LOI GIAI DE 10 CHUYEN TIN

Kết luận: EF luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 2 khi M di động trên AB.[r]

LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TIN_Khoá ngày 01/7/2008

Nội dung 1/

a/ Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

2

1

4

hay

2 1

(d) và (P) tiếp xúc với nhau  (*) có nghiệm số kép

  m 1 2=0

 m = – 1

b/ y = mx – 2m – 1  (x – 2)m = y + 1 (**)

Giả sử A(x0, y0) là điểm cố định của (d) khi m thay đổi

Ta có: A (d) với mọi m khi và chỉ khi (**) có nghiệm với mọi m

Do đó:

0

0





 

0 0





 



Vậy: A(2, – 1)(P) là điểm cố định cần tìm

2/

Biến đổi: x2  2x 2 5 x 22  3 3

với mọi m

Nên: A

1 3



với mọi x

Vậy Amax =

1

3 khi x = 2

1/

a/ Pt có nghiệm   ' (m 1) 2  (2m2  3m 1) 0 

 m2  m 0

 0 m 1 

b/ Khi 0 m 1  ,

theo định lí Viet ta có:

2

1 2







Vậy:

2

x x x x 2m  m 1

=

2

2 m

2

2/ x4 – 24x – 32 = 0  (x4 +4x2 + 4) – 4x2 – 24x – 36 = 0

 (x2 + 2)2 – (2x + 6)2 = 0

 (x2 + 2x + 8)(x2 – 2x – 4) = 0

 (x2  2x 4) 0 

( vì x2 + 2x + 8 =0 vô nghiệm)

 x = 1  5

.Tập nghiệm của phương trình: S = 1 5; 1+ 5

1/

Gọi số phải tìm là: ab, (a, b  ; 1 a 9  ; 0 b 9  )

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

ab.ba 403









ab 3

 





Giải đúng :

a 1

b 3









a 3

b 1











Vậy số phải tìm là 13 và 31

2/

Vì hệ số của x4 bằng 1 nên: P(x) = (x2 + px + q)2 Suy ra:

x4 + mx3 +29x2 +nx + 4 = x4 + 2px3 + (p2 +2q)x2 + 2pqx +q2

Tìm đựơc:

2

2

2pq n

2p m













q 2







 





 



Vậy có hai cặp giá trị (m; n) là (10; 20), (-10; -20) 3/

x y z 2





2x 2y 2z 4 (1)



 



Từ (1) và (2) suy ra: 2x2 + 3x – 5 = y(x + 2)

(loại q = -2 )

3

y 2x 1

x 2



Ta có: y và 2x – 1 là những số nguyên nên (x + 2) là ước của 3 Tìm đựơc nghiệm của hệ phương trình là:

(-1; -6; -3); (1; 0; 1); (-5; -10; -3); (-3; -4; 1)

1/

Gọi O là trung điểm AB, hạ OH MF

Tính: OH =

1

2 OM =

a

4;

FH = OF2  OH2 =

a 15 4

Kéo dài EE’ cắt đường tròn (O) tại D

Suy ra AO là đường trung trực của DE,

Từ đó kết luận:

DMA EMA FMB   ;

3 điểm D, M, F thẳng hàng

Tính: DF = 2FH =

a 15 2

EE’ + FF’ =

1

2(MD + MF) =

1

2DF =

a 15 4

Tính: E’F’ =

3a 5

4 (E’F’ = DF cos 300)

S =

1

2 (EE’ + FF’) E’F’ =

2

32

2/

Xét các cung nhỏ: AE, BF 

D

y x

I

F

H

B

F'

O M

E'

E A

sđ AE + sđBF = sđAD + sđBF = 2FMB = 600

Nên sđEF = 1200 hay EOF = 1200

Hạ OI EF thì OI =

1

2OF =

a 2

( Vì tam giác OIF là nửa tam giác đều cạnh a)

Kết luận: EF luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính

a

2 khi M di động

trên AB