Full dap an de toan vao 10 chuyen su pham hn

Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm Đề thi vào 10 môn toán chuyên sư phạm

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Thực hiện: Ban chuyên môn Tuyensinh247.com Câu 1: Cho biểu thức:

2 3

2 2 2

2

: 1

1

b

a P

b

Với a0,b0,ab a b,  a2

1 Chứng minh P a b

2 Tìm a, b biết rằng P1 và a3b3 7

Hướng dẫn giải

2 3

2 2 2

2

: 1

1

b

a P

b

2 3

2

2

2 3

2

2

:

1

2

:

1

b

a a b a a b b a

a b

a

b

a

a b a b a b

a b

a

2 3

2

( 1) :

b

a

a

2

2

:





 2  2 



a b

 

Ta có điều phải chứng minh

2.Khi P1 và a3b3 7 ta có hệ phương trình:

1

2 1

1

a b

a b

b

 









     





Vậy (a,b)=(2;1)

Câu 2 (1 điểm): Giả sử x; y là hai số thực phân biệt thỏa mãn: 21 21 2

S

Hướng dẫn Giải: Theo đề bài ta có: 21 21 2

2

2 2 2

2

1

x y xy

x y xy





  



Vì x; y là hai số thực phân biệt nên x y (loại) xy1x y; 0 y 1

x

 

2 2 2

2 2

2

2

1

1

1

2

1

S

x x

x

x





Vậy S=2

Câu 3: (2 điểm) Cho parabol   2

:

P yx và đường thẳng  d :y 2ax4a , với a là tham số

1 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) khi 1

2

a 

2 Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành

độ x x1; 2 thỏa mãn: |x1||x2| 3

Hướng dẫn giải:

1 Với 1

2

a  ta có phương trình đường thẳng (d) là: y x 2

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

 

x   x x   x

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình (*) Ta có:

1 1 2 0

a b c

   



          

Vậy khi 1

2

a  thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là A(-1;1) và B(2;4)

2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

 

x   ax ax  ax a

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt  phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt    ' 0

2

( 4) 0

4

0

a a

a

a





  



Với a4 hoặc a0 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ

1; 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có: 1 2

1 2

2 4

  





Theo đề bài ta có: |x1||x2| 3

2

2 2

2

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào ta được:  2

2a 8a | 8 | 9a

 

2

3 2 3 2

a

 



 

  



a    a a  a  a a 

 

2

1 2 9 2

  



 

 



Vậy với 1

2

a  đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x1; 2 thỏa mãn: | x1|  | x2 | 3 

Câu 4 (1 điểm) Anh Nam đi xe đạp từ A đến C Trên quãng đường AB ban đầu (B nằm giữa A

và C) anh Nam đi với vận tốc không đổi là a (km/h) và thời gian đi từ A đến B là 1,5 giờ Trên quãng đường BC còn lại, anh Nam đi chậm dần đều với vận tốc tại thời điểm t (tính bằng giờ) kể

từ B là v  8t a (km/h) Quãng đường đi được từ B đến thời điểm t đó là S  4t2at Tính quãng đường AB biết rằng đến C xe dừng hẳn và quãng đường BC dài 16km

Hướng dẫn giải:

Vì tại C xe dừng hẳn nên thời gian t xe đi từ B đến C thỏa mãn 8 0

8

a

    

Do đó, quãng đường BC là

2 2

64 8

Vậy quãng đường AB là S vt a.1,524  km

Câu 5 (3 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Các

tiếp tuyến của đường tròn (O) tại các điểm B, C cắt nhau tại điểm P Gọi D, E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm cạnh BC

1 Chứng minh MEPMDP

2 Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định

3 Khi tam giác ABC là tam giác đều Hãy tính diện tích tam giác ADE theo R

Ta có M là trung điểm của cạnh BC OM BC(liên hệ đường kính và dây cung)

Ta có tứ giác BMPD nội tiếp ( vì ̂+ ̂ =1800) => ̂ = ̂ (tính chất của tứ giác nội tiếp) (1)

Tương tự có tứ giác MCEP nội tiếp => ̂ = ̂ (tính chất của tứ giác nội tiếp) (2)

Mà tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P nên dễ dàng suy ra được cân tại P ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

 ̂ ̂

Từ (1); (2);(3) => ̂ = ̂ (đpcm)

2 Chứng minh DE đi qua điểm cố định

̂ ̂

Ta có ̂ + ̂ + ̂

Có ̂ + ̂ + ̂ = (vì A, B, D thẳng hàng)

=> ̂ = ̂

Mà ̂ = ̂ (cùng phụ góc ECM)

̂ = ̂ (cùng chắn cung BD)

=> ̂ = ̂

Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong => MD // EP

Mặt khác ta xét ̂ ̂

Mà 2 góc lại ở vị trí so le trong => ME // PD

Vậy tứ giác EMDP là hình bình hành

 ED đi qua trung điểm F của MP

Vì B, C cố định => M, P cố định => trung điểm F của MP cố định (dpcm)

3 đều, khi đó A, O, M, F thẳng hàng, AF vuông góc với DE tại F

=> = DE.AF

đều nên ta có: 0

60

CAB mà CBPCAB600(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung cùng chắn cung BC)

=>AM = MP, MF = MP,

√ => AB = R√

OA = R => AM = OA = R => AF = R R = R

=> = => DE = √ R

 = DE.AF = √ R2

Câu 6: Các số thực không âm x x1, 2, ,x9 thỏa mãn:

2 9 18 (2)



    

Chứng minh1.19x12.18x2  9.11x9 270 , đẳng thức xảy ra khi nào?

Chứng minh

Nhân cả 2 vế của (1) với 9 rồi trừ cho (2) ta có:

8x 7x 6x 5x 4x 3x 2x x 72

Đặt P1.19x12.18x2  9.11x1

8 7.2 6.3 8 198

Vì x x1, 2, ,x9là các số không âm nên P270

Dấu “=” xảy ra khi x2 x3  x7 0

Khi đó hệ phương trình đề bài  1 9 1



Vậy khi x2 x3   x7 0và x19,x9 1 thì ta có P270