DE THI HSG TOAN TINH HOA BINH 2012

Bµi 5: 2 ®iÓm Chứng minh rằng trong năm số tự nhiên bất kỳ, luôn chọn được ba số có tổng là một số chia hết cho 3... Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua đi qua điểm 2.[r]

Sở GD & ĐT Hoà Bình Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 tHCS năm học 2011 - 2012

Đề chính thức Môn : Toán Ngày thi: 22 tháng 3 năm 2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4 điểm) 1 Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử: x3 2x2 5x6 2 Rỳt gọn biểu thức: 3 4 2 3 3 ( 5 2) 17 5 38 2 A      Bài 2: (4 điểm) 1 Giải phương trỡnh: 2 1 1 2 2 3 2 x x  x    2 Cho hàm số y(m1)x2m3 (m: tham số) a) Tỡm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - x + 5 b) Tỡm điểm mà đồ thị hàm số luụn đi qua với mọi giỏ trị của m Bài 3: (5 điểm) 1 Tứ giỏc ABCD nội tiếp trong đường trũn tõm O, bỏn kớnh R, biết AB song song với CD và AB = R, CD R 3, điểm O ở trong tứ giỏc Chứng minh rằng tam giỏc AOD là tam giỏc vuụng 2 Chứng minh rằng: 5x2y2 2xy 2x 2y 2 0, dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 4: (5 điểm) Cho tam giỏc ABC nhọn, BAC  450 Cỏc đường cao AM, BN, CK đồng qui tại H Gọi D là trung điểm của BC a) Chứng minh rằng tam giỏc NDK là tam giỏc vuụng cõn b) Cỏc đường trũn đường kớnh AD và BC cắt nhau tại E và F Chứng minh rằng AE là tiếp tuyến chung của đường trũn đường kớnh BC và đường trũn đi qua ba điểm E, H, M Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng trong năm số tự nhiờn bất kỳ, luụn chọn được ba số cú tổng là một số chia hết cho 3

-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD:

Giám thị 1 (họ và tên, chữ ký): .

Giám thị 2 (họ và tên, chữ ký):

Sở GD&ĐT Hoà Bình Hớng dẫn chấm môn toán

Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh cấp THCS

Năm học 2011-2012

E B

1

(4®)

1

2

A = ( x -1 ).( x +2 ).( x -3 )

2 3

( 5 2) 17 5 38 2 ( 5 2) 17 5 38 2

1

1

17 5 38 17 5 38 2

2,0

1,0 1,0

2

(4 ®)

1.

2.

2

2 2

x  x    Đk x2;x1

   

2

2

1

2

Kết hợp đk, pt có 1 nghiệm

1 2

x 

a) Để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = - x + 5

b) Viết lại hàm số y m x  2  x3

; Chọn x 2 y 1 Vậy đồ thị hàm số luôn đi qua đi qua điểm 2;1

với mọi m

0,5 0,5 0,5 0,5 1,0

0,5 0,5

3

(4 ®)

1.

2.

B

H

k

E

O D

C

A Chỉ ra được tam giác AOB đều, nên

đường cao

3 2

R

OK 

Tam giác ODE (E là trung điểm của CD) có

3

; 2

R

DE OD R

, từ đó tính được OE=R/2

Vậy đường cao AH của hình thang là

( 3 1) 2

R

(OK, OE cùng vuông góc với AB, CD nên AH=OK+OE)

Dễ có ABCD là hình thang cân, nên

( 3 1)

Xét tam giác vuông ADH, áp dụng pitago tính được AD R 2

Xét tam giác AOD, có

Ta có:

2 2

1,0

1,0 1,0

1,0 0,5 0,5

D

H

N

K

M

Từ đú ta cú đpcm Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

;

x y

4

(5 đ)

a.

b

1 Chứng minh được DK=DN (=BC/2) Chứng minh được tam giỏc AKC vuụng cõn nờn ACK 450 Xột đường trũn đường kớnh BC, KDN 2KCN 900 (Gúc ở tõm và gúc nt)

+ Xột đường trũn đường kớnh AD, AED 900, hay AE vuụng gúc với DE, hay AE là tiếp tuyến của đường trũn đường kớnh BC

+ Chứng minh được AKH AMB (g.g)  AK.AB=AH.AM (1)

AEB AKE (g.g)  AE2 AK AB. (2)

Từ (1) và (2) AE2 AH AM.  AHEAEM (c.g.c)  AEH EMH

Từ đú trong đường trũn qua (E, H, M), AEH là gúc giữa dõy cung và tiếp tuyến, hay AE là tiếp tuyến của đường trũn qua (E, H, M) (đpcm)

1,0

1,0

1,0 1,0

1,0

5

(2đ)

Xột cỏc số dư của 5 số đú khi chia cho 5,

TH 1: Cú đủ cỏc số dư 0, 1, 2 khi đú tổng của 3 số tương ứng đú chia hết cho 3

TH 2: khụng đủ cỏc số dư 0, 1, 2 khi đú cú nhiều nhất hai số dư, suy ra trong 5

số luụn cú ớt nhất 3 số cú cựng số dư, 3 số đú cú tổng chia hết cho 3 (đpcm)

1,0 1,0

Chú ý: Mọi lời giải đúng khác đều đợc cho điểm tơng đơng