HÀM số hàm số bậc NHẤT (lý thuyết + bài tập có lời giải) file word

Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn ,a b , từ đó suy ra hàm số cần tìm... ➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨ

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO

· Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm lày= ax b a+ , ¹ 0 Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải

hệ phương trình với ẩn ,a b , từ đó suy ra hàm số cần tìm

· Cho hai đường thẳng d y1: = a x1 + b1 và d2 :y= a x2 + b2 Khi đó:

b) d1 và d2 song song nhau 1 2

a b

ìïï =ïïïí

ïï ¹ïïïî

(1)

Mặt khác C dÎ Þ - =2 3a b+ (2)

Từ (1) và (2) suy ra

32132

a b

ìïï =ïïïí

ïï = ïïïî

a

a a

d) Đường thẳng d đi qua N(2; 1- ) nên 1- = 2a b+ (4)

Và d^ d'Þ 4.a= - Û1 a= - 1 thay vào (4) ta được b = - 1

Vậy hàm số cần tìm là 1 1

y= - x-

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng :d y= x+ 2 , ' :m d y= 3x+2(m là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng , 'd d cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

a) Ta có a d = ¹1 a d'= 3 suy ra hai đường thẳng , 'd d cắt nhau

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng , 'd d là nghiệm của hệ phương trình

î î suy ra , 'd d cắt nhau tại M m( - 1; 3m- 1)

b) Vì ba đường thẳng , ', "d d d đồng quy nên M dÎ " ta có

giác OAB cân tại O

A m = ± 4 B m = ± 2 C m = ± 3 D m = ± 1

Lời giải:

a) Với m = ta có :1 d y=1, ' :d y= 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau Với m = - ta có :1 d y= - 2x- 1, ' :d y= 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại 7

Với m ¹ ± khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song 1

với nhau khi và chỉ khi

m

ì é

ï =ï

10

x

B m

m y

3

66

ì =ïï

íï ¹

ïî Mặt khác C dÎ Þ - =2 2a b+ Þ b= - 4

é =ê

Ta có M dÎ Þ 2= + Þa b b= 3

Vậy hàm số cần tìm là y= - x+3

d) Đường thẳng d đi qua N(1; 1- ) nên 1- = a b+

î î suy ra , 'd d cắt nhau tại M(2; 4)

Vì ba đường thẳng , ', "d d d đồng quy nên M dÎ " ta có

Đường thẳng y = - 2 song song với trục hoành và cắt

trục tung tại điểm có tung độ bằng -2

3 2

b) Đường thẳng y= 2x- 3, y= - x- 3 cắt nhau tại A(0; 3- ), Đường thẳng

a) Bảng biến thiên của hàm số trên éë- 3; 3ùû

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó

3

1 2

3 -2

Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y= - 2x+3 đi qua

0 3-

x

y

3 2

b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

Vẽ đồ thị ( )C của hàm số y= ax+ b ta làm như sau

Cách 1: Vẽ ( )C1 là đường thẳng y= ax b+ với phần đồ thị sao cho hoành độx thỏa mãn b

Cách 2: Vẽ đường thẳng y= ax b+ và y= - ax b- rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là ( )C

Chú ý:

· Biết trước đồ thị ( )C :y= f x( ) khi đó đồ thị ( )C1 :y= f x( ) là gồm phần :

- Giữ nguyên đồ thị ( )C ở bên phải trục tung;

- Lấy đối xứng đồ thị ( )C ở bên phải trục tung qua trục tung

· Biết trước đồ thị ( )C :y= f x( ) khi đó đồ thị ( )C2 :y= f x( ) là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị ( )C ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng đồ thị ( )C ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành

B - C - nằm bên trái của đường thẳng x = 0

b) Vẽ hai đường thẳng y= - 3x+3 và y= 3x- 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên

A 0; 2 ,- B 2; 0 và lấy phần đường thẳng bên

phải của trục tung

Vẽ đường thẳng y= - x- 2 đi qua hai điểm A(0; 2 ,- ) C(- 2; 0) và lấy phần đường

thẳng bên trái của trục tung

x y

-2

2

Cách 2: Đường thẳng : d y= x- 2 đi qua

A 0; 2 ,- B 2; 0

Khi đó đồ thị của hàm số y= x- 2 là phần

đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và

phần đối xứng của nó qua trục tung

Vẽ đường thẳng y= x đi qua hai điểm O(0; 0 ,) A( )1;1

và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng

3

x =

Vẽ đường thẳng y= 5x- 12 đi qua hai điểm

(3; 3 ,) (2; 2)

B C - và lấy phần đường thẳng nằm giữa

của hai đường thẳng x= 2,x= 3

Vẽ đường thẳng y= - x đi qua hai điểm O(0; 0 ,) D -( 1; 1- ) và lấy phần đường thẳng

bên trái của đường thẳng x = 2

x

y

1 -1

3 2

-3 -2

= + - = íïï - < <

£ïïî

= + - + = íï + - < <

-ïïîBảng biến thiên

Bài 2.20: Đồ thị hàm số y= 2x- 3 đi qua A(0; 3 ,- ) B(2;1) ta gọi là ( )C

· Khi đó đồ thị hàm số ( )C1 :y= 2 x- 3 là phần được xác định như sau

Ta giữ nguyên đồ thị ( )C ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị ( )C ở phần bên phải trục tung qua trục tung

· ( )C2 :y= 2x- 3 là phần đồ thị ( )C nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của ( )C

· ( )C3 :y= 2 x- 3 là phần đồ thị ( )C1 nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của ( )C1

Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

(C)

2 1

maxy 1

é ù

ë û

= khi và chỉ khi x = 1

0;2 miny 3 é ù ë û = - khi và chỉ khi x = 2 Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số 2 4 4 2 2 x x y x x + + = - -+ b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng y= m theo m A B C D Lời giải: Bài 2.22: a) Ta có 3 2 2 2 1 2 2 2 3 2 x Khi x x y x x Khi x x x Khi x ì - + ³ ïï + ïï = + - - = íïï -- - < -< < ïïî Bảng biến thiên x - ¥ - 2 2 + ¥

y + ¥

1

- ¥ - ¥ - ¥

b) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

2 2

x

nó với đường thẳng y= m như sau:

Với m> thì có 1 giao điểm 1

Với m = thì có hai giao điểm 1

Với m< thì có ba giao điểm 1

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG

MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

1 Phương pháp giải

Cho hàm số f x( )= ax+ b và đoạnéëa b; ùÌû ¡ Khi đó, đồ thị của

hàm số y = f(x) trên [a b; ] là một đoạn thẳng nên ta có một số

Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta

cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả

2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số f x( )= 2x m- Tìm m để giá trị lớn nhất của f x( ) trên é ù1; 2

ë û đạt giá trị nhỏ

max ( )f x chỉ có thể đạt được tại x = hoặc 1 x = 2

Như vậy nếu đặt M =



Ví dụ 2: Cho hàm số y= 2x- x2 - 3m+ 4 Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất

Bất đẳng thức t\ưng đương với (y+ z)2- 2yz+ x2+ xyz³ 4

x f

f x f

trường hợp ta kết luận ( )f yz £ 0 Ta đã giải xong bài toán

04

f x f

Bài 2.25: Từ giả thiết ta có x y z, , Î ë ûé0; 1ù và

04

f x f

è ø ) Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận ( )f yz ³ 0

Bài 2.26: Cho 0£ a b c, , £ Chứng minh 1 a2+b2+c2£ a b2 +b c2 +c a2 +1

f = b c+ b b- ³ (đúng vì 0£ b c, £ ) Vậy là trong hai trường hợp ta kết 1

luận f a ³( )2 0 Ta đã giải xong bài toán

f f

x = nên từ giả thiết ta

f m là hàm số bậc nhất có hệ số của m là 6- x+ <1 0 (do xÎ é1;+ ¥ )

ë ) Theo TC1 thì ( )

a

= - Khi a < hàm số đồng biến trên 0 ;

2

b a

- + ¥

x - ¥

2

b a

- + ¥

2

y= ax + bx c+(a < ) 0

4a

D-

Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau

Gọi hàm số cần tìm lày= ax2+ bx c a+ , ¹ 0 Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập

và giải hệ phương trình với ẩn a b c , từ đó suy ra hàm số cần tìm , ,

−

x = và nhận giá trị bằng 1 khix = 1

- = Û + = (2) và IÎ ( )P suy ra 2= a b c+ +(3)

d) Vì ( )P đi qua M(4; 3) nên 3= 16a+ 4b c+ (8)

Mặt khác ( )P cắt Ox tại N(3; 0) suy ra 0= 9a+ 3b c+ (9), ( )P cắt Ox tại P nên

a c t a

ìïï + = ïïï

-í

ïï =ïïïî

44

b

b c

a) y= ax2+bx+ 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng 3

2

x =

A y= x2- 3x+ 3 B y= x2- x+2

84 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

a

= - và hướng bề lõm của parabol

– Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng)

– Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol

a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng y= m

I - , đi qua các điểm A(2; 0 ,) B(4; 0)

Nhận đường thẳng x = 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên

b) Đường thẳng y= m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m< - đường thẳng y1 = m và parabol y= x2- 6x+ 8 không cắt nhau

Với m = - đường thẳng y1 = m và parabol y= x2- 6x+ 8 cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc)

Với m> - đường thẳng y1 = m và parabol y= x2- 6x+8 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x Î - ¥( ; 2) (È 4;+ ¥ )

Bài 2.33: Cho hàm số 2

y= - x - x+a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên

b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng y= m tại hai điểm phân biệt

A m< 1 B m < 4 C m < 2 D m < 3

c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm

d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên éë- 3;1ùû

Suy ra đồ thị hàm số y= - x2- 2x+3 có đỉnh là I -( 1; 4), đi qua các điểm

(1; 0 ,) ( 3; 0)

Nhận đường thẳng x = - làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới 1

b) Đường thẳng y= m song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m < 4 đường thẳng y= m và parabol y= - x2- 2x+ 3 cắt nhau tại hai điểm phân biệt

c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành

Do đó hàm số chỉ nhận giá trị âm khi và chỉ khi x Î - ¥ -( ; 3) (È 1;+ ¥ )

phần nằm bên phải của đường thẳng x = 2

+ Parabol y= - x2+2x có đỉnh I(1; 2), trục đối xứng

1

x = , đi qua các điểm O(0; 0 ,) C(2; 0) và lấy phần đồ thị

nằm bên trái của đường thẳng x = 2

x

y

O 1

y

90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất có lời giải

2

x = , đi qua các điểm A(- 1; 0 ,) B(2; 0 ,) (C 0; 2 ,- ) D(1; 2- )

Khi đó đồ thị hàm số y= x2- x- 2 gồm

+ Phần parabol ( )P nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của ( )P nằm dưới trục

hoành qua trục hoành

x = , đi qua các điểm (1; 0 ,) (2; 0 ,) (0; 2 ,) (3; 2)

Khi đó đồ thị hàm số y= x2- 3x + 2 là ( )P1 gồm phần

bên phải trục tung của ( )P và phần lấy đối xứng của nó

qua trục tung

b) Đồ thị hàm số y= x2- 3x+ 2 là ( )P2 gồm phần

phía trên trục hoành của ( )P1 và phần đối xứng của ( )P1

nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

O

Do đó tịnh tiến ( )P1 sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số y= (x- 2)2- 3 x- 2+ 2 , tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị hàm số y= (x- 2)2- 3x- 2 + 2- 1

x = , đi qua các điểm (0; 0 ,) (1; 0)

O A và lấy phần đồ thị nằm bên phải của đường thẳng x = 1

x = , đi qua các điểm ( 1; 0 ,) (2; 0)

B - C và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x = 1

b) Vẽ parabol ( )P của đồ thị hàm số y= - x2+ 2x+3 có đỉnh I(1; 4), trục đối xứng 1

x = , đi qua các điểm A(- 1; 0 ,) B(3; 0 ,) (C 0; 3 ,) D(2; 3)

Khi đó đồ thị hàm số y= - x2+ 2x+ 3 gồm phần parabol ( )P nằm phía trên trục

hoành và phần đối xứng của ( )P nằm dưới trục hoành qua trục hoành

Bài 2.35: Vẽ đồ thị của hàm số sau

a) y= - x2- 2 x+ 3 b)

2 2

Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số ( ) 2

P y= - x - x+ có đỉnh I -( 1; 4- ), trục đối xứng 1

x = - , đi qua các điểm A(1; 0 ,) B(- 3; 0 ,) (C 0; 3 ,) D(- 2; 3) Bề lõm hướng xuống dưới

Khi đó ( )P1 là đồ thị hàm số y= - x2- 2x + 3 là gồm phần bên phải trục tung của ( )P

và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung

b) Gọi ( )P2 là phần đồ thị của ( )P nằm trên trục hoành và lấy đối xứng của phần nằm

dưới trục hoành qua trục Ox

Vậy đồ thị hàm số

2 2

thẳng x = của ( )1 P2 và phần đồ thị bên trái đường thẳng x = của 1 ( )P1

➢ DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT

y= - x - x

- 12

é =ê

ê =

ë hay

02

x x

é =ê

x y xy

xy

ì + =ïï

íï =ïî