 Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với " Îx D thì - Îx D và f( )–x = f x( )

 Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với " Îx D thì - Îx D và f( )–x =- f x( )

Chú ý: + Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

+ Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.

6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

Định lý: Cho ( )G là đồ thị của y= f x( ) và p>0,q> ; ta có 0

Tịnh tiến ( )G lên trên q đơn vị thì được đồ thị y= f x( )+ q

Tịnh tiến ( )G xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị y= f x( )–q

Tịnh tiến ( )G sang trái p đơn vị thì được đồ thị y= f x( + p)

Tịnh tiến ( )G sang phải p đơn vị thì được đồ thị y= f x p( – )

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

DẠNG TOÁN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH.

=

ïîSuy ra tập xác định của hàm số là D=¡ \ 1; 4{ - }.

ï ¹ïïïî

2

x x

ì ¹ï

x x

x x

x x

x m

=

- + - với m là tham sốa) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m

x x

ìïï ³ ïí

-ïï ¹ïî

D é ö÷ê

D é ö÷ê

= -ê ÷÷

øë

ì > +ï

m m

é ³ê

x m

=

- + có tập xác định là é +¥ë0; )

é ³ê

Nếu " Îx DÞ - Îx D Chuyển qua bước ba

Nếu$ Îx0 DÞ - x0Ï D kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.

B3: xác định f( )- x và so sánh với f x ( )

Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn

Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ

Nếu tồn tại một giá trị $ Îx0 D mà f(- x0) ¹ f x( ) (0 , f - x0)¹ - f x( )0 kết luận hàm số không chẵn

ìï - ¹ïï

- ¹ ïïî

-Vậy hàm số không chẵn và không lẻ

b) Ta có TXĐ: D = ¡

Với mọi x Î ¡ ta có - Î ¡x và f(- x)= -( )x + - -2 ( )x - 2 = -x 2- x+2

Với mọix >0 ta có - <x 0 suy ra f( )- x =- 1, f x( )= Þ1 f( )- x =- f x( )

Với mọi x <0 ta có - >x 0 suy ra f( )- x =1,f x( )=- Þ1 f( )- x =- f x( )

Dễ thấy với mọi x Î ¡ ta có - Î ¡x và f( )- x = f x( )

Bài 2.6: Cho hàm số y= f x( ),y=g x( ) có cùng tập xác định D Chứng minh rằng

a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y= f x( )+g x( ) là hàm số lẻ

b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y= f x g x( ) ( ) là hàm số lẻ

Lời giải:

x x

-=

C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến D.Không đồng biến, cũng không nghịch biến

b) y x 1

x

= +

C.Vừa đồng biến, vừa nghịch biến D.Không đồng biến, cũng không nghịch biến

y x

f x f x

= -

Nếu x x Î - ¥1, 2 ( ; 0)Þ T <0 Vậy hàm số y= f x( ) nghịch biến trên (- ¥ ; 0).

Nếu x x1, 2Î (0;+¥ Þ) T> Vậy hàm số 0 y= f x( ) đồng biến trên (0; +¥ )

b) Bảng biến thiên của hàm số y=x2- 4 trên é-ë 1; 3ùû

é -ë ù û = khi và chỉ khi x =3, miné -ë1;3ù ûy=- khi và chỉ khi 4 x =0

Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm số y= 4x+ +5 x- trên tập xác định của nó.1

1 0

1

x x

-Nên hàm số y= 4x+ +5 x- đồng biến trên khoảng 1 é +¥ë1; ).

a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên é +¥ë1; ) nên

Nếu x> Þ1 f x( )>f( )1 hay 4x+ +5 x- >1 3

Suy ra phương trình 4x+ +5 x- 1= vô nghiệm3

Nếu x< Þ1 f x( )<f( )1 hay 4x+ +5 x- 1<3

Suy ra phương trình 4x+ +5 x- 1= vô nghiệm3

Với x =1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =1

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy f x( ) =f t( )Û x= hay t x2+ = Û1 x x2- x+ = (vô nghiệm)1 0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Nhận xét: · Hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì phương trình f x = có tối đa ( ) 0một nghiệm.

· Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (nghịch biến) trên D thì ( )f x >f y( )Û x>y x ( < vày)

f x = f y Û x= "y x yÎ D Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải

phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị

-Với x x1, 2Î - ¥( ; 2)Þ K< do đó hàm số nghịch biến trên 0 (- ¥ ; 2)

Với x x1, 2Î (2;+¥ Þ) K< do đó hàm số nghịch biến trên 0 (2; +¥ )

-Vậy hàm số nghịc biến trên (- ¥ -; 1).

Bài 2.10: Chứng minh rằng hàm số y=x3+ đồng biến trên x ¡

Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình sau x3- x=32x+ + 1 1

ê =êë

Bài 2.11: Cho hàm số y= x- + -1 x2 2x

a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên é +¥ë1; )

A hàm số đã cho nghịch biến trên é +¥ë1; )

B hàm số đã cho đồng biến trên é +¥ë1; )

-Do đó hàm số đã cho đồng biến trên é +¥ë1; )

b) Hàm số đã cho đồng biến trên é +¥ë1; ) nên nó đồng biến trên 2; 5é ùë û

x x

é =êê

ê ê

=-C

132

x x

é =êê

ê =ê

D

032

x x

é =êê

ê =êc) Tìmx khi g x = ( ) 1

ê ê

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trên đồ thị ( )C của hàm số

1

x x y

x

=+ tồn tại hai điểm (A x y A; A) và( B; B)

22

x y

ì ïï

=-íï =ïî

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là (2; 2- ) và (- 2; 2).

Ví dụ 5: a) Tịnh tiến đồ thị hàm số y=x2+ liên tiếp sang phải hai đơn vị và xuống dưới một đơn 1

vị ta được đồ thị của hàm số nào?

A y=2x2+2x+2 B y=x2+4x+6 C y=x2+2x+2 D y=x2+4x+ 2

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=- 2x2 để được đồ thị hàm số 2

y=- x - x+

A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=- 2x2 đi sang bên trái 1

2 đơn vị và lên trên đi

5

2 đơn vị

B Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=- 2x2 đi sang bên phải 3

2 đơn vị và xuống dưới đi

152đơn vị

C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=- 2x2 đi sang bên trái 3

4 đơn vị và xuống dưới đi

154đơn vị

D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=- 2x2 đi sang bên trái 3

2 đơn vị và lên trên đi

15

2 đơn vị

Lời giải:

a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y=x2+ sang trái hai đơn vị ta được đồ thị hàm số 1 ( )2

y= -x + rồitịnh tiến lên trên một đơn vị ta được đồ thị hàm số ( )2

2

y= -x hay y=x2- 4x+ 4Vậy hàm số cần tìm là y=x2+4x+ 6

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=- 2x2 đi sang bên trái 3

2 đơn vị và lên trên đi

y=- x+ +

b) Nêu cách tịnh tiến đồ thị hàm số y=x3 để được đồ thị hàm số 3 2

y=x + x + x+

A Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=x3 đi sang bên phải 1 đơn vị và lên trên đi 5 đơn vị

B Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=x3 đi sang bên trái 1 đơn vị và xuống dưới đi 5 đơn

vị

C Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=x3 đi sang bên trái 2 đơn vị và lên trên đi 4 đơn vị.

D Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y=x3 đi sang bên trái 1 đơn vị và lên trên đi 5 đơn vị

Lời giải:

Bài 2.15: a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y=- x2+ sang trái 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số2