Ngời ta muốn xÕp chç ngåi cho 6 häc sinh trêng A vµ 6 häc sinh trêng B vµo bµn nãi trªn, Hái cã bao nhiªu c¸nh xÕp trong mçi trêng hîp sau: 1 Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc [r]
Trang 1I Các bài toán về phép đếm, Chỉnh hợp và Tổ hợp
A Kiến thức cơ bản
1 Quy tắc đếm: Quy tắc cộng, Quy tắc nhân
2 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
a) Hoán vị
ĐN: Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đợc gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Số hoán vị của n phần tử kí hiệu là: Pn
Pn = n! = n(n-1) 2.1
P1 = 1; Quy ớc: P0 = 0! = 1
b) Chỉnh hợp
ĐN: Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử của tập A là một chỉnh hợp chập k của n
phần tử (của tập A)
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: A n k
*
!
k
n
n
n k
0 1
n
A
c) Tổ hợp
ĐN: Mỗi tập con gồm k phần tử của tập A đợc gọi là một tổ hợp chập k của n
phần tử
Số tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: C n k
!
k
n
k k n k
TChất:
1 1
;
B Bài tập
Bài tập về PT, BPT có liên quan đến các số P n ; C n k; k
n A
Bài 1 Giải các PT, BPT:
a) C n4C n5 3C n61 ĐS: n = 6
b)
2 2 2,5
ĐS: n 2
c) 23 4 24( 31 n 4)
d)
3 2 n 2 9
Bài 2 Giải bất PT hai ẩn n, k với n, k 0
2 5
3
60
k n
n
P
A
n k
ĐS: (0; 0), (1; 0), (1;1), (2;2), (3; 3)
Bài 3 Tính giá trị của biểu thức
1 3
M
n
nếu
1 2 2 2 3 4 149
ĐS: 3/4
Bài 4 Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 4) Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A ĐS: A có 18 phần tử
Trang 2Bài 5 Chứng minh rằng:
a)
1
A A kA
b)
n k n k n k
A A k A
Các bài tập về phép đếm có liên quan đến hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp
Bài 6 Có 6 phong bì th khác nhau và 5 tem th khác nhau Ngời ta chọn và dán 3 tem
lên 3 bì th, mỗi bì th gián một tem Hỏi có bao nhiêu cách làm? ĐS: 1200
Bài 7(ĐH K D - 2004).Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5
câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hởi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ĐS: 56.875 cách
Bài 8 (ĐH K B - 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời gồm 12 nam và 3
nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ĐS:
4 1 4 1
12 3 8 2 207.900
C C C C
Bài 9 (ĐH K D- 2006) Đội thanh niên xung kích của một trờng phổ thông có 12 học
sinh gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L, và 3 học sinh lớp H Cần chọn 4 học sinh
đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong ba lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nh vậy? ĐS: 225 cách
Bài 10 Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, và 4 nhà vật lí nam Lập một đoàn
công tác gồm 3 nguời có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: 90 cách
Bài 11 Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả
cầu vàng đánh số từ 1 đến 4 Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số? ĐS: 64 cách
Bài 12 Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 ngời, sao cho mỗi ngời
nhận đợc ít nhất 1 đồ vật ĐS: 150 cách
Bài 13 Trong một chi đoàn có 7 nam sinh và 4 nữ sinh u tú (trong đó có một nam sinh
tên là Cờng, và một nữ sinh tên Hoa) Cần lập một ban cán sự lớp từ 11 đoàn viên đó, gồm 6 nguời với yêu cầu có ít nhất 2 nữ ngoài ra không có mặt đồng thời cả Hoa và C -ờng Hỏi có bao nhiêu cách lập? ĐS: 260 cách
Bài 14 Cho hình thập giác đều
1) Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của thập giác, nhng cạnh của tam giác không là cạnh nào của thập giác đó? ĐS: 50 tam giác
2) Hỏi có nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là đỉnh của thập giác đó ? ĐS: 10
Bài 15 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5
chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số đó đứng cạnh nhau
ĐS: 360 số
Bài 16 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế Ngời ta muốn
xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trờng A và 6 học sinh trờng B vào bàn nói trên, Hỏi có bao nhiêu cánh xếp trong mỗi trờng hợp sau:
1) Bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc ngồi đối diện nhau thì khác trờng 2) Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trờng
ĐS: 1) 2.6!.6! 2) 12.10.8.6.4.2.6!
Bài 17 ( chọn vị trí) Cho tập hợp A = { 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập A lập đợc bao nhiêu số: a) Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện đúng hai lần, các chữ số khác
xuất hiện đúng một lần?
Trang 3b) Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số 1 xuất hiện hai lần, số 2 xuất hiện ba lần còn các số khác xuất hiện không quá 1 lần? ĐS: a) 360; b) 1260.
Bài 18 ( chia trờng hợp) Đội ôn thi HSG có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A1, 4
học sinh lớp A2, 3 học sinh lớp A3 Cần chọn 4 học sinh đi dự thi HSG cấp thành phố, sao cho mỗi lớp có ít nhất một học sinh Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết khả nằng mỗi học sinh là nh nhau? ĐS: 270
Bài 19 (tạo vách ngăn) Có 6 học sinh nam và 2 học sinh nữ đợc xếp thành một hàng
ngang Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho hai học sinh nữ không đứng cạnh nhau?
ĐS: 30240
Bài 20 ( buộc các phần tử) Một nhóm học sinh gồm 4 học sinh lớp A1, 3 học sinh
lớp A2, 5 học sinh lớp A3 Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các học sinh trên thành một hàng ngang, sao cho 5 học sinh lớp A3 đứng cạnh nhau? ĐS: 8!.5!
Bài 21 ( xếp bàn tròn) Có bao nhiêu các xếp 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi
quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? ĐS: 1440
Bài 22 Trong mặt phẳng cho 10 điểm phân biệt Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh
là ba trong 10 điểm đã cho Biết:
a) 10 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng
b) Trong 10 điểm có đúng 5 điểm thẳng hàng
Bài 23 Cho tập X = {1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu số tự nhiên n có 5 chữ số lập đợc từ
X Tính tổng các số này
Bài 24 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số,
trong đó chữ số 1 có mặt ba lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? ĐS: 5880 số
Bài 25 Tìm số các nghiệm nguyên dơng (x, y, z) của phơng trình:
x + y + z = 10
II Các bài toán liên quan đến công thức nhị thức Newton
A Kiến thức cơ bản
Công thức nhị thức Newton: Với mọi số thực a, b và n nguyên dơng ta có:
0
n
n k k n k
n k
(1)
Số hạng thứ k+1 là Tk+1 =
k k n k n
0 k n (2)
Khai triển đặc biệt: 1 n 0 1 2 2 n n
(3)
B Bài tập
Các bài tập về hệ số trong khai triển nhị thức Newton Bài 26 (ĐH KB - 2007) Tìm hệ số của x10 trong khai triển nhị thức (2+x)n , biết rằng
3n 3n 3n 3n ( 1)n n 2048
ĐS: n = 11, hsố = 22
Bài 27 (ĐH KD - 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển biểu thức sau:
P = x(1-2x)5 +x2(1+3x)10 ĐS: 3320
Bài 28 (ĐH KA - 2006) Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
7 4
1 n
x x
, biết rằng
2 1 2 1 2 1 2n 1 2 1
C C C C
ĐS: n =10, hsố = 210
Trang 4Bài 29 (ĐH KA - 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của biểu thức
P =
8 2
1 x (1 x)
Bài 30 (ĐH KD - 2004) Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức
Newton
7 3
4
1
x x
Bài 31 (ĐH KD - 2003) Với n là số nguyên dơng, gọi a3n - 3 là hệ số của x3n -3 trong khai triển thành đa thức của biểu thức (x2 +1)n(x+2)n Tìm n để a3n-3 = 26n ĐS: n = 5
Bài 32 Tìm các số hạng là số nguyên trong khai triển
9 3
( 3 2) ĐS: 8 và 4536.
Bài 33 Xét khai triển (2x+2)9 = a0 + a1x + a2x2 + +a9x9 Tìm Max{ai, i = 1, 9}
ĐS: a5=a6
Bài 34 Xét khai triển (x+2)n = a0 + a1x + a2x2 + +anxn Tìm n để Max{ai, i = 1, n}=a10
Bài 35(ĐH-KA-2012) Cho n là số nguyên dơng thỏa mãn
1 3
5 n
Tìm số hạng
chứa x5 trong khai triển nhị thức Nui-tơn của
2 1
, 0.
14
n
nx
x x
5
35
16x
Trang 5III Xác suất
A Tóm tắt lí thuyết (SGK)
B Bài tập
Bài 36 (ĐH-KB-2012) Trong một lớp học có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo
gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để 4 học sinh đợc gọi có
443
506
Bài 37 Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu
xanh Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất trong hai trờng hợp sau:
1) Lấy đợc ba viên bi màu đỏ
2) Lấy đợc ít nhất hai viên bi màu đỏ
ĐS: 1) 35/220; 2) 140/220
Bài 38 Một khách sạn có 6 phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, trong đó có 6
nam và 4 nữ Ngời quản lí chọn ngẫu nhiên 6 ngời Tính xác suất để
1) Có 4 khách nam và 2 khách nữ
2) Có ít nhất hai khách nữ
ĐS: 1)3/7; 2) 27/42
Bài 39 Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở sân ga Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi ngời
độc lập với nhau chọn nhẫu nhiên 1 toa Tính xác suất để 1 toa có 3 ngời, 1toa có 1
ng-ời, hai toa còn lại không có ngời nào trong 4 ngời đó ĐS: 3/16
Bài 40 Một ngời bỏ ngẫu nhiên ba lá th khác nhau vào ba chiếc phong bì đã ghi địa
chỉ Tính xác suất để ít nhất có một lá th bỏ đúng phong bì của nó ĐS: 2/3
Bài 41 Ngời ta sử dụng 5 cuốn sách Toán, 6 cuốn Vật lí, 7 cuốn Hoá học (các cuốn
sách cùng loại giống nhau) để làm giải thởng cho 9 học sinh, mỗi học sinh đợc hai cuốn sách khác loại Trong số 9 học sinh trên có hai bạn Ngọc và Thảo Tìm xác suất
Bài 42 Có hai hộp đựng bi Hộp I có 7 viên bi màu xanh, 5 viên bi màu đỏ, hộp II có 6
viên bi màu trắng, 4 viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi Biết kết quả lấy bi ở mỗi hộp là độc lập, tính xác suất của biến cố lấy đợc
1) A = “ hai bi cùng màu”
2) B = “ hai bi khác màu” ĐS:
Bài 43 Gieo ba con súc sắc cân đối một cách độc lập Tính xác suất để tổng số chấm
trên mặt xuất hiện của ba con súc sắc bằng 9 ĐS:
25
216
Bài 44 Biết trong 20 vé số có 2 vé trúng thởng Chọn ngẫu nhiên 3 vé, tính xác suất
để có hai vé trúng thởng
Bài 45 Có 5 học sinh nam và 3 hoc sinh nữ xếp thành một hàng ngang một cách ngẫu
nhiên Tính xác suất để không có hai học sinh nữ nào đứng cạnh nhau? ĐS:
5
14.
Bài 46 Một thí sinh tham dự một kì thi gồm 3 vòng, trợt vòng nào thì không đợc tham
gia vòng sau Biết xác suất vợt qua các vòng lần lợt là: vòng 1 là 80%, vòng 2 là 60%, vòng 3 là 40% Tính xác suất của các biến cố sau:
a) A = “ thí sinh này trợt ngay vòng 1”
Trang 6b) B = “ thí sinh này vợt qua vòng 2 nhng không qua vòng 3”
ĐS: P(A) = 20%; P(B) = 0,288
Bài 47 Đôi bạn Ngân và Nga cùng tham dự một kì thi Biết khả năng đỗ của mỗi ngời
tơng ứng là 90% và 70% Tìm xác suất của các biến cố sau:
1) Cả hai đều đỗ
2) Có ít nhất một ngời đỗ
3) Chỉ có Ngân đỗ còn Nga trợt ĐS: 1) 63%; 2) 97%; 3) 27%
Bài 48 Ba ngời A, B, C bắn súng độc lập với nhau cùng nhằm vào một mục tiêu Biết
rằng xác suất bắn trúng mục tiêu của A, B, C tơng ứng là 0,7; 0,6; 0,5 Tính xác suất để
A = “ A bắn trúng còn B và C bắn trợt”; B = “ ít nhất một ngời bắn trúng”
ĐS: a) 0,14; b) 0,94
Bài 49 Có ba lô hàng Ngời ta lấy ra một cách ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản
phẩm Biết rằng xác suất để đợc sản phẩm có chất lợng tốt ở từng lô hàng lần lợt là 0,7; 0,8; 0,9 Hãy tính xác suất để :
a) Trong ba sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm tốt
b) Trong ba sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm tốt
ĐS: a, 0,994; b, 0,092
Bài 50 Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng một trận là 0,4 ( không có
hòa) Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95? ĐS: n = 6
Bài 51 Một xạ thủ đợc bắn hai viên đạn, xác suất bắn đợc điểm 10 của mỗi lần bắn là
0,7 và 0,9 Biết hai lần bắn độc lập, tính xác suất để ít nhất 1 lần bắn đạt điểm 10
ĐS: 0,27
Bài 52 Một xạ thủ đợc bắn 3 viên đạn Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 điểm là
0,008, xác suất để 1 viên trúng vào vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vào vòng
d-ới 8 điểm là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm (các vòng bắn độc lập vd-ới nhau)
ĐS: 0,0935